AMC 10 · 2020 · #23

학년 8 geometry-2d

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetrymodular-arithmeticcombinations-basic caseworksystematic-enumerationphysical-representation ↑ 선수 지식: rotation-isometryreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0,0), (4,0),$ and $(0,3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^{\circ}, 180^{\circ},$ and $270^{\circ}$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$\textbf{(A) } 12 \qquad \textbf{(B) } 15 \qquad \textbf{(C) } 17 \qquad \textbf{(D) } 20 \qquad \textbf{(E) } 25$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5$ 가지 강체 변환 $\{R_{90}, R_{180}, R_{270}, S_x, S_y\}$ (원점을 중심으로 한 반시계 방향 회전과 두 좌표축에 대한 대칭) 에서 중복을 허용해 순서 있는 길이 $3$ 의 순서쌍을 만들면 $5^3 = 125$ 가지. 이 중 차례로 적용했을 때 꼭짓점이 $(0,0), (4,0), (0,3)$ 인 삼각형 $T$ 를 원래 위치로 되돌리는 것은 몇 개?

주어진 것: 삼각형 $T$ 의 꼭짓점 $(0,0), (4,0), (0,3)$ — 부등변 직각삼각형, 자기 자신을 자명하지 않게 보내는 대칭 없음; 사용 가능한 $5$ 변환: $R_{90}, R_{180}, R_{270}$ (원점 중심 반시계 회전) 과 $S_x, S_y$ (대칭); 순서 길이 $3$, 중복 허용; 총 $5^3 = 125$ 순서쌍; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $17$, (D) $20$, (E) $25$

구하는 것: 합성이 항등 변환이 되는 순서쌍의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 삼각형이 대칭 없는 부등변이라 방향성으로 깔끔히 분기 — 대칭 개수 짝수 조건이 경우 1($0$ 대칭, $3$ 회전), 경우 2($2$ 대칭, $1$ 회전) 로 나눠줌. 도구 #10(직접 만져보기): 종이 삼각형을 잘라 라벨링 후 손으로 합성 검증. 도구 #2(빠짐없이 나열): 회전 합이 $360^\circ$ 의 배수인 삼중쌍을 모두 나열. 도구 #5(패턴): 두 좌표축 대칭의 합성은 $R_{180}$ — 경우 2가 $\{S_x, S_y, R_{180}\}$ 한 집합으로 축소됨.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.1 단계 1

방향성으로 경우 나누기.
회전은 방향(시계 방향 / 반시계 방향) 을 보존, 대칭은 반전.
삼각형 $T$ 의 변 길이는 $3, 4, 5$ — 자기 자신과 일치하는 변환은 항등뿐이므로 합성은 정확히 항등이어야 함 ($T$ 의 다른 "대칭" 으로 매핑되어도 안 됨).
항등은 방향 보존이라 대칭 개수가 짝수: $0$ 또는 $2$.

$$\#\text{대칭} \in \{0, 2\}$$

💡 부등변 삼각형이라 정답이 명확 — 진짜 항등 변환만 통과.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.1 단계 2

경우 1: 세 회전.
$R_{90} \leftrightarrow 1, R_{180} \leftrightarrow 2, R_{270} \leftrightarrow 3$ ($90^\circ$ 단위 반시계 회전수) 로 표기.
세 회전의 합성은 $n_1 + n_2 + n_3$ 단위 회전.
항등이 되려면 $n_1 + n_2 + n_3 \equiv 0 \pmod 4$.
$n_i \in \{1, 2, 3\}$ 이라 합 범위 $[3, 9]$.
이 범위의 $4$ 의 배수: $4, 8$.

$$n_1 + n_2 + n_3 \equiv 0 \pmod 4, \quad n_i \in \{1, 2, 3\}$$

💡 회전수 합을 $4$ 로 나눈 나머지가 한 바퀴 완성 여부를 결정.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.A.1 단계 3

나열.
합 $=4$: 중복집합 $\{1, 1, 2\}$, 순서 $\frac{3!}{2!} = 3$ 가지: $(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)$.
합 $=8$: 중복집합 $\{2, 3, 3\}$, 순서 $3$ 가지: $(2,3,3), (3,2,3), (3,3,2)$.
($\{1,3,?\}$: $? \in \{0, 4\}$ 둘 다 범위 밖.
$\{2,2,?\}$ 도 마찬가지 불가.) 경우 1 합: $3 + 3 = 6$.

$$|\text{경우 1}| = 3 + 3 = 6$$

💡 쓸 수 있는 중복집합은 둘뿐, 각 순열 $3$ 가지.

#10 직접 만져보기 8.G.A.1 단계 4

경우 2: 대칭 둘 + 회전 하나.
같은 대칭이 두 번인 경우 먼저 제거.
$S_x \circ S_x = I$ 이므로 합성은 단지 회전 $R \in \{R_{90}, R_{180}, R_{270}\}$ 만 남고, 어느 것도 항등이 아님.
$S_y, S_y$ 도 마찬가지.
따라서 두 대칭은 서로 다른 $\{S_x, S_y\}$.
합성: $(x, y) \xrightarrow{S_x} (x, -y) \xrightarrow{S_y} (-x, -y)$ — 이는 $R_{180}$.
따라서 두 대칭의 누적 효과가 $R_{180}$ 이고, 남은 회전 $R$ 은 $R \circ R_{180} = I$ 즉 $R = R_{180}$.

$$S_y \circ S_x = R_{180}; \;\; R \circ R_{180} = I \Rightarrow R = R_{180}$$

💡 두 좌표축 대칭의 합성은 반회전; 반회전을 또 다른 반회전으로 풀어야 함.

#5 패턴 찾기 8.G.A.1 단계 5

순서 확인.
집합 $\{S_x, S_y, R_{180}\}$ 의 세 원소가 모두 다르므로 순서는 $3! = 6$ 가지.
모든 순서가 항등이 되는지?
$R_{180}: (x, y) \mapsto (-x, -y)$ 은 원점을 지나는 축에 대한 두 대칭 $S_x, S_y$ 와 모두 가환 (회전 중심을 공유하는 직교 대칭).
셋이 모두 두 두 가환이므로 순서가 곱에 영향 없음.
어떤 순서이든 $R_{180} \circ R_{180} = I$ 가 됨.
따라서 $6$ 순서 모두 작동.

$$|\text{경우 2}| = 3! = 6$$

💡 세 변환이 모두 가환이라 어떤 순서이든 같은 결과.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.1 단계 6

두 경우는 서로 배타적 (경우 1: 대칭 $0$ 개, 경우 2: 대칭 $2$ 개).
합 $6 + 6 = 12$.

$$\text{총합} = 6 + 6 = 12 \Rightarrow \textbf{(A)}$$

💡 분리된 두 경우 각 $6$ 가지.

[1] #7 8.G.A.1 방향성으로 경우 나누기. 회전은 방향(시계 방향 / 반시계 방향) 을 보존, 대칭은 반전. 삼각형 $T$ 의 변 길이는 $3, 4, 5$ — 자

[2] #2 8.G.A.1 경우 1: 세 회전. $R_{90} \leftrightarrow 1, R_{180} \leftrightarrow 2, R_{270} \leftr

[3] #2 8.G.A.1 나열. 합 $=4$: 중복집합 $\{1, 1, 2\}$, 순서 $\frac{3!}{2!} = 3$ 가지: $(1,1,2), (1,2,1), (2

[4] #10 8.G.A.1 경우 2: 대칭 둘 + 회전 하나. 같은 대칭이 두 번인 경우 먼저 제거. $S_x \circ S_x = I$ 이므로 합성은 단지 회전 $R \

[5] #5 8.G.A.1 순서 확인. 집합 $\{S_x, S_y, R_{180}\}$ 의 세 원소가 모두 다르므로 순서는 $3! = 6$ 가지. 모든 순서가 항등이 되는

[6] #7 8.G.A.1 두 경우는 서로 배타적 (경우 1: 대칭 $0$ 개, 경우 2: 대칭 $2$ 개). 합 $6 + 6 = 12$.

검토

합리성 확인: 감각 점검. $125$ 중 $12$ 는 약 $10\%$ — 빡빡한 항등 조건에 어울리는 비율. 검증: $(R_{90}, R_{90}, R_{180})$ (경우 1): 총 반시계 회전 $= 90 + 90 + 180 = 360^\circ$, 항등 ✓. $(S_x, R_{180}, S_y)$ (경우 2): $(x,y) \xrightarrow{S_x} (x,-y) \xrightarrow{R_{180}} (-x,y) \xrightarrow{S_y} (x,y)$, 항등 ✓. 반례 $(R_{90}, S_x, S_x)$: $(x,y) \xrightarrow{R_{90}} (-y,x) \xrightarrow{S_x} (-y,-x) \xrightarrow{S_x} (-y,x)$ — 항등 아님 ✓ ("같은 대칭 두 번 + 회전" 은 실패한다는 추론과 일치). 함정 선택지 (E) $25 = 5^2$ 은 "두 대칭이 정해진 뒤 회전은 자유" 라고 잘못 세는 경우 — 명백한 과다 계산.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기): $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 종이로 잘라 한 꼭짓점에 표시를 하고 좌표지 위에서 합성을 손으로 확인. $125$ 번을 다 하기엔 비현실적이지만 $10$ 개 표본만 해봐도 방향성 논리와 $R_{180}$ 캔슬 패턴 둘 다 확인. 방향성 논리는 작업량을 약 $1/2$ 로, 회전합 트릭은 더 줄여줌.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전, 대칭, 평행이동의 성질을 실험적으로 확인하기 (각 회전과 대칭이 좌표에 미치는 효과 추적, 합성, $S_y \circ S_x = R_{180}$ 인식, $R_{180} \circ R_{180} = I$ 등 항등 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 회전과 대칭의 성질만 있으면 풀려요 — 대칭 개수는 짝수 ($0$ 또는 $2$); 세 회전의 합이 $360^\circ$ 또는 $720^\circ$ 인 경우 $6$ 가지; 서로 다른 두 좌표축 대칭과 $R_{180}$ 의 조합 $6$ 가지; $6+6=12$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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