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AMC 10 · 2020 · #17

학년 4 geometry-2d
유형 Casework by Position / Vertex Type
systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argument caseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationcombinations-basic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제

There are 1010 people standing equally spaced around a circle. Each person knows exactly 33 of the other 99 people: the 22 people standing next to her or him, as well as the person directly across the circle. How many ways are there for the 1010 people to split up into 55 pairs so that the members of each pair know each other?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
11
(B)
12
(C)
13
(D)
14
(E)
15
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.

주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

구하는 것: $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶는 유효한 방법의 수

이해

문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.

주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #1 (그림): $10$ 각형과 $5$ 개의 지름을 그리면 가능한 쌍 종류 (이웃 변 또는 지름) 가 한눈에 보입니다. 도구 #7 (쪼개기): 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우를 나눕니다 ($k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$). 각 경우에서 지름에 안 들어간 사람들은 이웃끼리만 짝지어져야 함. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 순서대로 빠짐없이 나열하면 중복·누락 없음.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.C.5 단계 1
  • 사람을 $0, 1, \dots, 9$ 로 번호 매김.
  • 각 쌍은 이웃 변 또는 지름.
  • 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우 분류.
  • 지름에 들어가지 않은 사람들은 이웃끼리만 짝짓기.
$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \text{ 로 분류}$$

💡 사용한 지름 수로 경우를 가른다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 2
  • 경우 $k = 5$ (지름 모두 사용).
  • 모든 사람이 반대편 사람과 짝지어짐.
  • $1$ 가지.
$$\#\{k = 5\} = 1$$

💡 지름 다섯 개 모두 — 단 한 방법.

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 3
  • 경우 $k = 4$.
  • 네 지름 사용 → 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝.
  • 둘은 정반대 (지름 거리), 이웃이 아니므로 짝지을 수 없음 (지름 사용은 제외 가정).
  • 불가능.
  • $0$ 가지.
$$\#\{k = 4\} = 0$$

💡 지름 하나 빼면 정반대 두 사람만 남아 합법 변 없음.

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 4
  • 경우 $k = 3$.
  • 세 지름 사용 → 남은 네 사람은 양쪽 두 호에 각각 위치.
  • 이웃끼리만 짝지을 수 있으려면 안 쓴 두 지름이 지름 사이클 ($5$ 개) 에서 '인접' 해야 양쪽 호에 두 이웃씩 남음.
  • 길이 $5$ 사이클에서 인접한 쌍은 $5$ 가지.
$$\#\{k = 3\} = 5$$

💡 안 쓴 두 지름이 옆에 붙어야 남은 사람들이 이웃 쌍이 됨.

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 5
  • 경우 $k = 2$.
  • 두 지름 사용 → 남은 여섯 사람은 양쪽 호 셋씩.
  • 세 명의 연속 이웃은 이웃 변으로 완벽 짝짓기 불가 (한 명이 남음).
  • 불가능.
  • $0$ 가지.
$$\#\{k = 2\} = 0$$

💡 세 명을 이웃 변만으로 묶을 순 없음.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 6
  • 경우 $k = 1$.
  • 다섯 지름 중 하나 선택 ($5$ 가지).
  • 남은 여덟 사람은 양쪽 호 넷씩 ($4$ 연속 이웃).
  • 호 하나당 이웃 짝짓기 방법은 $1$ 가지.
  • 총 $5 \cdot 1 = 5$.
$$\#\{k = 1\} = 5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$$

💡 지름 하나 고르면 양쪽 $4$ 연속 호의 이웃 짝짓기는 유일.

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 7
  • 경우 $k = 0$ (지름 없음).
  • 모든 쌍이 이웃 변.
  • $10$ 사이클의 완벽 짝짓기는 정확히 $2$ 가지: $(0,1)(2,3)(4,5)(6,7)(8,9)$ 와 $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,0)$.
$$\#\{k = 0\} = 2$$

💡 원탁 $10$ 자리의 이웃 짝짓기는 짝-홀 또는 홀-짝 두 가지.

#7 작은 문제로 쪼개기 1.OA.A.2 단계 8
  • 경우별 합: $1 + 5 + 5 + 2 = 13$.
  • 선택지 (C) 와 일치.
$$1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 2 = 13 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 배타적 경우들 — 단순 합.

[1] #7 4.OA.C.5 사람을 $0, 1, \dots, 9$ 로 번호 매김. 각 쌍은 이웃 변 또는 지름. 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우 분류. 지름에 들어가지 않
[2] #2 4.OA.C.5 경우 $k = 5$ (지름 모두 사용). 모든 사람이 반대편 사람과 짝지어짐. $1$ 가지.
[3] #1 4.G.A.1 경우 $k = 4$. 네 지름 사용 → 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝. 둘은 정반대 (지름 거리), 이웃이 아니므로 짝지을 수 없음 (지
[4] #1 4.OA.C.5 경우 $k = 3$. 세 지름 사용 → 남은 네 사람은 양쪽 두 호에 각각 위치. 이웃끼리만 짝지을 수 있으려면 안 쓴 두 지름이 지름 사이클
[5] #1 4.G.A.1 경우 $k = 2$. 두 지름 사용 → 남은 여섯 사람은 양쪽 호 셋씩. 세 명의 연속 이웃은 이웃 변으로 완벽 짝짓기 불가 (한 명이 남음).
[6] #2 4.OA.C.5 경우 $k = 1$. 다섯 지름 중 하나 선택 ($5$ 가지). 남은 여덟 사람은 양쪽 호 넷씩 ($4$ 연속 이웃). 호 하나당 이웃 짝짓기
[7] #1 4.OA.C.5 경우 $k = 0$ (지름 없음). 모든 쌍이 이웃 변. $10$ 사이클의 완벽 짝짓기는 정확히 $2$ 가지: $(0,1)(2,3)(4,5)(6
[8] #7 1.OA.A.2 경우별 합: $1 + 5 + 5 + 2 = 13$. 선택지 (C) 와 일치.

검토

합리성 확인: 답 $13$ 은 선택지 범위 $11$ -- $15$ 중간에 위치하며, 큰 기여 케이스 두 개 ($k = 1$ 과 $k = 3$ 이 각각 $5$) 와 작은 케이스 두 개 ($k = 0$ 의 $2$, $k = 5$ 의 $1$) 의 합 $5 + 5 + 2 + 1 = 13$ 으로 자연스러움. 불가능 케이스 ($k = 2, 4$) 는 그림으로 즉시 이해됨 — 남은 호의 길이가 홀수거나 반대편 두 사람만 남기 때문.

대안 접근: 도구 #2 (나열) 직접 사용: 정점 $0$-$9$ 와 변 $\{i, i+1\}$, $\{i, i+5\}$ 로 된 그래프의 완벽 짝짓기를 모두 나열. 정점 $0$ 이 들어가는 변 세 가지 ($\{0,1\}, \{0,9\}, \{0,5\}$) 로 분기 후 재귀적으로 짝짓기 → 같은 $13$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 1.OA.A.2 세 자연수의 합이 $20$ 이내인 문장제 해결 (경우별 기여 $1 + 5 + 5 + 2 = 13$ 합산.)
  • 4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 (각 경우에서 '모든 쌍은 이웃 변이거나 지름' 규칙에 따라 구성의 수를 셈.)
  • 4.G.A.1 점·선·선분·반직선·각 그리기·도형에서 식별 (원 둘레의 $10$ 점과 $5$ 개 지름을 그려 남은 호가 이웃 짝짓기 가능한지 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.

⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.

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