AMC 10 · 2020 · #19

학년 6 arithmetic

divisibility-rulesmodular-arithmeticdigit-constraintscombinations-basic identify-subproblemscaseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

In a certain card game, a player is dealt a hand of $10$ cards from a deck of $52$ distinct cards. The number of distinct (unordered) hands that can be dealt to the player can be written as $158A00A4AA0$ . What is the digit $A$ ?

$\textbf{(A) } 2 \qquad\textbf{(B) } 3 \qquad\textbf{(C) } 4 \qquad\textbf{(D) } 6 \qquad\textbf{(E) } 7$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 사람이 $52$ 장 덱에서 카드 $10$ 장을 받습니다. 받을 수 있는 서로 다른 손패의 수는 $\binom{52}{10}$. 이 수를 십진수로 쓰면 $11$ 자리 수 $158A00A4AA0$ 인데, $A$ 로 표시된 자리는 모두 같은 한 숫자. $A$ 를 구하세요.

주어진 것: $52$ 장에서 $10$ 장 뽑는 손패 수 $= \binom{52}{10} = \tfrac{52!}{10! \cdot 42!}$; 이 수의 십진 표현이 $158A00A4AA0$ (11자리); 네 개의 $A$ 자리는 모두 같은 숫자 ($0$ -- $9$); 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 숫자 $A$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #5 패턴 찾기

도구 #7 (쪼개기): $\binom{52}{10}$ 은 분자에 $10$ 개 인수, 분모 $10!$ — 약분을 몇 단계로 나눠 작게 만든다. 도구 #3 (지우기): 후보 $5$ 개뿐이라 $9$ 의 배수 (자릿수 합) 같은 단순 정수 검사로 한 번에 좁힘. 도구 #5 (패턴): 자릿수 합 $18 + 4A$ 가 $A$ 마다 모듈로 $9$ 잔차가 다르므로 한 가지 정합 검사로 답을 고정.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

$\binom{52}{10} = \tfrac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 \cdot 43}{10!}$, $10! = 3628800$.
분자에서 분모 인수를 약분: $50 = 5 \cdot 10$, $48 = 6 \cdot 8$, $45 = 9 \cdot 5$, $44 = 4 \cdot 11$.
이로써 $10!$ 의 $10, 9, 8, 5, 4, 1$ 을 약분.
남은 분모는 $7 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2 = 252$.

$$\binom{52}{10} = \tfrac{52 \cdot 51 \cdot 5 \cdot 49 \cdot 6 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 43}{7 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 2}$$

💡 $10!$ 의 작은 인수들부터 먼저 약분해 계산 부담을 줄임.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

추가 약분: $51 = 3 \cdot 17$ 에서 $3$ 으로 $252$ 의 $3$ 을 약분, $49 = 7 \cdot 7$ 에서 $7$ 로 $252$ 의 $7$ 을 약분, 분자에 이미 있는 $6$ ($48$ 에서 나옴) 으로 $252$ 의 $6$ 을 약분, 마지막 $2$ 는 $52 = 2 \cdot 26$ 으로 약분.
모두 약분 후 $\binom{52}{10} = 26 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 11 \cdot 43$.

$$\binom{52}{10} = 26 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 11 \cdot 43$$

💡 $10!$ 의 모든 인수를 분자 조각과 짝지어 약분.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 3

단계별로 곱셈.
$26 \cdot 17 = 442$.
$442 \cdot 5 = 2210$.
$2210 \cdot 7 = 15470$.
$15470 \cdot 47 = 727090$.
$727090 \cdot 46 = 33446140$.
$33446140 \cdot 11 = 367907540$.
$367907540 \cdot 43 = 15{,}820{,}024{,}220$.

$$\binom{52}{10} = 15{,}820{,}024{,}220$$

💡 여덟 번의 짧은 곱셈으로 이어 감.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 4

$15{,}820{,}024{,}220$ 을 $158A00A4AA0$ 와 비교.
좌에서 우로 $1, 5, 8, \mathbf{2}, 0, 0, \mathbf{2}, 4, \mathbf{2}, \mathbf{2}, 0$.
모든 $A$ 자리가 $2$.
따라서 $A = 2$, 선택지 (A).

$$15{,}820{,}024{,}220 \;\leftrightarrow\; 158\mathbf{2}00\mathbf{2}4\mathbf{22}0 \;\Rightarrow\; A = 2$$

💡 자릿수를 맞춰 $A$ 자리를 읽어 냄.

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.2 단계 5

$9$ 배수 검사로 교차 확인 (도구 #5).
$158A00A4AA0$ 의 자릿수 합 $= 18 + 4A$.
후보별 자릿수 합: $A = 2 \to 26$, $A = 3 \to 30$, $A = 4 \to 34$, $A = 6 \to 42$, $A = 7 \to 46$.
계산된 $15{,}820{,}024{,}220$ 의 자릿수 합 $= 1 + 5 + 8 + 2 + 0 + 0 + 2 + 4 + 2 + 2 + 0 = 26 = 18 + 4(2)$.
$A = 2$ 와 일관.

$$\text{자릿수 합} = 18 + 4A,\quad A = 2 \Rightarrow 26 \;\checkmark$$

💡 자릿수 합 검사로 패턴과의 정합 확인.

[1] #7 6.NS.B.4 $\binom{52}{10} = \tfrac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 4

[2] #7 6.NS.B.4 추가 약분: $51 = 3 \cdot 17$ 에서 $3$ 으로 $252$ 의 $3$ 을 약분, $49 = 7 \cdot 7$ 에서 $7$ 로 $

[3] #7 5.NBT.B.5 단계별로 곱셈. $26 \cdot 17 = 442$. $442 \cdot 5 = 2210$. $2210 \cdot 7 = 15470$. $154

[4] #3 4.NBT.A.2 $15{,}820{,}024{,}220$ 을 $158A00A4AA0$ 와 비교. 좌에서 우로 $1, 5, 8, \mathbf{2}, 0, 0,

[5] #5 4.NBT.A.2 $9$ 배수 검사로 교차 확인 (도구 #5). $158A00A4AA0$ 의 자릿수 합 $= 18 + 4A$. 후보별 자릿수 합: $A = 2 \

검토

합리성 확인: 계산값 $\binom{52}{10} = 15{,}820{,}024{,}220$ 은 $11$ 자리 — 템플릿 $158A00A4AA0$ 의 자리 수와 일치. $A$ 자리 모두 $2$ 로 풀리고, 자릿수 합 교차 검사 ($A = 2$ 일 때 $26$) 도 일치. 답 $A = 2$, 선택지 (A).

대안 접근: 도구 #3 (지우기) 만으로: $9$ 의 배수 판정. Lucas 정리 (또는 직접 모듈로 계산) 로 $\binom{52}{10} \equiv 8 \pmod 9$. 자릿수 합 $18 + 4A \equiv 4A \pmod 9$ 이므로 $4A \equiv 8 \pmod 9$, 즉 $A \equiv 2 \pmod 9$ — 후보 중 $A = 2$ 만 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자릿수의 자연수 읽기·쓰기·기호로 비교 ($158A00A4AA0$ 의 자릿수를 읽고 자릿수 합과 $A$ 자리를 정합.)
5.NBT.B.5 여러 자릿수의 곱셈을 능숙히 수행 ($26 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 11 \cdot 43$ 의 여덟 번 곱셈으로 $\binom{52}{10}$ 산출.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 ($10!$ 의 인수들을 분자 $52 \cdot 51 \cdots 43$ 의 조각과 짝지어 약분.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 6학년 때 배운 약분 후 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — $\binom{52}{10}$ 의 분자에서 $10!$ 인수들을 약분한 다음 곱하면 $15{,}820{,}024{,}220$. $158A00A4AA0$ 에 맞춰 보면 모든 $A$ 가 $2$. 답은 $\textbf{(A)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기