AMC 10 · 2020 · #7

학년 6 geometry-2d

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangesystematic-enumeration identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The $25$ integers from $-10$ to $14,$ inclusive, can be arranged to form a $5$ -by- $5$ square in which the sum of the numbers in each row, the sum of the numbers in each column, and the sum of the numbers along each of the main diagonals are all the same. What is the value of this common sum?

$\textbf{(A) }2 \qquad\textbf{(B) } 5\qquad\textbf{(C) } 10\qquad\textbf{(D) } 25\qquad\textbf{(E) } 50$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $-10$ 부터 $14$ 까지의 정수 $25$ 개를 $5 \times 5$ 정사각형 격자에 한 번씩 배치해서 모든 행의 합, 모든 열의 합, 두 대각선의 합이 모두 같게 만들 수 있다. 이때 공통 합은 얼마인가?

주어진 것: 들어가는 수: $-10, -9, -8, \ldots, 12, 13, 14$ 의 정수 $25$ 개 (각각 한 번씩); 격자는 $5$ 행 $\times$ $5$ 열; 각 행의 합 $=$ 각 열의 합 $=$ 두 대각선의 합 $=$ 어떤 상수 $C$; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $10$, (D) $25$, (E) $50$

구하는 것: 공통 합 $C$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

두 개의 깔끔한 부분 문제로 분해. 부분 A: $25$ 개 수의 총합 구하기. 부분 B: 각 행이 같은 $C$ 인데 $5$ 행이 격자 전체를 채우므로 총합 $= 5C$. 도구 #7 로 두 조각을 드러내고, 도구 #9 (더 쉬운 문제)로 $-10$ 과 $10$, $-9$ 와 $9$ … 식으로 짝을 지어 한 번에 합을 정리. 도구 #3 으로 보기 중 하나를 골라냄.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.5 단계 1

$25$ 개 수의 총합을 짝으로 정리.
$-10, -9, \ldots, 9, 10$ 의 $21$ 개는 양수와 음수가 서로 상쇄되어 합이 $0$.
남는 건 $11, 12, 13, 14$.

$$(-10) + (-9) + \cdots + 9 + 10 = 0$$

💡 $0$ 을 기준으로 대칭인 짝은 서로 상쇄 — 균형 잡힌 구간의 합을 가장 빨리 구하는 길.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 2

남은 네 양수를 더함.

$$11 + 12 + 13 + 14 = 50$$

💡 $11+14 = 25$, $12+13 = 25$ 로 짝을 지어 $25+25 = 50$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 3

$25$ 개 수의 총합은 $50$.
공통 행 합을 $C$ 라 두면 $5$ 행이 격자를 빠짐없이 덮으므로 행 합을 모두 더한 값이 총합과 같음.

$$\text{총합} = 5C = 50$$

💡 격자를 채우는 다섯 개의 같은 조각은 각각 총합의 $\dfrac{1}{5}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 4

$C$ 에 대해 풂.

$$C = \dfrac{50}{5} = 10$$

💡 양변을 $5$ 로 나눔.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

$C = 10$ 은 (C).
열 합과 대각선 합 조건은 배치를 추가로 제약할 뿐 공통 합의 값은 행 합만으로 이미 결정됨.

$$C = 10\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 일치하는 보기 고르기. 대칭 조건이 더 있어도 $C$ 값은 바뀌지 않음.

[1] #9 6.NS.C.5 $25$ 개 수의 총합을 짝으로 정리. $-10, -9, \ldots, 9, 10$ 의 $21$ 개는 양수와 음수가 서로 상쇄되어 합이 $0$.

[2] #9 4.NBT.B.4 남은 네 양수를 더함.

[3] #7 3.OA.A.3 $25$ 개 수의 총합은 $50$. 공통 행 합을 $C$ 라 두면 $5$ 행이 격자를 빠짐없이 덮으므로 행 합을 모두 더한 값이 총합과 같음.

[4] #7 3.OA.A.3 $C$ 에 대해 풂.

[5] #3 4.NBT.A.2 $C = 10$ 은 (C). 열 합과 대각선 합 조건은 배치를 추가로 제약할 뿐 공통 합의 값은 행 합만으로 이미 결정됨.

검토

합리성 확인: 평균으로도 확인. $25$ 개 수의 평균은 $\dfrac{50}{25} = 2$, 한 행에 $5$ 개의 수가 들어가므로 행 합 $\approx 5 \cdot 2 = 10$. 일치. $-10\ldots14$ 의 수치 중심도 $\dfrac{-10 + 14}{2} = 2$ 이므로 $5 \cdot 2 = 10$ 은 균형 잡힌 행에서 자연스럽게 나오는 값.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 문제): 친숙한 $3 \times 3$ 마방진을 $1\sim 9$ 로 만들면 총합 $45$, 공통 합 $45 / 3 = 15$. '공통 합 $=$ 총합 $\div$ 변의 길이' 패턴이 그대로 적용 — $50 / 5 = 10$. 똑같은 답을 작은 사례에서 끌어옴.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.5 양수와 음수가 양을 나타냄을 이해 (음수를 양수와 짝지어 상쇄시켜 합을 단순화.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 ($11 + 12 + 13 + 14 = 50$ 으로 총합 마무리.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 응용 문제 풀기 ('행 합 다섯이 격자를 채운다'를 $5C = 50$ 으로 옮기고 나누어 $C = 10$ 도출.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $10$ 을 (C) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 '음수와 양수 상쇄'와 균등 분할만 알면 풀 수 있어요 — $25$ 개 수의 합이 $50$, 다섯 행 합이 모두 $C$ 라 $5C = 50$ 이고 $C = 10$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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