AMC 10 · 2020 · #2

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varwork-backwards work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The numbers $3, 5, 7, a,$ and $b$ have an average (arithmetic mean) of $15$ . What is the average of $a$ and $b$ ?

$\textbf{(A) } 0 \qquad\textbf{(B) } 15 \qquad\textbf{(C) } 30 \qquad\textbf{(D) } 45 \qquad\textbf{(E) } 60$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 수 $3, 5, 7, a, b$ 의 평균이 $15$. $a$ 와 $b$ 두 수만의 평균을 구하세요.

주어진 것: 다섯 수는 $3, 5, 7, a, b$; 다섯 수의 산술평균은 $15$; 선택지: (A) $0$, (B) $15$, (C) $30$, (D) $45$, (E) $60$

구하는 것: $a$ 와 $b$ 만의 평균

이해

문제 재정리: 다섯 수 $3, 5, 7, a, b$ 의 평균이 $15$. $a$ 와 $b$ 두 수만의 평균을 구하세요.

주어진 것: 다섯 수는 $3, 5, 7, a, b$; 다섯 수의 산술평균은 $15$; 선택지: (A) $0$, (B) $15$, (C) $30$, (D) $45$, (E) $60$

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #11(거꾸로 풀기)이 뼈대 — 주어진 건 "결과"(평균 $15$)이고, 우리가 찾을 건 "재료"($a, b$). 평균을 되돌리려면 곱하기로 거꾸로: 총합 $= 15 \times 5 = 75$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 작업을 깔끔히 분리 — 다섯의 합, 이미 아는 셋의 합, 그 다음 $a + b$. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망: 아는 세 수 $3, 5, 7$ 이 모두 평균 $15$ 보다 작으므로 나머지 두 수는 $15$ 보다 훨씬 커야 함 — (A) $0$ 과 (B) $15$ 는 즉시 탈락.

실행 — 정답: C

#11 거꾸로 풀기 6.SP.A.3 단계 1

평균을 되돌리기.
다섯 수의 평균이 $15$ 이면 총합은 $5 \times 15 = 75$.

$$\text{다섯 수의 합} = 5 \times 15 = 75$$

💡 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합 — 평균의 정의를 거꾸로.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

아는 세 수를 빼서 $a + b$ 구하기.
$3 + 5 + 7 = 15$, 그래서 $a + b = 75 - 15 = 60$.

$$3 + 5 + 7 = 15, \quad a + b = 75 - 15 = 60$$

💡 "다섯의 합" 을 "아는 셋의 합" 더하기 "모르는 둘의 합" 으로 쪼개 빼기.

#11 거꾸로 풀기 6.SP.A.3 단계 3

$a$ 와 $b$ 만의 평균은 합을 $2$ 로 나눈 값.
$(a + b)/2 = 60/2 = 30$.

$$\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{60}{2} = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 수의 평균 $=$ 합 $\div\ 2$.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 4

빠른 가능성 지우기.
아는 세 수 $3, 5, 7$ 은 평균 $15$ 보다 각각 $12, 10, 8$ 만큼 부족 — 합쳐서 $30$ 부족.
그 부족분을 두 수가 채워야 하니 각각 평균보다 $30/2 = 15$ 만큼 더 큼, 즉 평균 $30$.
(C) 확정.

$$(15{-}3) + (15{-}5) + (15{-}7) = 30 \;\Rightarrow\; a, b\ \text{평균} = 15 + 15 = 30$$

💡 평균 위·아래 편차의 합은 $0$ 이라는 균형 감각.

[1] #11 6.SP.A.3 평균을 되돌리기. 다섯 수의 평균이 $15$ 이면 총합은 $5 \times 15 = 75$.

[2] #7 4.OA.A.3 아는 세 수를 빼서 $a + b$ 구하기. $3 + 5 + 7 = 15$, 그래서 $a + b = 75 - 15 = 60$.

[3] #11 6.SP.A.3 $a$ 와 $b$ 만의 평균은 합을 $2$ 로 나눈 값. $(a + b)/2 = 60/2 = 30$.

[4] #3 6.SP.A.3 빠른 가능성 지우기. 아는 세 수 $3, 5, 7$ 은 평균 $15$ 보다 각각 $12, 10, 8$ 만큼 부족 — 합쳐서 $30$ 부족. 그

검토

합리성 확인: 검산: $a + b = 60$ 이면 다섯의 합 $= 3 + 5 + 7 + 60 = 75$, $75 / 5 = 15$ — 원래 조건 그대로. 크기로도 자연스러움: $3, 5, 7$ 의 낮은 값들을 평균 $15$ 까지 끌어올리려면 $a, b$ 가 $15$ 보다 충분히 커야 하니 $30$ 이 그럴듯.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인)을 깔끔한 쌍으로 시도. $a = b = 30$: 다섯의 합 $= 3 + 5 + 7 + 30 + 30 = 75$, 평균 $= 15\ \checkmark$. 같은 답 (C) $30$. $20$ 과 $40$ 처럼 $30$ 을 중심으로 대칭인 쌍도 모두 성립 — 합만 같으면 됨.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용한 여러 단계 문장제 (다섯 수의 총합을 "아는 세 수의 합" 과 "모르는 두 수의 합" 으로 쪼개 빼는 데 사용.)
6.SP.A.3 대푯값이 자료 전체를 한 수로 요약함을 이해 (평균의 정의를 정방향과 역방향(합 $=$ 평균 $\times$ 개수)으로 모두 사용, $a, b$ 의 평균 계산에도 적용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균은 전체를 골고루 나눈 값" 만 알면 풀 수 있어요 — 거꾸로 곱해서 총합 $75$, 아는 셋 $3 + 5 + 7 = 15$ 를 빼면 $a + b = 60$, 둘의 평균은 $30$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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