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AMC 10 · 2020 · #13

학년 6 rate-ratio
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases
coordinate-geometrypattern-recognitionsequences-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblemsphysical-representation ↑ 선수 지식: coordinate-geometrysequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Andy the Ant lives on a coordinate plane and is currently at (−20,20)(-20, 20) facing east (that is, in the positive xx-direction). Andy moves 11 unit and then turns 90∘90^{\circ} left. From there, Andy moves 22 units (north) and then turns 90∘90^{\circ} left. He then moves 33 units (west) and again turns 90∘90^{\circ} left. Andy continues his progress, increasing his distance each time by 11 unit and always turning left. What is the location of the point at which Andy makes the 20202020th left turn?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
(-1030, -994)
(B)
(-1030, -990)
(C)
(-1026, -994)
(D)
(-1026, -990)
(E)
(-1022, -994)
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개미 Andy가 $(-20, 20)$ 에서 동쪽을 보고 출발합니다. $1$ 칸 가고 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전, $2$ 칸 가고 회전, $3$ 칸 가고 회전 — 이렇게 매번 이동 거리를 $1$ 씩 늘리며 왼쪽으로만 도는 산책을 합니다. $2020$ 번째 왼쪽 회전을 하는 지점의 좌표는?

주어진 것: 출발점 $(-20, 20)$, 동쪽 방향; 이동 거리 $1, 2, 3, 4, \ldots$ 로 증가; 각 이동 후 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전; 방향 순환: 동 $\to$ 북 $\to$ 서 $\to$ 남 $\to$ 동 $\to \ldots$; 선택지: $(-1030, -994),\; (-1030, -990),\; (-1026, -994),\; (-1026, -990),\; (-1022, -994)$

구하는 것: $2020$ 번째 왼쪽 회전 지점의 좌표

이해

문제 재정리: 개미 Andy가 $(-20, 20)$ 에서 동쪽을 보고 출발합니다. $1$ 칸 가고 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전, $2$ 칸 가고 회전, $3$ 칸 가고 회전 — 이렇게 매번 이동 거리를 $1$ 씩 늘리며 왼쪽으로만 도는 산책을 합니다. $2020$ 번째 왼쪽 회전을 하는 지점의 좌표는?

주어진 것: 출발점 $(-20, 20)$, 동쪽 방향; 이동 거리 $1, 2, 3, 4, \ldots$ 로 증가; 각 이동 후 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전; 방향 순환: 동 $\to$ 북 $\to$ 서 $\to$ 남 $\to$ 동 $\to \ldots$; 선택지: $(-1030, -994),\; (-1030, -990),\; (-1026, -994),\; (-1026, -990),\; (-1022, -994)$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): 처음 몇 번 이동을 모눈종이에 그려 바깥쪽 나선과 동-북-서-남 순환을 시각화. 도구 #5(패턴): 연속한 $4$ 번 이동이 한 방향 사이클을 이룸 — 그 블록의 순 변위를 살피기. 도구 #7(쪼개기): $x$ 변화와 $y$ 변화를 분리해 각각 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 좌표를 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1
  • 처음 몇 이동을 모눈에 그리기.
  • $(-20, 20)$ 에서 시작: $1$ 칸 동 → $(-19, 20)$, 회전 후 $2$ 칸 북 → $(-19, 22)$, 회전 후 $3$ 칸 서 → $(-22, 22)$, 회전 후 $4$ 칸 남 → $(-22, 18)$.
  • $4$ 번 이동 후 시작점 대비 $(-2, -2)$ 만큼 이동 — 바깥으로 도는 나선이 보임.
$$(-20, 20) \to (-19, 20) \to (-19, 22) \to (-22, 22) \to (-22, 18)$$

💡 5학년 좌표평면: 처음 $4$ 번 이동을 그리면 나선과 방향 패턴이 한눈에.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2
  • 반복 단위 발견.
  • $\{1,2,3,4\}$ 번째 이동은 길이 $1,2,3,4$ 의 동-북-서-남, 다음 $\{5,6,7,8\}$ 은 길이 $5,6,7,8$ 의 동-북-서-남 — 일반화하면 $4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4$ 번째 이동이 $(k+1)$ 번째 동-북-서-남 블록.
$$\text{블록 } k: \;\; (\text{동 } 4k{+}1,\; \text{북 } 4k{+}2,\; \text{서 } 4k{+}3,\; \text{남 } 4k{+}4)$$

💡 4학년 패턴 규칙: 매 $4$ 이동마다 동·북·서·남 순환.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.5 단계 3
  • 블록 $k$ 의 $x$ 변화 계산.
  • 동 이동은 $+(4k+1)$, 서 이동은 $-(4k+3)$, 순 $\Delta x = (4k+1) - (4k+3) = -2$.
  • 마찬가지로 $\Delta y = (4k+2) - (4k+4) = -2$.
  • $k$ 와 무관하게 매 $4$ 이동 블록은 정확히 $(-2, -2)$ 만큼 이동.
$$\Delta x_{\text{블록}} = -2,\quad \Delta y_{\text{블록}} = -2$$

💡 6학년 부호 있는 수: 동-서, 북-남이 각각 상쇄돼 일정한 $-2$.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 4
  • 블록 수 세기.
  • $2020$ 번째 왼쪽 회전 = $2020$ 번째 이동의 끝.
  • $2020 = 4 \cdot 505$ 이므로 정확히 $505$ 개 완전 블록.
  • 총 이동: $505 \cdot (-2, -2) = (-1010, -1010)$.
$$2020 \div 4 = 505 \;\Rightarrow\; \text{총 이동} = 505 \cdot (-2, -2) = (-1010, -1010)$$

💡 5학년 곱셈: 동일한 $505$ 블록을 한 번에 곱하기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 5
  • 출발점에 변위를 더하기.
  • $(-20, 20) + (-1010, -1010) = (-1030, -990)$.
$$(-20, 20) + (-1010, -1010) = (-1030, -990)$$

💡 6학년 좌표: 변위 성분을 각각 더함.

#3 가능성 지우기 6.NS.C.6 단계 6
  • $(-1030, -990)$ 을 선택지와 매칭: (B).
  • 빠른 검산 — 출발 $(-20, 20)$ 에서 $y - x = 40$, 매 블록마다 $\Delta y - \Delta x = 0$ 이므로 답도 $y - x = 40$ 을 만족해야 함.
  • (B)만 $-990 - (-1030) = 40$.
$$(-1030, -990) \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년: $y - x = 40$ 을 유지하는 선택지는 하나뿐.

[1] #1 5.G.A.2 처음 몇 이동을 모눈에 그리기. $(-20, 20)$ 에서 시작: $1$ 칸 동 → $(-19, 20)$, 회전 후 $2$ 칸 북 → $(-19
[2] #5 4.OA.C.5 반복 단위 발견. $\{1,2,3,4\}$ 번째 이동은 길이 $1,2,3,4$ 의 동-북-서-남, 다음 $\{5,6,7,8\}$ 은 길이 $5,
[3] #7 6.NS.C.5 블록 $k$ 의 $x$ 변화 계산. 동 이동은 $+(4k+1)$, 서 이동은 $-(4k+3)$, 순 $\Delta x = (4k+1) - (4k
[4] #7 5.NBT.B.5 블록 수 세기. $2020$ 번째 왼쪽 회전 = $2020$ 번째 이동의 끝. $2020 = 4 \cdot 505$ 이므로 정확히 $505$ 개
[5] #7 6.NS.C.6 출발점에 변위를 더하기. $(-20, 20) + (-1010, -1010) = (-1030, -990)$.
[6] #3 6.NS.C.6 $(-1030, -990)$ 을 선택지와 매칭: (B). 빠른 검산 — 출발 $(-20, 20)$ 에서 $y - x = 40$, 매 블록마다 $

검토

합리성 확인: $4$ 이동마다 순 이동 $(-2, -2)$ — 평균적으로 한 이동당 $\tfrac{1}{2}$ 칸씩 남서로. $2020$ 이동이면 약 $1010$ 칸씩 두 방향, 즉 $(-1030, -990)$ 부근에 도달 — 자릿수와 정확히 일치. 또한 $y - x = 40$ 불변량으로 다섯 중 네 선택지를 즉시 배제 가능.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 선택지의 $y - x$ 계산: (A) $36$, (B) $40$, (C) $32$, (D) $36$, (E) $28$. 출발 $(-20, 20)$ 에서 $y - x = 40$ 이고 매 $4$ 이동 블록은 $y - x$ 를 보존 ($\Delta y - \Delta x = -2 - (-2) = 0$) 하므로 답도 $40$. (B)만 일치 — 산술 대부분 생략 가능.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성하기 (매 $4$ 이동마다 동-북-서-남 순환 식별.)
  • 5.G.A.2 좌표평면 위의 점으로 실생활·수학 문제 표현하기 (처음 몇 이동을 좌표평면에 그려 나선 구조 파악.)
  • 5.NBT.B.5 다자릿수 정수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($505$ 블록 × 블록당 변위 $(-2, -2)$ 곱셈.)
  • 6.NS.C.5 양수와 음수가 양적인 의미를 가짐을 이해하기 (동/서, 북/남을 부호 있는 기여로 다뤄 $-2$ 로 정리.)
  • 6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하기 (부호 있는 변위 $(-1010, -1010)$ 을 출발 좌표에 합성.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 부호 있는 좌표만 알면 풀 수 있어요! $4$ 이동마다 Andy는 동·북·서·남으로 가는데, 동-서 쌍은 $x$ 에서 $-2$, 북-남 쌍은 $y$ 에서 $-2$ — 길이가 아무리 커도 상쇄. $2020 = 4 \cdot 505$ 이동이면 $505$ 개 블록, 총 변위 $(-1010, -1010)$. $(-20, 20)$ 에서 $\mathbf{(-1030, -990)}$ 에 도착, 답 (B).

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 부호 있는 좌표만 알면 풀 수 있어요! $4$ 이동마다 Andy는 동·북·서·남으로 가는데, 동-서 쌍은 $x$ 에서 $-2$, 북-남 쌍은 $y$ 에서 $-2$ — 길이가 아무리 커도 상쇄. $2020 = 4 \cdot 505$ 이동이면 $505$ 개 블록, 총 변위 $(-1010, -1010)$. $(-20, 20)$ 에서 $\mathbf{(-1030, -990)}$ 에 도착, 답 (B).

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