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AMC 10 · 2020 · #21

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-trianglessimilar-trianglesisosceles-trianglepythagorean-theorem identify-subproblemsconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-trianglespythagorean-theorem
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In square ABCDABCD, points EE and HH lie on AB‾\overline{AB} and DA‾\overline{DA}, respectively, so that AE=AH.AE=AH. Points FF and GG lie on BC‾\overline{BC} and CD‾\overline{CD}, respectively, and points II and JJ lie on EH‾\overline{EH} so that FI‾⊥EH‾\overline{FI} \perp \overline{EH} and GJ‾⊥EH‾\overline{GJ} \perp \overline{EH}. See the figure below. Triangle AEHAEH, quadrilateral BFIEBFIE, quadrilateral DHJGDHJG, and pentagon FCGJIFCGJI each has area 1.1. What is FI2FI^2?

(A) 73(B) 8−42(C) 1+2(D) 742(E) 22\textbf{(A) } \frac{7}{3} \qquad \textbf{(B) } 8-4\sqrt2 \qquad \textbf{(C) } 1+\sqrt2 \qquad \textbf{(D) } \frac{7}{4}\sqrt2 \qquad \textbf{(E) } 2\sqrt2

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{7}{3}$
(B)
$8-4\sqrt2$
(C)
$1+\sqrt2$
(D)
$\frac{7}{4}\sqrt2$
(E)
$2\sqrt2$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCD$ 에서 점 $E, H$ 가 변 $AB, AD$ 위에 있고 $AE = AH$. 점 $F, G$ 는 변 $BC, CD$ 위에 있으며 $\overline{FI}, \overline{GJ}$ 는 선분 $EH$ 에 수직 — 발 $I, J$ 는 $EH$ 위에. 네 영역 — 삼각형 $AEH$, 사각형 $BFIE$, 사각형 $DHJG$, 오각형 $FCGJI$ — 의 넓이가 각각 $1$. $FI^2$ 의 값?

주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 의 네 영역 넓이가 모두 $1$; $AE = AH$ — $\triangle AEH$ 는 $A$ 가 직각인 이등변직각삼각형; $\overline{FI} \perp \overline{EH}, \;\; \overline{GJ} \perp \overline{EH}$, $F \in BC, G \in CD$; 선택지: (A) $\tfrac{7}{3}$, (B) $8 - 4\sqrt{2}$, (C) $1 + \sqrt{2}$, (D) $\tfrac{7}{4}\sqrt{2}$, (E) $2\sqrt{2}$

구하는 것: $FI^2$ 의 값

이해

문제 재정리: 정사각형 $ABCD$ 에서 점 $E, H$ 가 변 $AB, AD$ 위에 있고 $AE = AH$. 점 $F, G$ 는 변 $BC, CD$ 위에 있으며 $\overline{FI}, \overline{GJ}$ 는 선분 $EH$ 에 수직 — 발 $I, J$ 는 $EH$ 위에. 네 영역 — 삼각형 $AEH$, 사각형 $BFIE$, 사각형 $DHJG$, 오각형 $FCGJI$ — 의 넓이가 각각 $1$. $FI^2$ 의 값?

주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 의 네 영역 넓이가 모두 $1$; $AE = AH$ — $\triangle AEH$ 는 $A$ 가 직각인 이등변직각삼각형; $\overline{FI} \perp \overline{EH}, \;\; \overline{GJ} \perp \overline{EH}$, $F \in BC, G \in CD$; 선택지: (A) $\tfrac{7}{3}$, (B) $8 - 4\sqrt{2}$, (C) $1 + \sqrt{2}$, (D) $\tfrac{7}{4}\sqrt{2}$, (E) $2\sqrt{2}$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #8 단위 살펴보기, #13 대수로 바꾸기

도구 #1(그림): $AE = AH$ 의 대칭성으로 $A$ 를 원점에 두고 대각선 $AC$ 를 대칭축으로 사용. 도구 #7(쪼개기): 핵심 관찰 — $FI \parallel GJ$ (둘 다 $EH$ 에 수직) 이므로 $FGJI$ 는 직사각형. 오각형 = 직각삼각형 + 직사각형. 도구 #9(더 쉬운 문제): 대칭으로 $CF = CG$, $FI = GJ$ 라 미지수가 둘 ($c, p$) — 두 식으로 풀림. 도구 #8(거리)와 #13(대수)으로 대각선 거리식과 한 줄 빼기로 답 도출.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 1
  • 정사각형 $ABCD$ 의 총 넓이 $= 1+1+1+1 = 4$, 변 $= 2$.
  • $\triangle AEH$ 는 $A$ 가 직각인 이등변직각삼각형, 넓이 $1$ 이라 $\tfrac{1}{2}(AE)^2 = 1$, 따라서 $AE = AH = \sqrt{2}$, 빗변 $EH = 2$.
$$s = 2, \;\; AE = AH = \sqrt{2}, \;\; EH = 2$$

💡 넓이 $1$ 인 이등변직각삼각형의 다리는 $\sqrt{2}$; 총 넓이 $4$ 면 변 $2$.

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 2
  • $AE = AH$ 라 전체 그림이 대각선 $AC$ 에 대해 대칭.
  • 따라서 $CF = CG$, $FI = GJ$.
  • $F, G$ 의 위치도 대칭이라 직선 $FG$ 는 $AC$ 에 수직.
$$CF = CG, \;\; FI = GJ$$

💡 대각선 $AC$ 대칭이라 양쪽 길이가 같음.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 3
  • $FI \parallel GJ$ (둘 다 $EH$ 에 수직).
  • 따라서 사각형 $FGJI$ 는 마주보는 두 변 $FI, GJ$ 가 평행하고 길이도 같으니 평행사변형 — 게다가 $IJ \subset EH$ 이고 $FI \perp IJ$ 이므로 $FGJI$ 는 직사각형.
$$FGJI \text{ 는 직사각형, 변 } FI \text{ 와 } IJ$$

💡 수직선 두 개가 같은 길이로 평행 — 직사각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4
  • 오각형 $FCGJI$ 의 분할: 꼭짓점 순서 $F \to C \to G \to J \to I \to F$.
  • 직선 $FG$ 를 그으면 위쪽 (점 $C$ 쪽) 은 삼각형 $\triangle FCG$, 아래쪽은 직사각형 $FGJI$.
  • 따라서 $$[FCGJI] = [\triangle FCG] + [FGJI] = \tfrac{c^2}{2} + FI \cdot IJ$$ 여기서 $c = CF = CG$ 이고 $\triangle FCG$ 는 $C$ 가 직각인 이등변직각삼각형이라 $FG = c\sqrt{2} = IJ$.
$$1 = \tfrac{c^2}{2} + c\sqrt{2} \cdot FI$$

💡 오각형 = 위쪽 직각삼각형 + 아래쪽 직사각형.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 5
  • 좌표 설정 $A = (0,0), B = (2,0), C = (2,2), D = (0,2)$.
  • $E = (\sqrt{2}, 0), H = (0, \sqrt{2})$ 라 직선 $EH: x + y = \sqrt{2}$.
  • 대칭으로 $F = (2, 2-c), G = (2-c, 2)$, 직선 $FG: x + y = 4 - c$.
  • 점 $C$ 에서 $EH$ 까지 거리 $= \tfrac{|4 - \sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - 1$.
$$\text{dist}(C, EH) = 2\sqrt{2} - 1$$

💡 좌표를 박아 거리 공식으로 계산.

#8 단위 살펴보기 8.G.B.8 단계 6
  • 대각선 $AC$ 위 거리 분해: $C$ 에서 직선 $FG$ 까지 거리 $= c/\sqrt{2}$, 직선 $FG$ 에서 직선 $EH$ 까지 거리 $= FI$ (대각선 방향이 두 직선의 공통 수직).
  • 합 $= 2\sqrt{2} - 1$ 이라 $$\tfrac{c}{\sqrt{2}} + FI = 2\sqrt{2} - 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; c + FI \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}.$$
$$c + FI \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$$

💡 대각선 방향으로 폭을 합산 — 거리 공식.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 7

두 식: (i) $c^2 + 2c\sqrt{2} \cdot FI = 2$ [오각형, ×2] (ii) $c + FI \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$ [거리] 양변 제곱 (ii): $(c + FI\sqrt{2})^2 = (4 - \sqrt{2})^2 = 18 - 8\sqrt{2}$, 즉 $c^2 + 2c \sqrt{2} \cdot FI + 2 FI^2 = 18 - 8\sqrt{2}.$ (i) 을 빼면 $$2 FI^2 = (18 - 8\sqrt{2}) - 2 = 16 - 8\sqrt{2}$$ $$FI^2 = 8 - 4\sqrt{2}.$$

$$FI^2 = 8 - 4\sqrt{2} \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 (ii) 제곱에 $2FI^2$ 가 따라옴 — (i) 을 빼서 바로 $FI^2$ 뽑기.

[1] #7 8.G.B.7 정사각형 $ABCD$ 의 총 넓이 $= 1+1+1+1 = 4$, 변 $= 2$. $\triangle AEH$ 는 $A$ 가 직각인 이등변직각삼각
[2] #1 4.G.A.3 $AE = AH$ 라 전체 그림이 대각선 $AC$ 에 대해 대칭. 따라서 $CF = CG$, $FI = GJ$. $F, G$ 의 위치도 대칭이라
[3] #1 4.G.A.2 $FI \parallel GJ$ (둘 다 $EH$ 에 수직). 따라서 사각형 $FGJI$ 는 마주보는 두 변 $FI, GJ$ 가 평행하고 길이도
[4] #7 6.G.A.1 오각형 $FCGJI$ 의 분할: 꼭짓점 순서 $F \to C \to G \to J \to I \to F$. 직선 $FG$ 를 그으면 위쪽 (점
[5] #1 5.G.A.2 좌표 설정 $A = (0,0), B = (2,0), C = (2,2), D = (0,2)$. $E = (\sqrt{2}, 0), H = (0,
[6] #8 8.G.B.8 대각선 $AC$ 위 거리 분해: $C$ 에서 직선 $FG$ 까지 거리 $= c/\sqrt{2}$, 직선 $FG$ 에서 직선 $EH$ 까지 거리
[7] #13 8.EE.C.7 두 식: (i) $c^2 + 2c\sqrt{2} \cdot FI = 2$ [오각형, ×2] (ii) $c + FI \sqrt{2} = 4 -

검토

합리성 확인: 수치 점검: $8 - 4\sqrt{2} \approx 2.343$, $FI \approx 1.531$. $C$ 에서 $EH$ 까지 거리 $2\sqrt{2} - 1 \approx 1.828$ 보다 작아야 ✓. $c = (4 - \sqrt{2}) - FI \sqrt{2} \approx 4 - 1.414 - 2.165 = 0.421$, $0 < c < 2$ 적합 ✓. 오각형 넓이 확인: $\tfrac{0.421^2}{2} + 0.421 \sqrt{2} \cdot 1.531 \approx 0.089 + 0.912 = 1.001$ ✓. 선택지 (B) 확정.

대안 접근: 도구 #13(대수): $F = (2, t)$ 로 두고 사각형 $BFIE$ 넓이 $= 1$ 을 좌표 셰이스로 풀어 $t$ 구한 뒤 $FI = (2 + t - \sqrt{2})/\sqrt{2}$ 제곱. 도구 #10(직접): 변 $2$ 인 종이 정사각형을 잘라 $E, H$ 를 $\sqrt{2}$ 위치에 표시한 뒤 네 영역이 같아지도록 $F, G$ 위치 가늠. 본문의 직사각형 분할이 가장 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

  • 4.G.A.2 평행·수직선으로 도형 분류 ($FI \parallel GJ$ ($EH$ 에 수직)에서 $FGJI$ 가 직사각형임을 인식.)
  • 4.G.A.3 도형의 대칭선 인식 ($AE = AH$ 로부터 대각선 $AC$ 가 대칭축임을 인식 — $CF = CG, FI = GJ$ 도출.)
  • 5.G.A.2 좌표평면에 점을 그려 문제 표현 ($A = (0,0), B = (2,0), C = (2,2), D = (0,2)$ 좌표로 거리·직선 식 계산.)
  • 6.G.A.1 삼각형·다각형 넓이를 분해·합성으로 구하기 (오각형 $FCGJI$ = 삼각형 $FCG$ + 직사각형 $FGJI$ 분해.)
  • 8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (오각형 식과 거리 식의 제곱·차로 $FI^2$ 도출 — 본질적으로 하나의 변수만 남는 식.)
  • 8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변 길이 구하기 ($\triangle AEH$ 가 이등변직각삼각형, 넓이 $1$ 에서 $AE = \sqrt{2}, EH = 2$ 도출.)
  • 8.G.B.8 좌표평면 두 점 사이 거리 (피타고라스) ($C$ 에서 직선 $EH$ 까지, 직선 $FG$ 까지 수선 거리를 점-직선 공식으로 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 기하만으로 풀려요 — $FI \parallel GJ$ 라 $FGJI$ 가 직사각형이라는 점만 보면, 오각형 넓이 식과 대각선 거리 식의 제곱·차로 $FI^2 = 8 - 4\sqrt{2}$ 가 바로 나옵니다.

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 기하만으로 풀려요 — $FI \parallel GJ$ 라 $FGJI$ 가 직사각형이라는 점만 보면, 오각형 넓이 식과 대각선 거리 식의 제곱·차로 $FI^2 = 8 - 4\sqrt{2}$ 가 바로 나옵니다.

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