AMC 10 · 2020 · #10

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

volume-conepythagorean-theoremarea-circlesperimeter identify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

A three-quarter sector of a circle of radius $4$ inches together with its interior can be rolled up to form the lateral surface area of a right circular cone by taping together along the two radii shown. What is the volume of the cone in cubic inches?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\pi \sqrt5$

(B)

$4\pi \sqrt3$

(C)

$3 \pi \sqrt7$

(D)

$6\pi \sqrt3$

(E)

$6\pi \sqrt7$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 $4$ 인치인 원의 $\tfrac34$ 부채꼴을 두 반지름을 따라 붙여 직원뿔의 옆면을 만든다. 이 원뿔의 부피(세제곱 인치)를 구하시오.

주어진 것: 부채꼴 반지름 $4$ 인치; 부채꼴은 원의 $\tfrac34$ ($270^\circ$); 부채꼴의 두 직선 반지름이 붙어 원뿔의 모선이 됨; 부채꼴의 호가 원뿔 밑면 원의 둘레가 됨; 선택지: (A) $3\pi\sqrt{5}$, (B) $4\pi\sqrt{3}$, (C) $3\pi\sqrt{7}$, (D) $6\pi\sqrt{3}$, (E) $6\pi\sqrt{7}$

구하는 것: 원뿔의 부피 (세제곱 인치)

이해

문제 재정리: 반지름이 $4$ 인치인 원의 $\tfrac34$ 부채꼴을 두 반지름을 따라 붙여 직원뿔의 옆면을 만든다. 이 원뿔의 부피(세제곱 인치)를 구하시오.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #10 직접 만져보기, #3 가능성 지우기

도구 #1 로 펴진 부채꼴과 만들어진 원뿔을 나란히 그려 어느 부분이 어디에 대응되는지 표시. 도구 #10 으로 종이로 직접 잘라 말아 보면 모선·호·둘레의 대응이 한눈에. 도구 #7 로 부피 계산을 (a) 호로 밑면 반지름, (b) 피타고라스로 높이, (c) $V = \tfrac13\pi r^2 h$ 대입의 세 단계로 분리. 도구 #3 으로 보기와 매칭.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 7.G.A.3 단계 1

부채꼴을 그린다 — 반지름 $4$, 중심각 $\tfrac34$ 원의 파이 조각.
말아 올리면 두 직선 가장자리 (길이 $4$) 가 붙어 원뿔의 모선이 되고, 호는 원뿔 밑면 원의 둘레가 된다.
따라서 모선 $\ell = 4$.

$$\ell = 4 \text{ 인치}$$

💡 두 직선 가장자리 → 모선, 호 → 밑면 둘레.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

$\tfrac34$ 부채꼴의 호 길이 계산.
반지름 $4$ 인 원 전체 둘레 $= 2\pi(4) = 8\pi$.
그 $\tfrac34$ 가 호 길이.

$$\text{호 길이} = \tfrac{3}{4} \cdot 8\pi = 6\pi \text{ 인치}$$

💡 전체 둘레의 $\tfrac34$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

이 호가 원뿔 밑면 원의 둘레가 된다.
$2\pi r = 6\pi$ 에서 밑면 반지름.

$$2\pi r = 6\pi \;\Rightarrow\; r = 3$$

💡 밑면 둘레 $=$ 호 길이.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

원뿔의 높이 $h$, 밑면 반지름 $r$, 모선 $\ell$ 은 직각삼각형 ($h$ 는 수직, $r$ 은 꼭짓점 아래 점에서 밑면 가장자리까지의 수평 다리, $\ell$ 은 빗변).
피타고라스 적용.

$$h^2 + r^2 = \ell^2 \;\Rightarrow\; h^2 + 9 = 16 \;\Rightarrow\; h = \sqrt{7}$$

💡 모선·높이·밑면반지름 직각삼각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 5

원뿔 부피 공식 적용.

$$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h = \tfrac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}$$

💡 $r = 3, h = \sqrt{7}$ 을 $\tfrac13\pi r^2 h$ 에 대입.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$3\pi\sqrt{7}$ 은 (C).

$$3\pi\sqrt{7} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #1 7.G.A.3 부채꼴을 그린다 — 반지름 $4$, 중심각 $\tfrac34$ 원의 파이 조각. 말아 올리면 두 직선 가장자리 (길이 $4$) 가 붙어 원뿔의

[2] #7 7.G.B.4 $\tfrac34$ 부채꼴의 호 길이 계산. 반지름 $4$ 인 원 전체 둘레 $= 2\pi(4) = 8\pi$. 그 $\tfrac34$ 가 호

[3] #7 7.G.B.4 이 호가 원뿔 밑면 원의 둘레가 된다. $2\pi r = 6\pi$ 에서 밑면 반지름.

[4] #7 8.G.B.7 원뿔의 높이 $h$, 밑면 반지름 $r$, 모선 $\ell$ 은 직각삼각형 ($h$ 는 수직, $r$ 은 꼭짓점 아래 점에서 밑면 가장자리까지의

[5] #7 8.G.C.9 원뿔 부피 공식 적용.

[6] #3 4.NBT.A.2 $3\pi\sqrt{7}$ 은 (C).

검토

합리성 확인: 기하적으로 점검. 반지름 $4$ 인 원 전체로 만들면 $r = 4$ (납작한 원판). 반원으로 만들면 $r = 2$ (뾰족한 원뿔). $\tfrac34$ 면 그 사이로 $r = 3$ 이 자연스럽다. ✓ $r = 3$, 모선 $4$ 면 $h = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65$ — 모선보다 짧음. ✓ 수치로 $V = 3\pi\sqrt{7} \approx 3 \cdot 3.14 \cdot 2.65 \approx 24.9$ 세제곱 인치 — 작은 종이 원뿔로 그럴듯한 크기. ✓

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 반지름 $4$ 인치 $\tfrac34$ 부채꼴을 종이로 잘라 두 반지름을 테이프로 붙여 원뿔을 만든다. 밑면 지름이 약 $6$ 인치 ($r = 3$), 높이가 약 $2.6$ 인치 ($\sqrt{7}$) 임을 자로 확인. 부피 공식은 같음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.3 입체를 자를 때 나타나는 평면 도형 설명 (부채꼴 펴기/말기 대응 추적 — 반지름 $\to$ 모선, 호 $\to$ 밑면 둘레.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식 (부채꼴 호 길이 $\tfrac34 \cdot 2\pi(4) = 6\pi$ 계산, $2\pi r = 6\pi$ 에서 $r = 3$ 도출.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 이용해 직각삼각형의 변 길이 구하기 ($h^2 + r^2 = \ell^2$ 에서 원뿔 높이 $h = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ 도출.)
8.G.C.9 원뿔·원기둥·구의 부피 공식 ($V = \tfrac13 \pi r^2 h = \tfrac13 \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{7} = 3\pi\sqrt{7}$ 계산.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (부피 $3\pi\sqrt{7}$ 을 (C) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 원뿔 공식만 알면 풀 수 있어요 — $\tfrac34$ 부채꼴의 호 $6\pi$ 가 밑면 둘레라 $r = 3$; 모선 $4$ 와 반지름 $3$ 으로 피타고라스 하면 높이 $\sqrt{7}$; 그래서 $V = \tfrac13\pi(9)(\sqrt{7}) = 3\pi\sqrt{7}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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