AMC 10 · 2020 · #19

학년 7 counting

spatial-visualizationsystematic-enumerationface-adjacencysymmetry-argumenttree-enumeration identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: face-adjacencysystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

As shown in the figure below, a regular dodecahedron (the polyhedron consisting of $12$ congruent regular pentagonal faces) floats in space with two horizontal faces. Note that there is a ring of five slanted faces adjacent to the top face, and a ring of five slanted faces adjacent to the bottom face. How many ways are there to move from the top face to the bottom face via a sequence of adjacent faces so that each face is visited at most once and moves are not permitted from the bottom ring to the top ring?

$\textbf{(A) } 125 \qquad \textbf{(B) } 250 \qquad \textbf{(C) } 405 \qquad \textbf{(D) } 640 \qquad \textbf{(E) } 810$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

125

(B)

250

(C)

405

(D)

640

(E)

810

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정십이면체가 윗면과 아랫면이 수평이 되도록 떠 있습니다. 윗면 둘레로 비스듬한 오각형 5개 (위쪽 고리) 가, 아랫면 둘레로 또 다른 오각형 5개 (아래쪽 고리) 가 배치됩니다. 윗면에서 출발해 아랫면에 도착하되, 인접한 면끼리만 이동하고, 같은 면은 최대 한 번만 방문하며, 아래쪽 고리에서 위쪽 고리로는 거슬러 올라가지 않습니다. 가능한 경로 수를 구하세요.

주어진 것: 면 총 12개: 윗면 1, 위쪽 고리 5, 아래쪽 고리 5, 아랫면 1; 윗면은 위쪽 고리의 5개 면 모두와 인접; 위쪽 고리의 각 면은 같은 고리 안 이웃 2개 + 아래쪽 고리 면 2개와 인접; 아랫면은 아래쪽 고리의 5개 면 모두와 인접 (윗 절반과 거울상); 선택지: (A) $125$, (B) $250$, (C) $405$, (D) $640$, (E) $810$

구하는 것: 윗면에서 아랫면까지의 유효 경로 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기

도구 #7 (쪼개기): 모든 유효 경로는 같은 모양 — 윗면 $\to$ (위쪽 고리 일부) $\to$ (아래쪽 고리 일부) $\to$ 아랫면. 위쪽 고리를 떠나는 순간을 기준으로 잘라 각 구간을 따로 세고 곱합니다. 도구 #1 (그림): 위쪽 고리를 $1$ ~ $5$ 번 오각형 사이클로 그리고, 각각이 아래로 내려가는 두 면을 표시하면 선택지가 한눈에. 도구 #5 (패턴): 한 고리 안에서, 진입한 면에서 바로 떠나거나 시계/반시계 방향으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 걸을 수 있으니 항상 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

배치를 그립니다: 윗면 $T$ 가 위쪽 고리 5면 $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$ 와 모두 맞닿고, $U_i$ 는 좌우 이웃 $U_{i-1}, U_{i+1}$ 과 아래쪽 고리 2면과 맞닿습니다.
아래쪽 고리 $L_1, \ldots, L_5$ 는 거울상 — 각 $L_j$ 는 좌우 이웃과 아랫면 $B$ 에 맞닿습니다.
규칙에 따라 $T$ 에서 출발해 위쪽 고리의 몇 면을 걷고, 아래쪽 고리로 점프, 아래쪽 고리의 몇 면을 걷고, $B$ 에서 끝납니다.

$$T \to (U\text{들}) \to (L\text{들}) \to B$$

💡 정십이면체를 위·중·중·아래 네 층으로 상상.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

위쪽 고리 진입 면 선택.
$T$ 는 $U_1, \ldots, U_5$ 모두와 맞닿으므로 진입 면은 $5$ 가지.

$$\text{진입 선택} = 5$$

💡 위쪽 고리로 들어가는 문 다섯 개.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 3

위쪽 고리 안에서 이동.
진입 면 $U_i$ 에서 바로 내려가거나 (1가지), 시계·반시계 방향 (2방향) 으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (4가지 길이 — 5칸은 $U_i$ 로 돌아오므로 금지) 걸을 수 있습니다.
따라서 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지 위쪽 고리 부분 경로 — 각각 다른 면에서 끝납니다.

$$\text{위쪽 고리 부분 경로} = 1 + 2 \cdot 4 = 9$$

💡 바로 멈추거나, 2방향 중 한 방향으로 최대 4칸 산책.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

마지막 위쪽 고리 면 $U_j$ 에서 아래쪽 고리로 내려갑니다.
각 $U_j$ 는 정확히 2개의 아래쪽 고리 면과 맞닿으므로 $2$ 가지.

$$\text{낙하 선택} = 2$$

💡 위쪽 고리 오각형마다 정확히 2개의 아래쪽 오각형 위에 걸침.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 5

아래쪽 고리 안에서 이동.
기하 구조가 위쪽 고리와 거울상: 진입 면 $L_k$ 에서 바로 $B$ 로 내려가거나 (1가지), 2방향으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (8가지) — 총 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지.

$$\text{아래쪽 고리 부분 경로} = 1 + 2 \cdot 4 = 9$$

💡 위쪽 고리와 같은 구조 — 정십이면체를 거꾸로 뒤집은 것.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 6

아랫면으로 한 걸음.
아래쪽 고리의 모든 면이 $B$ 와 인접하므로 마지막 $L$ 에서 $B$ 로 가는 방법은 정확히 $1$ 가지.

$$\text{마무리} = 1$$

💡 아래쪽 고리 모든 면이 아랫면과 경계 공유.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 7

독립적인 선택을 모두 곱합니다: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$.
선택지 (E).

$$5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 곱의 법칙 — 독립 단계, 선택지 수를 곱함.

[1] #1 5.G.A.2 배치를 그립니다: 윗면 $T$ 가 위쪽 고리 5면 $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$ 와 모두 맞닿고, $U_i$ 는 좌우 이웃 $U

[2] #7 7.SP.C.8 위쪽 고리 진입 면 선택. $T$ 는 $U_1, \ldots, U_5$ 모두와 맞닿으므로 진입 면은 $5$ 가지.

[3] #5 7.SP.C.8 위쪽 고리 안에서 이동. 진입 면 $U_i$ 에서 바로 내려가거나 (1가지), 시계·반시계 방향 (2방향) 으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (4

[4] #7 7.SP.C.8 마지막 위쪽 고리 면 $U_j$ 에서 아래쪽 고리로 내려갑니다. 각 $U_j$ 는 정확히 2개의 아래쪽 고리 면과 맞닿으므로 $2$ 가지.

[5] #5 7.SP.C.8 아래쪽 고리 안에서 이동. 기하 구조가 위쪽 고리와 거울상: 진입 면 $L_k$ 에서 바로 $B$ 로 내려가거나 (1가지), 2방향으로 $1,

[6] #7 7.SP.C.8 아랫면으로 한 걸음. 아래쪽 고리의 모든 면이 $B$ 와 인접하므로 마지막 $L$ 에서 $B$ 로 가는 방법은 정확히 $1$ 가지.

[7] #7 7.SP.C.8 독립적인 선택을 모두 곱합니다: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$. 선택지 (E).

검토

합리성 확인: 고리 내부 9가지 검산: 진입 면에서 멈춤 ($1$ 가지), 시계 $1, 2, 3, 4$ 칸 ($4$ 가지), 반시계 $1, 2, 3, 4$ 칸 ($4$ 가지) — $1 + 4 + 4 = 9$. 곱 $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$ 은 선택지 중 유일하게 $9$ 로 나누어 떨어지는 값 — 다른 선택지 ($125, 250, 405, 640$) 는 고리 내부 옵션 누락이나 $\times 2$ 낙하 인수 빠뜨림.

대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열): 경로 총 길이별로 분류. 길이 3 ($T \to U \to L \to B$): $5 \cdot 2 = 10$. 길이 4 ($T \to U \to U \to L \to B$ 또는 $T \to U \to L \to L \to B$): $5 \cdot 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 \cdot 2 = 40$. 길이 11까지 다 더하면 $810$. 곱의 법칙이 더 빠르지만 나열도 같은 답을 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.A.2 점을 그래프로 그려 실생활·수학 문제 표현 (정십이면체의 네 층 면 그래프를 그려 유효 경로 모양 시각화.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (독립 단계별 선택지를 곱하기: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 곱의 법칙만 알면 풀 수 있어요 — 경로를 다섯 독립 단계 ($5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1$) 로 쪼개 곱하면 끝. 답은 $\textbf{(E)} \; 810$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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