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AMC 10 · 2020 · #14

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-regular-hexagonarea-circlesequilateral-trianglesymmetry-argument identify-subproblemsarea-differencesymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-regular-hexagonarea-circles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

As shown in the figure below, six semicircles lie in the interior of a regular hexagon with side length 2 so that the diameters of the semicircles coincide with the sides of the hexagon. What is the area of the shaded region ---- inside the hexagon but outside all of the semicircles?

(A) 63−3π(B) 932−2π(C) 332−π3(D) 33−π(E) 932−π\textbf{(A) } 6\sqrt3 - 3\pi \qquad \textbf{(B) } \frac{9\sqrt3}{2} - 2\pi \qquad \textbf{(C) } \frac{3\sqrt3}{2} - \frac{\pi}{3} \qquad \textbf{(D) } 3\sqrt3 - \pi \qquad \textbf{(E) } \frac{9\sqrt3}{2} - \pi

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$6\sqrt3 - 3\pi$
(B)
$\frac{9\sqrt3}{2} - 2\pi$
(C)
$\frac{3\sqrt3}{2} - \frac{\pi}{3}$
(D)
$3\sqrt3 - \pi$
(E)
$\frac{9\sqrt3}{2} - \pi$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $2$ 인 정육각형 안에, 각 변을 지름으로 하는 반원 $6$ 개가 정육각형 내부 쪽으로 그려져 있습니다. 정육각형 안에 있으면서 어느 반원에도 속하지 않는 색칠된 영역의 넓이는?

주어진 것: 한 변 $2$ 인 정육각형; 각 변을 지름($=2$, 반지름 $1$)으로 하는 반원 $6$ 개; 각 반원은 정육각형 안쪽; 선택지: $6\sqrt{3} - 3\pi,\; \tfrac{9\sqrt{3}}{2} - 2\pi,\; \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{3},\; 3\sqrt{3} - \pi,\; \tfrac{9\sqrt{3}}{2} - \pi$

구하는 것: 색칠된 영역의 넓이 (정육각형 안 ∩ 모든 반원의 바깥)

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $2$ 인 정육각형 안에, 각 변을 지름으로 하는 반원 $6$ 개가 정육각형 내부 쪽으로 그려져 있습니다. 정육각형 안에 있으면서 어느 반원에도 속하지 않는 색칠된 영역의 넓이는?

주어진 것: 한 변 $2$ 인 정육각형; 각 변을 지름($=2$, 반지름 $1$)으로 하는 반원 $6$ 개; 각 반원은 정육각형 안쪽; 선택지: $6\sqrt{3} - 3\pi,\; \tfrac{9\sqrt{3}}{2} - 2\pi,\; \tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{3},\; 3\sqrt{3} - \pi,\; \tfrac{9\sqrt{3}}{2} - \pi$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): 한 변 $2$ 인 정육각형을 한 변 $1$ 인 정삼각형 $24$ 개로 분할해, 모든 영역(색칠/공백)이 작은 삼각형과 부채꼴의 깔끔한 조합이 되게 함. 도구 #9(더 쉬운 문제): $6$-회전 대칭으로 색칠 영역은 합동인 $6$ 조각 — 한 조각을 구하고 $6$ 배. 도구 #7(쪼개기): 각 조각 = (작은 삼각형 $2$ 개로 된 마름모) $-$ (반지름 $1$ 의 $60^\circ$ 부채꼴). 도구 #3(가능성 지우기): 정리식 $3\sqrt{3} - \pi$ 와 일치하는 선택지 하나만 매칭.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1
  • 한 변 $2$ 인 정육각형을 한 변 $1$ 인 정삼각형 $24$ 개로 분할.
  • 세 개의 긴 대각선과 마주 보는 변의 중점을 잇는 세 직선을 그리면 합동인 $24$ 개의 작은 삼각형이 나옴.
$$\text{정육각형} = 24 \text{ 개의 한 변 } 1 \text{ 정삼각형}$$

💡 6학년: 정육각형은 작은 정삼각형으로 깔끔하게 분할됨.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.G.A.3 단계 2
  • 정육각형과 합동 반원 $6$ 개의 $6$-회전 대칭에 의해 색칠 영역은 합동인 $6$ 조각으로 분할 — 각 정육각형 꼭짓점 근처에 하나씩.
  • 한 조각의 넓이를 $6$ 배 하면 끝.
$$\text{색칠} = 6 \cdot (\text{한 조각})$$

💡 4학년 대칭: $6$ 번 회전해도 그림이 그대로 → 합동 조각 $6$ 개.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3
  • 한 조각을 자세히 살피기.
  • 정육각형 꼭짓점 옆에 위치하고, 인접한 두 반원의 호로 둘러싸임.
  • 작은 삼각형 격자 안에서 이 조각은 마름모(작은 정삼각형 $2$ 개)에서 꼭짓점 중심의 반지름 $1$ $60^\circ$ 부채꼴을 뺀 모양.
  • (인접한 두 반원이 격자 대각선에서 정확히 만나고, 마름모 안에서 합쳐서 반지름 $1$ 의 $60^\circ$ 쐐기 하나를 만듦.)
$$\text{한 조각} = (\text{작은 정삼각형 } 2 \text{ 개의 마름모}) - (60^\circ \text{ 부채꼴, 반지름 } 1)$$

💡 7학년 넓이: 부채꼴을 마름모에서 빼서 색칠 슬라이버 추출.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4
  • 두 성분 계산.
  • 마름모 넓이 $= 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
  • $60^\circ$ 부채꼴 넓이 $= \tfrac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 1^2 = \tfrac{\pi}{6}$.
$$\text{마름모} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \text{부채꼴} = \tfrac{\pi}{6}$$

💡 7학년 원: $60^\circ$ 는 원의 $\tfrac{1}{6}$ → $\tfrac{1}{6}\pi r^2$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 5

한 조각 = 마름모 $-$ 부채꼴 → $6$ 배 하면 전체 색칠 넓이.

$$\text{색칠} = 6 \left( \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6} \right) = 3\sqrt{3} - \pi$$

💡 7학년 식 전개: $6$ 을 두 항에 분배.

#3 가능성 지우기 7.EE.A.2 단계 6
  • $3\sqrt{3} - \pi$ 와 일치하는 선택지: (D).
  • 다른 선택지들은 $\sqrt{3}$ 또는 $\pi$ 의 계수가 어긋남 — 흔한 중복 카운팅·누락의 결과.
$$3\sqrt{3} - \pi \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 7학년: $\sqrt{3}$ 와 $\pi$ 의 계수가 정확히 일치하는 선택지 하나만 매칭.

[1] #1 6.G.A.1 한 변 $2$ 인 정육각형을 한 변 $1$ 인 정삼각형 $24$ 개로 분할. 세 개의 긴 대각선과 마주 보는 변의 중점을 잇는 세 직선을 그리면
[2] #9 4.G.A.3 정육각형과 합동 반원 $6$ 개의 $6$-회전 대칭에 의해 색칠 영역은 합동인 $6$ 조각으로 분할 — 각 정육각형 꼭짓점 근처에 하나씩. 한
[3] #7 7.G.B.6 한 조각을 자세히 살피기. 정육각형 꼭짓점 옆에 위치하고, 인접한 두 반원의 호로 둘러싸임. 작은 삼각형 격자 안에서 이 조각은 마름모(작은 정
[4] #7 7.G.B.4 두 성분 계산. 마름모 넓이 $= 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. $60^\circ
[5] #7 7.EE.A.1 한 조각 = 마름모 $-$ 부채꼴 → $6$ 배 하면 전체 색칠 넓이.
[6] #3 7.EE.A.2 $3\sqrt{3} - \pi$ 와 일치하는 선택지: (D). 다른 선택지들은 $\sqrt{3}$ 또는 $\pi$ 의 계수가 어긋남 — 흔한 중

검토

합리성 확인: 정육각형 넓이 $= \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3} \approx 10.39$. 반원 넓이 총합(겹침 포함) $= 6 \cdot \tfrac{\pi}{2} = 3\pi \approx 9.42$ — 흰 부분이 그만큼 크지는 않으므로 겹침 영역이 분명히 존재. 색칠 답 $3\sqrt{3} - \pi \approx 5.196 - 3.14 \approx 2.06$ — 양수이고 정육각형 넓이보다 훨씬 작아 꼭짓점 근처의 작은 슬라이버라는 기하적 직관과 일치.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 'leaf' 항등식(참조 풀이 #3). 색칠 영역 $S$, 인접 반원이 만나는 여섯 렌즈형 겹침의 총넓이 $L$ 이라 하면 $S = (\text{정육각형}) - (\text{반원 합}) + L = 6\sqrt{3} - 3\pi + L$, 그리고 그림의 항등식에서 여섯 leaf는 단위원에서 단위 정육각형을 뺀 면적으로 재배열 — 연립하면 $S = 3\sqrt{3} - \pi$ 로 (D)를 재확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식하기 (정육각형의 $6$-회전 대칭으로 한 조각을 추출.)
  • 6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 분할로 구하기 (한 변 $2$ 정육각형을 한 변 $1$ 정삼각형 $24$ 개로 분할.)
  • 7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($\pi r^2$ 로부터 $60^\circ$ 부채꼴 넓이 $\tfrac{\pi}{6}$ 계산.)
  • 7.G.B.6 넓이·겉넓이·부피와 관련된 실생활 문제 해결하기 (마름모에서 부채꼴을 빼 한 색칠 조각을 구함.)
  • 7.EE.A.1 연산 성질로 일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개하기 ($6 \left( \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6} \right) = 3\sqrt{3} - \pi$ 전개.)
  • 7.EE.A.2 문제 해결을 위해 식을 다양한 형태로 다시 쓰기 (정리한 식의 계수로 선택지 하나를 정확히 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요! 한 변 $2$ 정육각형을 한 변 $1$ 정삼각형 $24$ 개로 자르기. $6$-회전 대칭이라 색칠 영역은 꼭짓점 근처 합동 조각 $6$ 개 — 각 조각은 마름모(작은 정삼각형 $2$ 개, 넓이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$)에서 반지름 $1$ 의 $60^\circ$ 부채꼴(넓이 $\tfrac{\pi}{6}$)을 뺀 모양. $6$ 배: $6\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{3\sqrt{3} - \pi}$, 답 (D).

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요! 한 변 $2$ 정육각형을 한 변 $1$ 정삼각형 $24$ 개로 자르기. $6$-회전 대칭이라 색칠 영역은 꼭짓점 근처 합동 조각 $6$ 개 — 각 조각은 마름모(작은 정삼각형 $2$ 개, 넓이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$)에서 반지름 $1$ 의 $60^\circ$ 부채꼴(넓이 $\tfrac{\pi}{6}$)을 뺀 모양. $6$ 배: $6\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{3\sqrt{3} - \pi}$, 답 (D).

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