AMC 10 · 2020 · #15

학년 6 arithmetic

modular-arithmeticpattern-recognitionlcm easier-related-problempattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Steve wrote the digits $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , and $5$ in order repeatedly from left to right, forming a list of $10,000$ digits, beginning $123451234512\ldots.$ He then erased every third digit from his list (that is, the $3$ rd, $6$ th, $9$ th, $\ldots$ digits from the left), then erased every fourth digit from the resulting list (that is, the $4$ th, $8$ th, $12$ th, $\ldots$ digits from the left in what remained), and then erased every fifth digit from what remained at that point. What is the sum of the three digits that were then in the positions $2019, 2020, 2021$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Steve가 $1,2,3,4,5$ 를 반복해 적어 총 $10{,}000$ 개의 숫자 $123451234512345\ldots$ 를 만듭니다. 그런 다음 세 단계 지우기를 차례로 수행: ① 매 $3$ 번째 숫자, ② 남은 목록의 매 $4$ 번째, ③ 또 남은 목록의 매 $5$ 번째 — 모두 지우고 나서 $2019, 2020, 2021$ 번째 자리에 있는 세 숫자의 합은?

주어진 것: 원래 목록: $1,2,3,4,5$ 가 $10{,}000$ 자리까지 반복 (주기 $5$); 패스 1: 원래 목록의 $3, 6, 9, \ldots$ 번째 삭제; 패스 2: 패스 1 결과의 $4, 8, 12, \ldots$ 번째 삭제; 패스 3: 패스 2 결과의 $5, 10, 15, \ldots$ 번째 삭제; 선택지: $7, 9, 10, 11, 12$

구하는 것: 최종 목록의 $2019, 2020, 2021$ 번째 자리 세 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): $10{,}000$ 자리 대신 모든 관련 주기로 깔끔하게 나뉘는 반복 블록을 사용. 도구 #5(패턴): 각 패스가 주기 구조를 보존하므로 최종 목록도 주기적 — 그 주기를 찾기. 도구 #2(나열하기): 블록을 직접 적어 세 패스를 수행, 나머지 연산으로 $2019, 2020, 2021$ 번째를 읽기. 도구 #3(가능성 지우기): 합을 선택지와 매칭.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.B.4 단계 1

세 패스가 깔끔하게 작동할 작업 블록 선택.
원 주기는 $5$, 패스 1 주기는 $3$ — $\mathrm{lcm}(5, 3) = 15$ 자리 블록 $123451234512345$ 를 사용하면 패스 1 후에도 깔끔하게 반복됨.

$$\text{블록} = 123\,451\,234\,512\,345 \quad (15 \text{ 자리})$$

💡 6학년 최소공배수: 원 주기와 삭제 주기 모두로 나뉘는 블록 크기 선택.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 2

패스 1: $3, 6, 9, 12, 15$ 번째(아래 밑줄) 삭제.
블록은 $10$ 자리로 줄어듦.

$$12\underline{3}45\underline{1}23\underline{4}51\underline{2}34\underline{5} \;\to\; 1{,}2{,}4{,}5{,}2{,}3{,}5{,}1{,}3{,}4 = 1245235134$$

💡 5학년 체계적 나열: 블록에서 $3$ 의 배수 위치만 빼기.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 3

패스 2 — 남은 목록에서 $4$ 번째 삭제.
현재 블록 길이 $10$, $\mathrm{lcm}(10, 4) = 20$ 으로 두 배 늘려 주기 구조 유지: $12452351341245235134$.
$4, 8, 12, 16, 20$ 번째 삭제.

$$124\underline{5}235\underline{1}341\underline{2}452\underline{3}513\underline{4} \;\to\; 124\,235\,341\,452\,513 = 124235341452513$$

💡 5학년 체계적 나열: 새 주기에 맞게 두 배로 늘리고 $4$ 의 배수 위치 삭제.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 4

패스 3 — $5$ 번째 삭제.
현재 블록 길이 $15$ — 이미 $5$ 로 나누어 떨어짐.
$5, 10, 15$ 번째 삭제.

$$1242\underline{3}5341\underline{4}5251\underline{3} \;\to\; 1242\,5341\,5251 = 124253415251$$

💡 5학년 체계적 나열: $15$ 블록에서 $5$ 번째, $10$ 번째, $15$ 번째 — 세 자리 삭제.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

세 패스 후 최종 목록은 $12$ 자리 주기 $\mathbf{124253415251}$ 이 영원히 반복.
검산: 원래 $15$ 자리 블록당 살아남는 자릿수 $= 15 \cdot \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{4}{5} = 8$ — 우리는 블록을 두 배로 늘려 ($30$ 자리) $16$ 자리에 해당하는 살아남음을 추적했고, 한 외부 사이클당 $12$ 자리가 됨.

$$\text{최종 주기} = 124253415251 \quad (\text{길이 } 12)$$

💡 4학년 패턴: 최종 목록은 $12$ 자리 패턴 하나의 반복.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.2 단계 6

$12$-주기에서 $2019, 2020, 2021$ 번째 자리 찾기.
$2019 = 12 \cdot 168 + 3$ 이므로 $2019$ 번째는 주기의 $3$ 번째 문자, $2020$ 은 $4$ 번째, $2021$ 은 $5$ 번째.
$124253415251$ 에서 $3$ 번째 = $4$, $4$ 번째 = $2$, $5$ 번째 = $5$.

$$2019 \equiv 3,\; 2020 \equiv 4,\; 2021 \equiv 5 \pmod{12} \;\Rightarrow\; \text{숫자 } 4, 2, 5$$

💡 6학년 나머지 있는 나눗셈: $2019 \div 12$ 의 나머지가 $3$.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 7

세 숫자의 합을 구해 선택지와 매칭.

$$4 + 2 + 5 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 2학년 $100$ 이내 덧셈: $4 + 2 + 5 = 11$.

[1] #9 6.NS.B.4 세 패스가 깔끔하게 작동할 작업 블록 선택. 원 주기는 $5$, 패스 1 주기는 $3$ — $\mathrm{lcm}(5, 3) = 15$ 자리

[2] #2 5.OA.B.3 패스 1: $3, 6, 9, 12, 15$ 번째(아래 밑줄) 삭제. 블록은 $10$ 자리로 줄어듦.

[3] #2 5.OA.B.3 패스 2 — 남은 목록에서 $4$ 번째 삭제. 현재 블록 길이 $10$, $\mathrm{lcm}(10, 4) = 20$ 으로 두 배 늘려 주기

[4] #2 5.OA.B.3 패스 3 — $5$ 번째 삭제. 현재 블록 길이 $15$ — 이미 $5$ 로 나누어 떨어짐. $5, 10, 15$ 번째 삭제.

[5] #5 4.OA.C.5 세 패스 후 최종 목록은 $12$ 자리 주기 $\mathbf{124253415251}$ 이 영원히 반복. 검산: 원래 $15$ 자리 블록당 살아

[6] #5 6.NS.B.2 $12$-주기에서 $2019, 2020, 2021$ 번째 자리 찾기. $2019 = 12 \cdot 168 + 3$ 이므로 $2019$ 번째는

[7] #3 2.NBT.B.5 세 숫자의 합을 구해 선택지와 매칭.

검토

합리성 확인: 각 패스가 남기는 비율: $\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{2}{5}$. 최종 목록 길이는 $10{,}000 \cdot \tfrac{2}{5} = 4{,}000$ 자리 — $2021$ 번째 자리가 존재하므로 문제 자체가 성립. 세 숫자 $4, 2, 5$ 는 Steve가 적은 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 안의 값이며 합 $11$ 은 $[3, 15]$ 범위 안 — (D)와 정합.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 시뮬레이션. $10{,}000$ 자리 문자열을 만들고 세 단계 삭제를 직접 수행해 $2019, 2020, 2021$ 번째 자리를 읽는 짧은 프로그램 실행. 실행 결과는 $4, 2, 5$ 와 합 $11$ — LCM 계산을 신뢰하지 않아도 (D)를 검증.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행하기 ($4 + 2 + 5 = 11$ 계산.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성하기 (최종 목록이 $12$ 자리 반복 주기임을 인식.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수 패턴을 생성하고 관계 찾기 ($15$ 자리 블록에서 세 단계 삭제를 체계적으로 수행.)
6.NS.B.2 다자릿수 나눗셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행하기 ($2019 \div 12$ 의 나머지 $3$ 으로 $2019$ 번째 자리 위치 파악.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (각 패스가 깔끔하게 작용하도록 블록 크기 $\mathrm{lcm}(5, 3) = 15$, $\mathrm{lcm}(10, 4) = 20$ 선택.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수와 나머지만 알면 풀 수 있어요! 원 주기와 패스 1 주기의 LCM인 $15$ 자리 블록 $123451234512345$ 로 시작. 세 패스($\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{2}{5}$ 만 남김) 후 최종 목록은 $12$ 자리 주기 $\mathbf{124253415251}$. $2019 \equiv 3 \pmod{12}$ 이므로 $2019, 2020, 2021$ 번째는 주기의 $3, 4, 5$ 번째 — 숫자 $4, 2, 5$, 합 $\mathbf{11}$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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