AMC 10 · 2020 · #6

학년 4 number-theory

digit-constraintsdivisibility-rulessystematic-enumerationmultiplesparity caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-constraints

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

How many $4$ -digit positive integers (that is, integers between $1000$ and $9999$ , inclusive) having only even digits are divisible by $5?$

$\textbf{(A) } 80 \qquad \textbf{(B) } 100 \qquad \textbf{(C) } 125 \qquad \textbf{(D) } 200 \qquad \textbf{(E) } 500$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

125

(D)

200

(E)

500

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 중에서 모든 자리수가 짝수이면서 $5$ 의 배수인 수는 몇 개일까요?

주어진 것: 범위: $1000 \le n \le 9999$ (정확히 네 자리); 네 자리 모두 짝수: 각 자리 $\in \{0, 2, 4, 6, 8\}$; $n$ 은 $5$ 의 배수; 선택지: (A) $80$, (B) $100$, (C) $125$, (D) $200$, (E) $500$

구하는 것: 조건을 만족하는 수의 개수

이해

문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 중에서 모든 자리수가 짝수이면서 $5$ 의 배수인 수는 몇 개일까요?

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

각 자리는 서로 독립적인 선택 — 도구 #7 로 네 자리를 네 개의 작은 부분 문제로 분해. 도구 #2 로 각 자리에서 허용되는 숫자를 빠짐없이 나열, 도구 #3 으로 금지된 숫자(홀수, 천의 자리 $0$)를 제거. 마지막에 네 개의 가짓수를 곱하면 끝.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

일의 자리부터 결정.
$5$ 의 배수이려면 일의 자리가 $0$ 또는 $5$, 짝수이려면 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.
두 조건을 모두 만족하는 숫자는 $0$ 하나뿐.

$$\text{일의 자리} = 0\quad(1\text{가지})$$

💡 두 조건이 겹쳐 단 하나의 숫자만 남음.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.A.1 단계 2

천의 자리 가능한 숫자 나열.
짝수 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 인데 $0$ 은 맨 앞에 못 오므로 지움.

$$\text{천의 자리} \in \{2, 4, 6, 8\}\quad(4\text{가지})$$

💡 네 자리 수는 맨 앞이 $0$ 이 아니어야 함.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.A.1 단계 3

백의 자리 — 짝수면 됨, 다른 제약 없음.

$$\text{백의 자리} \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\quad(5\text{가지})$$

💡 맨 앞이 아닌 자리에는 어떤 짝수든 가능.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.A.1 단계 4

십의 자리도 똑같이 짝수 다섯 개 중 하나.

$$\text{십의 자리} \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\quad(5\text{가지})$$

💡 맨 앞 제약이 없으니 다섯 개 모두 사용 가능.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 5

각 자리가 독립적으로 결정되므로 곱의 법칙으로 총 가짓수를 구함.

$$4 \times 5 \times 5 \times 1 = 100$$

💡 독립적인 선택은 곱셈 — 네 칸짜리 가지치기 트리.

#3 가능성 지우기 3.OA.A.3 단계 6

$100$ 은 (B).

$$N = 100\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 답안에서 일치하는 보기 찾기.

[1] #3 4.OA.B.4 일의 자리부터 결정. $5$ 의 배수이려면 일의 자리가 $0$ 또는 $5$, 짝수이려면 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$. 두 조건을 모두 만

[2] #2 2.NBT.A.1 천의 자리 가능한 숫자 나열. 짝수 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 인데 $0$ 은 맨 앞에 못 오므로 지움.

[3] #2 2.NBT.A.1 백의 자리 — 짝수면 됨, 다른 제약 없음.

[4] #2 2.NBT.A.1 십의 자리도 똑같이 짝수 다섯 개 중 하나.

[5] #7 3.OA.A.1 각 자리가 독립적으로 결정되므로 곱의 법칙으로 총 가짓수를 구함.

[6] #3 3.OA.A.3 $100$ 은 (B).

검토

합리성 확인: 크기 감각으로 확인. 제약이 없으면 네 자리 수는 $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$ 개. '모두 짝수'만 적용하면 $4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 500$ (이게 보기 E — 단, $5$ 의 배수 조건을 빠뜨림). 여기서 $5$ 의 배수 조건이 일의 자리를 다섯 가지에서 한 가지로 줄이므로 $500 / 5 = 100$. 답 $100$ 은 보기 중간에 위치하며 두 경로 모두로 확인됨.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제): 먼저 세 자리 버전을 풂. $100\sim999$ 중 모든 자리가 짝수이고 $5$ 의 배수인 수는 몇 개? 백: $4$, 십: $5$, 일: $1$ → $20$ 개. 네 자리로 갈 때 짝수 자리 한 칸이 더 늘어 $\times 5$, 즉 $20 \cdot 5 = 100$. 작은 경우의 패턴을 그대로 확장.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 인수쌍을 찾고 배수를 인식, 소수/합성수 판별 ($5$ 의 배수 판정법 (일의 자리 $0$ 또는 $5$) 으로 일의 자리 고정.)
2.NBT.A.1 세 자리 수의 자릿값 (백, 십, 일) 이해 (네 자리 수를 네 개의 독립적인 자릿값 슬롯으로 보고 각 슬롯의 가능한 숫자 나열.)
3.OA.A.1 두 수의 곱을 묶음의 총 개수로 해석 (네 자리의 독립 가짓수 $4 \times 5 \times 5 \times 1$ 을 곱해 전체 개수 계산.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 응용 문제 풀기 ($4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$ 계산 후 보기와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년에 배운 '$5$ 의 배수는 일의 자리가 $0$ 이나 $5$'와 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — 일의 자리는 $0$ 하나, 천의 자리는 $\{2,4,6,8\}$ 네 가지, 가운데 두 자리는 짝수 다섯 가지씩, 그래서 $4 \times 5 \times 5 \times 1 = 100$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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