AMC 10 · 2020 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ}, AC=20,$ and $CD=30.$ Diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ intersect at point $E,$ and $AE=5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$\textbf{(A) } 330 \qquad \textbf{(B) } 340 \qquad \textbf{(C) } 350 \qquad \textbf{(D) } 360 \qquad \textbf{(E) } 370$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

330

(B)

340

(C)

350

(D)

360

(E)

370

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사각형 $ABCD$ 는 직각이 두 개 있습니다: $\angle ABC = 90^\circ$ 와 $\angle ACD = 90^\circ$. 대각선 $AC$ 의 길이는 $20$, $CD = 30$. 두 대각선 $AC$ 와 $BD$ 는 점 $E$ 에서 만나고 $AE = 5$. 사각형 $ABCD$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $\angle ABC = 90^\circ$ — $\triangle ABC$ 는 빗변이 $AC$ 인 직각삼각형; $\angle ACD = 90^\circ$ — $\triangle ACD$ 는 두 직각변이 $AC, CD$ 인 직각삼각형; $AC = 20$, $CD = 30$; 대각선 $AC$ 와 $BD$ 는 $E$ 에서 만나고 $AE = 5$ (따라서 $EC = 15$); 선택지: (A) $330$, (B) $340$, (C) $350$, (D) $360$, (E) $370$

구하는 것: 사각형 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기

도구 #7 (쪼개기): 대각선 $AC$ 가 $ABCD$ 를 두 직각삼각형 $\triangle ACD$, $\triangle ABC$ 로 자릅니다. 각각의 넓이를 구해서 더합니다. $\triangle ACD$ 는 두 직각변이 주어져 바로 계산. $\triangle ABC$ 는 $B$ 에서 $AC$ 에 내린 수선 $BF$ 의 길이가 필요. 도구 #1 (그림): $AC$ 를 수평으로 두고 $C$ 를 원점, $A$ 를 오른쪽, $D$ 를 $C$ 위에 놓고 $AC$ 위에 $E$ 를 표시. $BF$ 와 $CD$ 가 모두 $AC$ 와 수직이므로 평행, 따라서 $\triangle EBF \sim \triangle EDC$ (AA). 도구 #13 (대수): $EF = x$ 로 두고 닮음으로 $BF$ 를 $x$ 로 표현, 직각삼각형의 수선 정리 $BF^2 = AF \cdot FC$ 로 $x$ 결정.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 1

쉬운 쪽 먼저: $\triangle ACD$ 는 $C$ 에서 직각, 직각변이 $AC = 20$, $CD = 30$.
넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300$.

$$[\triangle ACD] = \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 30 = 300$$

💡 두 직각변이 주어진 직각삼각형 — 직사각형의 절반.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 2

$B$ 에서 $AC$ 에 수선을 내리고 발을 $F$ 라 합니다.
$\triangle ABC$ 의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = 10 \cdot BF$.
따라서 $BF$ 가 필요합니다.
$BF$ 와 $CD$ 둘 다 직선 $AC$ 와 수직이므로 평행.

$$[\triangle ABC] = \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot BF = 10 \cdot BF,\quad BF \parallel CD$$

💡 빗변을 밑변으로 두고 수선이 높이.

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.4 단계 3

이제 $E$ 주위의 닮은 삼각형 활용.
$BF \parallel CD$ 이고 $E$ 가 $BD$ 위에 있으므로 $\triangle EBF$ 와 $\triangle EDC$ 는 $E$ 의 맞꼭지각을 공유하고 $\angle EBF = \angle EDC$ (엇각).
따라서 AA 로 $\triangle EBF \sim \triangle EDC$.
대응변의 비: $\dfrac{BF}{CD} = \dfrac{EF}{EC}$.

$$\dfrac{BF}{30} = \dfrac{EF}{15} \;\Rightarrow\; BF = 2 \cdot EF$$

💡 평행선 $+$ $E$ 공유 $=$ 닮은 삼각형 — $BF$ 는 $EF$ 의 두 배.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 4

$EF = x$ 로 놓으면 $BF = 2x$.
직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 빗변-수선 정리 사용: 빗변에 내린 수선은 $BF^2 = AF \cdot FC$.
그림 구성상 $F$ 가 $A$ 와 $E$ 사이에 있으므로 $AF = AE - EF = 5 - x$, $FC = FE + EC = x + 15$.

$$(2x)^2 = (5 - x)(x + 15)$$

💡 직각삼각형 수선 규칙: 수선의 제곱 $=$ 빗변 분할 길이의 곱.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 5

전개하고 풀기: $4x^2 = 75 + 5x - 15x - x^2 = 75 - 10x - x^2$.
$5x^2 + 10x - 75 = 0$, $5$ 로 나누면 $x^2 + 2x - 15 = 0$.
인수분해: $(x + 5)(x - 3) = 0$.
$x = EF \ge 0$ 이므로 $x = 3$, 따라서 $BF = 2x = 6$.

$$x^2 + 2x - 15 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3,\quad BF = 6$$

💡 이차식이 깔끔하게 인수분해 — 양의 근 채택.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

이제 $[\triangle ABC] = 10 \cdot BF = 10 \cdot 6 = 60$.
두 삼각형 넓이 합: $[ABCD] = 300 + 60 = 360$.
선택지 (D).

$$[ABCD] = 300 + 60 = 360 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 대각선으로 쪼갠 두 직각삼각형 넓이를 합산.

[1] #7 6.G.A.1 쉬운 쪽 먼저: $\triangle ACD$ 는 $C$ 에서 직각, 직각변이 $AC = 20$, $CD = 30$. 넓이 $= \tfrac{1}

[2] #1 5.G.A.1 $B$ 에서 $AC$ 에 수선을 내리고 발을 $F$ 라 합니다. $\triangle ABC$ 의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot AC

[3] #13 8.G.A.4 이제 $E$ 주위의 닮은 삼각형 활용. $BF \parallel CD$ 이고 $E$ 가 $BD$ 위에 있으므로 $\triangle EBF$ 와

[4] #13 8.G.B.7 $EF = x$ 로 놓으면 $BF = 2x$. 직각삼각형 $\triangle ABC$ 의 빗변-수선 정리 사용: 빗변에 내린 수선은 $BF^2

[5] #13 8.EE.C.7 전개하고 풀기: $4x^2 = 75 + 5x - 15x - x^2 = 75 - 10x - x^2$. $5x^2 + 10x - 75 = 0$, $

[6] #7 6.G.A.1 이제 $[\triangle ABC] = 10 \cdot BF = 10 \cdot 6 = 60$. 두 삼각형 넓이 합: $[ABCD] = 300

검토

합리성 확인: 기하 검산: $C = (0, 0)$, $A = (20, 0)$, $D = (0, 30)$, $E = (15, 0)$ 로 좌표 설정. 직선 $BD$ 는 $D$ 와 $E$ 를 지나고 기울기 $-2$. 수선의 발 $F = (18, 0)$ 이면 $B = (18, -6)$ 가 $BF = 6$ 을 만족하고 $B$ 에서 직각: $\vec{BA} = (2, 6),\, \vec{BC} = (-18, 6)$ 의 내적은 $-36 + 36 = 0$ ✓. 또 $|AB| = \sqrt{40},\, |BC| = \sqrt{360}$ 이고 $\tfrac{1}{2}\sqrt{40 \cdot 360} = \tfrac{1}{2}\sqrt{14400} = 60$ ✓. 총합 $300 + 60 = 360$ 은 선택지 (D) 와 일치 — 근처 함정 $330, 340, 350, 370$ 은 $BF$ 를 잘못 잡은 경우.

대안 접근: 도구 #1 (그림) 과 좌표: $C=(0,0)$, $A=(20,0)$, $D=(0,30)$. $B$ 는 $AC$ 를 지름으로 하는 원 (B 에서 직각) 위에, 그리고 $D=(0,30)$ 과 $E=(15,0)$ 을 지나는 직선 위에. 두 식을 풀면 $B=(18, -6)$, 신발끈 공식으로 넓이 계산: $[ABCD] = \tfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)| = 360$. 같은 답, 닮음 설정 없이.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성으로 구하기 ($ABCD$ 를 대각선 $AC$ 로 두 직각삼각형으로 쪼개고 넓이 합산.)
5.G.A.1 좌표계를 이루는 두 수직선 사용 ($BF \perp AC$ 수선을 설정하고 $BF \parallel CD$ 인식.)
8.G.A.4 변환을 이용해 두 도형이 닮음임을 이해 ($\triangle EBF \sim \triangle EDC$ (AA) 로 $BF = 2 \cdot EF$ 표현.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 (직각삼각형의 빗변-수선 관계 $BF^2 = AF \cdot FC$ 적용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (이차식 $x^2 + 2x - 15 = 0$ 을 풀어 $EF = 3$ 구하기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 때 배운 닮은 삼각형과 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대각선 $AC$ 로 사각형을 쪼개 쉬운 직각삼각형에서 $300$, 닮은 삼각형으로 수선 $BF = 6$ 을 찾아 $60$ 추가. 답은 $\textbf{(D)} \; 360$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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