AMC 10 · 2020 · #12

학년 8 arithmetic

exponentsdecimal-arithmeticdigit-countingestimation identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsdecimal-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The decimal representation of $\dfrac{1}{20^{20}}$ consists of a string of zeros after the decimal point, followed by a $9$ and then several more digits. How many zeros are in that initial string of zeros after the decimal point?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{1}{20^{20}}$ 을 소수로 쓰면 소수점 뒤에 $0$ 이 죽 늘어선 뒤 $9$ 가 나오고 그 뒤로도 숫자가 이어집니다. 처음 등장하는 $9$ 앞에는 $0$ 이 몇 개 있을까요?

주어진 것: 대상 수: $\dfrac{1}{20^{20}}$; 전개 형태: $0.\underbrace{00\ldots 0}_{?}9\ldots$; 선택지: $23,\; 24,\; 25,\; 26,\; 27$

구하는 것: 소수점과 첫 $0$ 이 아닌 자리($9$) 사이의 $0$ 의 개수

이해

주어진 것: 대상 수: $\dfrac{1}{20^{20}}$; 전개 형태: $0.\underbrace{00\ldots 0}_{?}9\ldots$; 선택지: $23,\; 24,\; 25,\; 26,\; 27$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): 분모 $20^{20}$ 을 $2^{20} \cdot 10^{20}$ 로 분리해 각 부분을 따로 처리 — $10^{20}$ 은 소수점만 $20$ 칸 옮기고, $2^{20}$ 만 $10$ 의 거듭제곱 보정으로 환산하면 됨. 도구 #9(더 쉬운 문제): 큰 $2^{20}$ 대신 작은 사실 $2^{10} = 1024$ 로 자릿수를 구함. 도구 #3(가능성 지우기): 자릿수를 세고 나면 선택지 중 하나만 일치.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1

$20 = 2 \cdot 10$ 으로 분모를 다시 쓰기.
$10$ 의 거듭제곱(소수점 위치만 이동)과 $2$ 의 거듭제곱(첫 $0$ 이 아닌 자리 결정)으로 깔끔하게 분리됨.

$$20^{20} = (2 \cdot 10)^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$$

💡 6학년 지수 법칙: $(ab)^n = a^n b^n$ 으로 두 효과를 분리.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.1 단계 2

$2^{10} = 1024$ 라는 쉬운 사실로 $2^{20}$ 의 자릿수 파악.
제곱하면 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576$ — $7$ 자리 수.

$$2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576 \quad (7 \text{자리})$$

💡 6학년: 작은 $2^{10}$ 을 제곱해 $2^{20}$ 을 계산기 없이 구함.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.3 단계 3

정리.
$\dfrac{1}{20^{20}} = \dfrac{1}{2^{20} \cdot 10^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}576} \cdot 10^{-20}$.
$\dfrac{1}{1{,}048{,}576}$ 은 $\dfrac{1}{10^6}$ 보다 살짝 작아 $0.000000\,9536\ldots$ — 즉 첫 $9$ 가 소수 $7$ 번째 자리.

$$\dfrac{1}{2^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}576} \approx 9.537 \cdot 10^{-7}$$

💡 8학년 과학 표기: $1/2^{20}$ 의 $9$ 는 $10^{-7}$ 자리에서 시작.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.4 단계 4

$10^{-20}$ 을 곱하면 모든 숫자가 오른쪽으로 $20$ 칸 더 이동.
$7$ 번째 자리에 있던 $9$ 가 $(7 + 20) = 27$ 번째 자리로 이동.

$$\dfrac{1}{20^{20}} \approx 9.537 \cdot 10^{-27}$$

💡 8학년 과학 표기: $10^{-20}$ 을 곱하면 지수가 $-20$ 만큼 감소.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.2 단계 5

첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라면, 그 앞($1$ 번째부터 $26$ 번째까지)은 모두 $0$ — 즉 $26$ 개.

$$\text{앞 } 0 \text{ 개수} = 27 - 1 = 26$$

💡 5학년 자릿값: $1$ ~ $26$ 자리는 모두 $0$, $27$ 자리는 $9$.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.4 단계 6

$26$ 을 선택지와 매칭: (D).
다른 선택지들($23, 24, 25, 27$)은 $2^{20}$ 의 자릿수 또는 자리 이동을 한두 칸 놓친 값.

$$26 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 2학년 수 비교: $26$ 과 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #7 6.EE.A.1 $20 = 2 \cdot 10$ 으로 분모를 다시 쓰기. $10$ 의 거듭제곱(소수점 위치만 이동)과 $2$ 의 거듭제곱(첫 $0$ 이 아닌 자

[2] #9 6.EE.A.1 $2^{10} = 1024$ 라는 쉬운 사실로 $2^{20}$ 의 자릿수 파악. 제곱하면 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}5

[3] #9 8.EE.A.3 정리. $\dfrac{1}{20^{20}} = \dfrac{1}{2^{20} \cdot 10^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}

[4] #7 8.EE.A.4 $10^{-20}$ 을 곱하면 모든 숫자가 오른쪽으로 $20$ 칸 더 이동. $7$ 번째 자리에 있던 $9$ 가 $(7 + 20) = 27$ 번

[5] #7 5.NBT.A.2 첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라면, 그 앞($1$ 번째부터 $26$ 번째까지)은 모두 $0$ — 즉 $26$ 개.

[6] #3 2.NBT.A.4 $26$ 을 선택지와 매칭: (D). 다른 선택지들($23, 24, 25, 27$)은 $2^{20}$ 의 자릿수 또는 자리 이동을 한두 칸 놓친

검토

합리성 확인: 어림: $20^{20} = (2 \cdot 10)^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20} \approx 10^6 \cdot 10^{20} = 10^{26}$ 이므로 $\dfrac{1}{20^{20}} \approx 10^{-26}$ — 첫 $0$ 이 아닌 자리가 소수 $26$ ~ $27$ 번째 부근, 즉 앞 $0$ 의 개수는 $25, 26, 27$ 중 하나. 더 정밀히 보면 $2^{20}$ 이 $10^6$ 보다 약간 크므로 첫 $0$ 이 아닌 자리는 $27$ 번째로 미끄러져 $0$ 의 개수는 $26$. (D)와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 자릿수 규칙. $10$ 의 거듭제곱이 아닌 $d$ 자리 양의 정수 $N$ 에 대해, $\dfrac{1}{N}$ 의 앞쪽 $0$ 개수는 $d - 1$ ($10^{d-1} \le N < 10^d \Rightarrow 10^{-d} < \dfrac{1}{N} \le 10^{-(d-1)}$). 여기서 $N = 20^{20}$ 은 $7 + 20 = 27$ 자리이므로 $27 - 1 = 26$. 같은 답을 더 빠르게.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.NBT.A.4 세 자리 수 두 개를 부등호로 비교하기 ($26$ 을 다섯 선택지와 매칭.)
5.NBT.A.2 $0$ 개수와 소수점 위치의 규칙 설명하기 (첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라는 사실로부터 앞 $0$ 이 $26$ 개임을 도출.)
6.EE.A.1 정수 지수가 포함된 수식 쓰고 평가하기 ($20^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$ 분리 및 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576$ 계산.)
8.EE.A.3 한 자리 수 × $10$ 의 거듭제곱 형태로 수 표기하기 ($\dfrac{1}{2^{20}} \approx 9.537 \cdot 10^{-7}$ 표기.)
8.EE.A.4 과학 표기 수의 연산 수행하기 ($10^{-20}$ 을 곱해 첫 $0$ 이 아닌 자리를 소수 $27$ 번째로 이동.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 과학 표기만 알면 풀 수 있어요! $20^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$ 로 분리. $10^{20}$ 부분은 $0$ 을 $20$ 개 만들어 주고, $2^{20} = 1{,}048{,}576$ 는 $7$ 자리이므로 $\dfrac{1}{2^{20}} \approx 9.5 \cdot 10^{-7}$ — $9$ 가 소수 $7$ 번째 자리. $10^{-20}$ 만큼 더 밀려 $9$ 가 $27$ 번째 자리에 도착, 앞 $0$ 의 개수는 $27 - 1 = \mathbf{26}$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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