AMC 10 · 2020 · #18

학년 7 arithmetic

paritycaseworkcombinations-basicsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: paritycombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $(a,b,c,d)$ be an ordered quadruple of not necessarily distinct integers, each one of them in the set $\{0,1,2,3\}.$ For how many such quadruples is it true that $a\cdot d-b\cdot c$ is odd? (For example, $(0,3,1,1)$ is one such quadruple, because $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ is odd.)

$\textbf{(A) } 48 \qquad \textbf{(B) } 64 \qquad \textbf{(C) } 96 \qquad \textbf{(D) } 128 \qquad \textbf{(E) } 192$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

128

(E)

192

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 수 $a, b, c, d$ 를 각각 $\{0, 1, 2, 3\}$ 에서 (중복 허용·순서 구별) 고릅니다. 순서쌍 $(a, b, c, d)$ 중 $a \cdot d - b \cdot c$ 가 홀수인 것의 개수를 구하세요.

주어진 것: $a, b, c, d$ 는 각각 독립적으로 $\{0, 1, 2, 3\}$ 에서 선택; 전체 순서쌍 수: $4^4 = 256$; $\{0, 1, 2, 3\}$ 안에서 짝수는 $\{0, 2\}$ (2개), 홀수는 $\{1, 3\}$ (2개); 선택지: (A) $48$, (B) $64$, (C) $96$, (D) $128$, (E) $192$

구하는 것: $a \cdot d - b \cdot c$ 가 홀수가 되는 순서쌍의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #7 (쪼개기): 실제 값이 아니라 홀짝(parity) 만 중요. 두 작은 문제로 분해 — "$ad$ 가 홀수가 되는 $(a, d)$ 의 개수는?" 와 "$bc$ 가 홀수가 되는 $(b, c)$ 의 개수는?". 그러면 $ad - bc$ 가 홀수일 조건은 둘 중 정확히 하나만 홀수일 때. 도구 #2 (나열): $\{0, 1, 2, 3\}$ 의 홀수는 $\{1, 3\}$, 짝수는 $\{0, 2\}$ — 각각 2개. 도구 #9 (더 쉬운 문제): 4값 집합을 "홀/짝" 둘로만 줄이면 단순한 홀짝 세기 문제가 됩니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

$a \cdot d$ 가 홀수인 경우의 수.
두 정수의 곱이 홀수가 되려면 두 인수 모두 홀수여야 합니다.
$\{0, 1, 2, 3\}$ 의 홀수는 $\{1, 3\}$ — 2개.
따라서 $a$ 가 홀수 (2가지) 이고 $d$ 가 홀수 (2가지) 이므로 $2 \cdot 2 = 4$ 개.
나머지 $16 - 4 = 12$ 쌍 $(a, d)$ 는 곱이 짝수.

$$\#\{(a,d): ad \text{ 홀수}\} = 2 \cdot 2 = 4,\quad \#\{(a,d): ad \text{ 짝수}\} = 12$$

💡 홀 $\times$ 홀 $=$ 홀 — 두 인수 모두 홀수여야 함.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$(b, c)$ 에도 같은 논리.
$bc$ 가 홀수인 쌍 $4$ 개, 짝수인 쌍 $12$ 개 — $(b, c)$ 는 $(a, d)$ 와 완전히 같은 구조.

$$\#\{(b,c): bc \text{ 홀수}\} = 4,\quad \#\{(b,c): bc \text{ 짝수}\} = 12$$

💡 위와 같은 논리 — 두 번째 쌍도 똑같이 작동.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 3

$a \cdot d - b \cdot c$ 가 홀수일 조건은 두 곱의 홀짝이 다를 때 (홀 $\pm$ 짝 $=$ 홀).
두 경우는 서로 배타적.

$$\text{홀} - \text{짝} = \text{홀},\quad \text{짝} - \text{홀} = \text{홀}$$

💡 홀-짝 (또는 짝-홀) 은 홀 — 두 홀짝이 달라야 함.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

경우 1: $ad$ 홀수 & $bc$ 짝수.
$(a, d)$ 선택과 $(b, c)$ 선택이 독립이므로 곱하기: $4 \cdot 12 = 48$.

$$\text{경우 1} = 4 \cdot 12 = 48$$

💡 독립적인 부분 — 개수를 곱함.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

경우 2: $ad$ 짝수 & $bc$ 홀수.
$(a, d)$ 와 $(b, c)$ 의 대칭성에 의해 $12 \cdot 4 = 48$.

$$\text{경우 2} = 12 \cdot 4 = 48$$

💡 경우 1과 대칭 — 같은 수.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.C.3 단계 6

두 경우는 겹치지 않으므로 (곱은 동시에 홀수이자 짝수일 수 없음) 더하기: $48 + 48 = 96$.
선택지 (C) 와 일치.

$$48 + 48 = 96 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 배타적인 경우 — 단순 합.

[1] #2 4.OA.B.4 $a \cdot d$ 가 홀수인 경우의 수. 두 정수의 곱이 홀수가 되려면 두 인수 모두 홀수여야 합니다. $\{0, 1, 2, 3\}$ 의 홀

[2] #2 4.OA.B.4 $(b, c)$ 에도 같은 논리. $bc$ 가 홀수인 쌍 $4$ 개, 짝수인 쌍 $12$ 개 — $(b, c)$ 는 $(a, d)$ 와 완전히

[3] #7 2.OA.C.3 $a \cdot d - b \cdot c$ 가 홀수일 조건은 두 곱의 홀짝이 다를 때 (홀 $\pm$ 짝 $=$ 홀). 두 경우는 서로 배타적.

[4] #7 7.SP.C.8 경우 1: $ad$ 홀수 & $bc$ 짝수. $(a, d)$ 선택과 $(b, c)$ 선택이 독립이므로 곱하기: $4 \cdot 12 = 48$.

[5] #7 7.SP.C.8 경우 2: $ad$ 짝수 & $bc$ 홀수. $(a, d)$ 와 $(b, c)$ 의 대칭성에 의해 $12 \cdot 4 = 48$.

[6] #7 2.OA.C.3 두 경우는 겹치지 않으므로 (곱은 동시에 홀수이자 짝수일 수 없음) 더하기: $48 + 48 = 96$. 선택지 (C) 와 일치.

검토

합리성 확인: 전체 $4^4 = 256$ 중 답 $96$ 은 정확히 $\tfrac{96}{256} = \tfrac{3}{8}$. 합리적: 각 곱이 홀수일 확률은 $\tfrac{1}{4}$ (네 값 중 홀수 둘을 제곱), 두 홀짝이 다를 확률은 $2 \cdot \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{16} = \tfrac{3}{8}$, 따라서 $\tfrac{3}{8} \cdot 256 = 96$. 선택지 $48$ 과 $192$ 는 각각 답의 절반과 두 배 — 한 경우만 세거나 대칭 실수의 흔한 함정.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): 짝수 차이를 대신 셉니다. $ad - bc$ 가 짝수일 조건은 두 곱의 홀짝이 같을 때. 짝-짝: $12 \cdot 12 = 144$. 홀-홀: $4 \cdot 4 = 16$. 짝수 차이는 총 $144 + 16 = 160$, 홀수 차이는 $256 - 160 = 96$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

2.OA.C.3 수의 묶음이 홀수인지 짝수인지 판단 (홀짝 합·차 (홀 $-$ 짝 $=$ 홀) 추론.)
4.OA.B.4 모든 약수 쌍 찾기·배수 인식·소수/합성수 판별 (곱이 홀수일 조건은 두 인수 모두 홀수 — $\{0,1,2,3\}$ 안의 홀-홀 쌍 세기.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (각 홀짝 경우의 독립 개수 $4 \cdot 12 = 48$ 을 곱하고 두 경우를 더함.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 홀짝 세기만 알면 풀 수 있어요 — 곱이 홀수가 되려면 두 인수 모두 홀수여야 하므로 $16$ 쌍 중 $4$ 쌍만 홀수 곱. 한쪽은 홀수 곱, 다른 한쪽은 짝수 곱이어야 하므로 $4 \cdot 12 + 12 \cdot 4 = 96$. 답은 $\textbf{(C)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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