AMC 10 · 2020 · #5

학년 8 arithmetic

absolute-valuepolynomial-rootsvieta-formulascasework caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuepolynomial-roots

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the sum of all real numbers $x$ for which $|x^2-12x+34|=2?$

$\textbf{(A) } 12 \qquad \textbf{(B) } 15 \qquad \textbf{(C) } 18 \qquad \textbf{(D) } 21 \qquad \textbf{(E) } 25$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $|x^2 - 12x + 34| = 2$ 를 만족하는 모든 실수 $x$ 의 합을 구하세요.

주어진 것: 절댓값 안의 식은 $x^2 - 12x + 34$; 그 절댓값이 $2$; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $25$

구하는 것: 방정식을 만족하는 모든 실수 $x$ 와 그 합

이해

문제 재정리: $|x^2 - 12x + 34| = 2$ 를 만족하는 모든 실수 $x$ 의 합을 구하세요.

주어진 것: 절댓값 안의 식은 $x^2 - 12x + 34$; 그 절댓값이 $2$; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $25$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대: $|y| = 2$ 가 $y = 2$ 와 $y = -2$ 두 작은 식으로 갈라짐. 도구 #1(그림 그리기)이 두 경우를 한눈에 보이게 함 — $x^2 - 12x + 34 = (x - 6)^2 - 2$ 로 바꾸면 꼭짓점 $(6, -2)$ 의 위로 열린 포물선. 가로선 $y = 2$ 는 $x = 6$ 을 중심으로 대칭인 두 점에서 만나고, $y = -2$ 는 꼭짓점에 딱 한 번 닿음. 도구 #5(패턴 찾기) — $x = 6$ 대칭 덕분에 만나는 두 $x$ 값의 평균이 $6$, 따라서 일일이 풀지 않고도 합을 구할 수 있음.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.EE.A.3 단계 1

안쪽 식을 완전제곱 꼴로 정리.
$x^2 - 12x + 34 = (x^2 - 12x + 36) - 2 = (x - 6)^2 - 2$.

$$x^2 - 12x + 34 = (x - 6)^2 - 2$$

💡 $36$ 을 더했다가 빼는 것만으로 복잡한 이차식이 깔끔한 평행이동 제곱으로 바뀜.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.4 단계 2

절댓값의 정의로 두 경우로 쪼개기.
$(x - 6)^2 - 2 = 2$ 또는 $(x - 6)^2 - 2 = -2$.

$$(x - 6)^2 - 2 = 2 \quad \text{또는} \quad (x - 6)^2 - 2 = -2$$

💡 절댓값이 $2$ 라는 건 안쪽이 $+2$ 또는 $-2$ 라는 뜻.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

경우 1: $(x - 6)^2 = 4$.
제곱근을 취하면 $x - 6 = 2$ 또는 $x - 6 = -2$, 즉 $x = 8$ 또는 $x = 4$.
두 해는 $x = 6$ 을 중심으로 대칭이라 합은 $4 + 8 = 12$.

$$(x - 6)^2 = 4 \;\Rightarrow\; x = 4\ \text{또는}\ 8, \quad \text{합} = 12$$

💡 제곱이 $4$ 이면 안쪽은 $\pm 2$ — 8학년 제곱근 사고.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 4

경우 2: $(x - 6)^2 = 0$.
유일한 해는 $x = 6$ (포물선의 꼭짓점이 가로선 $y = -2$ 에 닿는 점).

$$(x - 6)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 6$$

💡 제곱이 $0$ 인 해는 정확히 하나 — 8학년 제곱근 사고.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 5

서로 다른 모든 해를 더하기.
총합 $= 4 + 8 + 6 = 18$ — 선택지 (C).

$$4 + 8 + 6 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 경우 1 두 해는 대칭으로 합 $12$, 경우 2 한 해 $6$ 을 더해 $18$.

[1] #1 6.EE.A.3 안쪽 식을 완전제곱 꼴로 정리. $x^2 - 12x + 34 = (x^2 - 12x + 36) - 2 = (x - 6)^2 - 2$.

[2] #7 6.EE.A.4 절댓값의 정의로 두 경우로 쪼개기. $(x - 6)^2 - 2 = 2$ 또는 $(x - 6)^2 - 2 = -2$.

[3] #7 8.EE.A.2 경우 1: $(x - 6)^2 = 4$. 제곱근을 취하면 $x - 6 = 2$ 또는 $x - 6 = -2$, 즉 $x = 8$ 또는 $x = 4

[4] #7 8.EE.A.2 경우 2: $(x - 6)^2 = 0$. 유일한 해는 $x = 6$ (포물선의 꼭짓점이 가로선 $y = -2$ 에 닿는 점).

[5] #5 4.OA.A.3 서로 다른 모든 해를 더하기. 총합 $= 4 + 8 + 6 = 18$ — 선택지 (C).

검토

합리성 확인: 원식에 대입 확인. $x = 4$: $16 - 48 + 34 = 2$, $|2| = 2\ \checkmark$. $x = 8$: $64 - 96 + 34 = 2$, $|2| = 2\ \checkmark$. $x = 6$: $36 - 72 + 34 = -2$, $|-2| = 2\ \checkmark$. 세 해 모두 유효, $4 + 8 + 6 = 18$ — (C) 와 일치.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독 — 포물선 $y = (x - 6)^2 - 2$ (꼭짓점 $(6, -2)$, 위로 열림) 와 두 가로선 $y = 2$, $y = -2$ 를 한 좌표평면에 그리기. $y = 2$ 와의 두 교점은 $x = 6$ 을 중심으로 대칭(합 $12$), $y = -2$ 와는 꼭짓점 $x = 6$ 한 점에서 접함 — 총 $18$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용한 여러 단계 문장제 (마지막에 세 해 $4 + 8 + 6$ 을 더하기.)
6.EE.A.3 연산의 성질로 동치식 만들기 ($x^2 - 12x + 34$ 를 $36$ 을 더하고 빼서 $(x - 6)^2 - 2$ 로 다시 쓰기.)
6.EE.A.4 두 식이 같음을 식별 ($|y| = 2$ 를 $y = 2$ 와 $y = -2$ 의 두 동치 경우로 분리.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 나타내기 ($(x - 6)^2 = 4$ 와 $(x - 6)^2 = 0$ 을 제곱근으로 풀기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "제곱근" 만 알면 풀 수 있어요 — $(x - 6)^2 - 2$ 로 다시 쓰면 $y = 2$ 쪽은 대칭으로 합 $12$, $y = -2$ 쪽은 $x = 6$, 합쳐서 $18$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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