AMC 10 · 2020 · #18

학년 7 probability

probability-basicconditional-probabilitysymmetry-argumentfraction-arithmetic easier-related-problemcaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

An urn contains one red ball and one blue ball. A box of extra red and blue balls lies nearby. George performs the following operation four times: he draws a ball from the urn at random and then takes a ball of the same color from the box and returns those two matching balls to the urn. After the four iterations the urn contains six balls. What is the probability that the urn contains three balls of each color?

$\textbf{(A) } \frac16 \qquad \textbf{(B) }\frac15 \qquad \textbf{(C) } \frac14 \qquad \textbf{(D) } \frac13 \qquad \textbf{(E) } \frac12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{1}{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 항아리에 빨강 공 $1$ 개, 파랑 공 $1$ 개가 들어 있습니다. George 가 다음 동작을 $4$ 번 반복: 항아리에서 공 한 개를 무작위로 뽑고, 같은 색의 공을 곁의 상자에서 하나 가져와 두 공을 모두 항아리에 넣는다. $4$ 번 후 항아리 공은 $6$ 개. 빨강 $3$, 파랑 $3$ 일 확률을 구하세요.

주어진 것: 시작: 빨강 $1$, 파랑 $1$ (총 $2$); 매 단계: 무작위로 뽑은 색의 공 $2$ 개를 항아리로 (뽑은 공 $+$ 상자에서 가져온 동색); $4$ 단계 후 총 $6$ 개; 단계 $k$ 직전 항아리는 $k + 1$ 개; 관심 사건: 마지막에 빨강 $3$, 파랑 $3$; 선택지: (A) $\tfrac16$, (B) $\tfrac15$, (C) $\tfrac14$, (D) $\tfrac13$, (E) $\tfrac12$

구하는 것: $P(\text{4단계 후 빨강 3 파랑 3})$

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #2 (나열): $4$ 단계 기록은 길이 $4$ 의 R/B 문자열. 빨강 $2$, 파랑 $2$ 인 $\binom{4}{2} = 6$ 개만 목표 상태에 도달. 사전순으로 나열하고 각 확률 계산. 도구 #5 (패턴): 한두 개 계산해 보면 분자는 항상 $1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$, 분모는 $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$ — 모두 $\tfrac{1}{30}$. 도구 #9 (더 쉬운 문제): $RRBB$ 처럼 가장 단순한 순서부터 손으로 풀어 패턴을 발견.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.4 단계 1

단계 $k$ 직전 항아리에는 $k + 1$ 개 (단계 $1$ 직전엔 $2$ 개).
따라서 네 번의 분모는 무엇을 뽑든 항상 $2, 3, 4, 5$ — 분모 곱은 $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$.

$$\text{분모} = 2, 3, 4, 5;\quad \text{곱} = 120$$

💡 단계마다 항아리가 정확히 한 개씩 늘어 — 분모는 고정.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

마지막에 빨강 $3$, 파랑 $3$ 이 되려면 $4$ 번 중 정확히 빨강 $2$, 파랑 $2$.
그 순서는 $\binom{4}{2} = 6$ 가지: $\{RRBB, RBRB, RBBR, BRRB, BRBR, BBRR\}$.

$$\binom{4}{2} = 6 \text{ 가지 순서}$$

💡 $4$ 자리 중 빨강 자리 $2$ 개 고르기.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

$RRBB$ 한 가지의 확률 계산.
1단계: 빨강 $1$ / 총 $2$, $P = \tfrac{1}{2}$.
2단계: 빨강 $2$ 파랑 $1$, $P(R) = \tfrac{2}{3}$.
3단계: 빨강 $3$ 파랑 $1$, $P(B) = \tfrac{1}{4}$.
4단계: 빨강 $3$ 파랑 $2$, $P(B) = \tfrac{2}{5}$.
곱하면 $\tfrac{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$.

$$P(RRBB) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$$

💡 경로를 따라 네 조건부 확률을 곱한다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 4

다른 순서 $RBRB$ 도 확인.
$P(R) = \tfrac{1}{2}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$ (항아리 R $2$ B $1$), $P(R) = \tfrac{2}{4}$ (R $2$ B $2$), $P(B) = \tfrac{2}{5}$ (R $3$ B $2$).
곱: $\tfrac{1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$ — 같음.

$$P(RBRB) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{2}{4} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$$

💡 순서는 달라도 분자 곱은 같음 — 패턴 신호.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 5

모든 순서의 분자가 $4$ 인 이유.
분모는 단계 직전 항아리 크기 $2, 3, 4, 5$ 로 고정.
빨강의 첫 등장은 분자 $1$ (그때 항아리의 빨강 수 $1$), 빨강의 둘째 등장은 분자 $2$ (그 사이 첫 빨강이 추가됨).
파랑도 같은 방식 — 분자 $1$ 과 $2$.
따라서 모든 순서의 분자는 $1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$.

$$\text{분자} = 1_R \cdot 2_R \cdot 1_B \cdot 2_B = 4 \quad (\text{모든 6 순서})$$

💡 각 색의 첫 뽑기는 '항아리의 $1$', 둘째는 '$2$' — 색끼리는 서로 간섭하지 않음.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 6

$6$ 가지 순서 모두 확률 $\tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$ 이고 서로 배타적.
총합 $= 6 \cdot \tfrac{1}{30} = \tfrac{6}{30} = \tfrac{1}{5}$.
선택지 (B) 와 일치.

$$6 \cdot \tfrac{1}{30} = \tfrac{6}{30} = \tfrac{1}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 같은 크기 조각 $6$ 개의 합.

[1] #9 5.NF.B.4 단계 $k$ 직전 항아리에는 $k + 1$ 개 (단계 $1$ 직전엔 $2$ 개). 따라서 네 번의 분모는 무엇을 뽑든 항상 $2, 3, 4, 5

[2] #2 7.SP.C.8 마지막에 빨강 $3$, 파랑 $3$ 이 되려면 $4$ 번 중 정확히 빨강 $2$, 파랑 $2$. 그 순서는 $\binom{4}{2} = 6$ 가

[3] #2 7.SP.C.8 $RRBB$ 한 가지의 확률 계산. 1단계: 빨강 $1$ / 총 $2$, $P = \tfrac{1}{2}$. 2단계: 빨강 $2$ 파랑 $1$,

[4] #5 5.NF.B.4 다른 순서 $RBRB$ 도 확인. $P(R) = \tfrac{1}{2}$, $P(B) = \tfrac{1}{3}$ (항아리 R $2$ B $1$

[5] #5 5.NF.B.4 모든 순서의 분자가 $4$ 인 이유. 분모는 단계 직전 항아리 크기 $2, 3, 4, 5$ 로 고정. 빨강의 첫 등장은 분자 $1$ (그때 항아

[6] #2 7.SP.C.8 $6$ 가지 순서 모두 확률 $\tfrac{4}{120} = \tfrac{1}{30}$ 이고 서로 배타적. 총합 $= 6 \cdot \tfrac

검토

합리성 확인: $4$ 단계 후 가능한 빨강·파랑 분포는 $(5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5)$ 의 $5$ 가지. 고전적인 Pólya 항아리 결과로 다섯 분포 모두 동일 확률 (같은 분자 $4$, 분모 $120$ 논증을 다른 분포에도 적용 가능) — 각각 $\tfrac{1}{5}$ 이고 그게 곧 답.

대안 접근: 도구 #1 (그림) 으로 트리: $(1, 1)$ 에서 시작해 각 단계마다 $R/B$ 로 분기하는 항아리 구성 트리를 그리고 $(3, 3)$ 노드에서 $\tfrac{1}{5}$ 를 읽음. 같은 계산이지만 나열 방식이 더 간결.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.B.4 분수 곱하기에 대한 곱셈 이해 확장 (각 뽑기 순서를 따라 네 조건부 확률 ($\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{2}{5}$ 등) 을 곱함.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($\{R, R, B, B\}$ 의 $6$ 가지 순서를 나열하고 각 확률을 더해 총합 산출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 경우 나열 확률만 알면 풀 수 있어요 — 빨강 $2$ 파랑 $2$ 순서 모두 확률 $\tfrac{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \tfrac{1}{30}$. 순서 $6$ 가지이므로 답은 $6 \cdot \tfrac{1}{30} = \tfrac{1}{5}$, 선택지 $\textbf{(B)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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