AMC 10 · 2020 · #23

학년 8 geometry-2d

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetryparity pattern-recognitioncaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: transformations-compositionreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Square $ABCD$ in the coordinate plane has vertices at the points $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1),$ and $D(1,-1).$ Consider the following four transformations:

$\quad\bullet\qquad$ $L,$ a rotation of $90^{\circ}$ counterclockwise around the origin;

$\quad\bullet\qquad$ $R,$ a rotation of $90^{\circ}$ clockwise around the origin;

$\quad\bullet\qquad$ $H,$ a reflection across the $x$ -axis; and

$\quad\bullet\qquad$ $V,$ a reflection across the $y$ -axis.

Each of these transformations maps the squares onto itself, but the positions of the labeled vertices will change. For example, applying $R$ and then $V$ would send the vertex $A$ at $(1,1)$ to $(-1,-1)$ and would send the vertex $B$ at $(-1,1)$ to itself. How many sequences of $20$ transformations chosen from $\{L, R, H, V\}$ will send all of the labeled vertices back to their original positions? (For example, $R, R, V, H$ is one sequence of $4$ transformations that will send the vertices back to their original positions.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{37}$

(B)

$3\cdot 2^{36}$

(C)

$2^{38}$

(D)

$3\cdot 2^{37}$

(E)

$2^{39}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 꼭짓점이 $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1), D(1,-1)$ 인 정사각형에 $\{L, R, H, V\}$ 중 하나를 $20$ 번 적용 (각각 90° 반시계/시계 회전, $x$축·$y$축 대칭). 모든 라벨 꼭짓점이 원위치로 돌아오는 수열은 몇 개?

주어진 것: 정사각형 $ABCD$, $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1), D(1,-1)$; 변환: $L$ (반시계 90°), $R$ (시계 90°), $H$ ($x$축 대칭), $V$ ($y$축 대칭); 수열 길이: $20$; 전체 수열 수: $4^{20}$; 선택지: (A) $2^{37}$, (B) $3 \cdot 2^{36}$, (C) $2^{38}$, (D) $3 \cdot 2^{37}$, (E) $2^{39}$

구하는 것: 합성 결과가 항등변환인 수열의 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): $n = 2$, $n = 4$ 작은 경우 직접 계산 후 규칙 추출. 도구 #5(패턴): 짝수 길이 $n \ge 2$ 에서 항등 수열 비율이 정확히 $1/4$. 도구 #2(나열): 길이 $2$ 수열 $16$ 개 직접 점검 — 항등은 $LR, RL, HH, VV$ 4 개. 도구 #7(쪼개기): 20 번을 "연속 두 번"으로 10 쌍 묶기 — 각 쌍은 4 종류 효과를 균등하게 만듦. 도구 #6(추측·확인): $4^{20}/4 = 4^{19} = 2^{38}$ 가 작은 사례에서 맞음을 확인. 도구 #1(그림)으로 네 변환의 치환 표기 고정, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 비율 교차 점검.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.1 단계 1

각 변환을 라벨 꼭짓점의 치환으로 표현.
$L$ (반시계 90°): $A \to B \to C \to D \to A$.
$R$ (시계 90°): $A \to D \to C \to B \to A$.
$H$ ($x$축 대칭): $A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow C$.
$V$ ($y$축 대칭): $A \leftrightarrow B, C \leftrightarrow D$.
네 변환 모두 각 꼭짓점을 "이웃 꼭짓점"으로 보냄 (대각 꼭짓점으로 X).

$$L = (A B C D), \; R = (A D C B), \; H = (A D)(B C), \; V = (A B)(C D)$$

💡 모든 변환은 꼭짓점을 이웃으로만 이동시킴.

#5 패턴 찾기 4.G.A.3 단계 2

핵심 관찰.
각 변환은 $A$ 를 이웃 위치로 보냄 — 대각 위치로는 X.
한 번 이동 후 $A$ 는 $B$ 또는 $D$, 두 번 이동 후 $A$ 는 $A$ 또는 $C$.
일반적으로 짝수 번 이동 후 $A$ 는 $\{A, C\}$, 홀수 번 후 $\{B, D\}$.
원위치 복귀는 짝수 길이에서만 가능 — $20$ 은 짝수.

$$A_{\text{짝수 후}} \in \{A, C\}, \;\; A_{\text{홀수 후}} \in \{B, D\}$$

💡 각 변환이 "대각 클래스" $\{A,C\}$ ↔ $\{B,D\}$ 를 토글.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

도구 #2(나열)로 $n = 2$ 계산.
길이 $2$ 수열 $16$ 개 합성: $LL$ → $180°$ 회전 (X), $RR$ → $180°$ (X), $LR$ → 항등 ✓, $RL$ → 항등 ✓, $HH$ → 항등 ✓, $VV$ → 항등 ✓, 혼합 ($HV, VH, LH, HL, LV, VL, RH, HR, RV, VR$) → 다른 $D_4$ 원소 (X).
항등 4 개 / 16 — 비율 $1/4$.

$$N(2) = 4, \;\; \dfrac{N(2)}{4^2} = \dfrac{1}{4}$$

💡 길이 $2$ 수열 16 개 중 정확히 4 개 ($LR, RL, HH, VV$) 만 항등.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

귀납 (도구 #7 + #5).
$n \ge 2$ 짝수에 대해 $N(n) = 4^{n-1}$ 가정.
$N(n+2) = 4^{n+1}$ 증명.
길이 $n$ 수열 뒤에 임의 두 변환 추가 — 어떤 상태에서든 마지막 두 변환 쌍은 정확히 $1/4$ 확률로 항등 효과.
따라서 $N(n+2) = 4 \cdot N(n)$.

$N(n+2) = 4 \cdot N(n), \;\; N(n) = 4^{n-1}$ ($n \ge 2$ 짝수)

💡 마지막 두 변환이 앞 $n$ 의 효과를 $1/4$ 확률로 상쇄.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.A.2 단계 5

더 깔끔한 직접 논증.
"두 변환 쌍의 효과" — 두 변환 합성은 $D_4$ 의 항등, $180°$ 회전, 대각 $y=x$ 대칭, 대각 $y=-x$ 대칭 중 하나.
시작 상태에 무관하게 각각 정확히 4 쌍씩 (16 쌍 중).
20 번을 10 쌍으로 묶으면 각 쌍은 4 원소 부분군에서 균등 추출.
10 개 균등 원소 곱이 항등일 확률 정확히 $1/4$.

$$P(\text{항등}) = \dfrac{1}{4}, \;\; N(20) = \dfrac{4^{20}}{4} = 4^{19} = 2^{38}$$

💡 쌍은 4 원소군의 균등 원소 — 그 곱이 항등일 확률 $1/4$.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.A.1 단계 6

계산: $4^{19} = (2^2)^{19} = 2^{38}$.
선택지 $(C)$ 일치.

$$N(20) = 2^{38} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 $4^{19} = 2^{38}$ — 선택지 $(C)$ 직접 매치.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.7 단계 7

교차 확인 (도구 #3 가능성 지우기).
전체 $4^{20} = 2^{40}$.
비율 $1/4$ → $2^{38}$.
$(A) = 2^{37}$ 는 비율 $1/8$ (X $D_4$ 전체 균등 가정), $(E) = 2^{39}$ 는 $1/2$ (X).
비율 $1/4$ 와 일치하는 선택지는 $(C)$ 만.

$$\text{비율} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow N = \dfrac{2^{40}}{4} = 2^{38}$$

💡 $1/4$ 비율과 정확히 매치되는 선택지는 $(C)$ 뿐.

[1] #1 8.G.A.1 각 변환을 라벨 꼭짓점의 치환으로 표현. $L$ (반시계 90°): $A \to B \to C \to D \to A$. $R$ (시계 90°):

[2] #5 4.G.A.3 핵심 관찰. 각 변환은 $A$ 를 이웃 위치로 보냄 — 대각 위치로는 X. 한 번 이동 후 $A$ 는 $B$ 또는 $D$, 두 번 이동 후 $A

[3] #2 7.SP.C.8 도구 #2(나열)로 $n = 2$ 계산. 길이 $2$ 수열 $16$ 개 합성: $LL$ → $180°$ 회전 (X), $RR$ → $180°$

[4] #7 7.SP.C.8 귀납 (도구 #7 + #5). $n \ge 2$ 짝수에 대해 $N(n) = 4^{n-1}$ 가정. $N(n+2) = 4^{n+1}$ 증명. 길이

[5] #9 8.G.A.2 더 깔끔한 직접 논증. "두 변환 쌍의 효과" — 두 변환 합성은 $D_4$ 의 항등, $180°$ 회전, 대각 $y=x$ 대칭, 대각 $y=-

[6] #6 8.EE.A.1 계산: $4^{19} = (2^2)^{19} = 2^{38}$. 선택지 $(C)$ 일치.

[7] #3 7.SP.C.7 교차 확인 (도구 #3 가능성 지우기). 전체 $4^{20} = 2^{40}$. 비율 $1/4$ → $2^{38}$. $(A) = 2^{37}$

검토

합리성 확인: 감각 점검: 전체 $4^{20} = 2^{40} \approx 10^{12}$, 항등 $2^{38} \approx 2.75 \times 10^{11}$, 비율 정확히 $1/4$. 작은 사례: $n = 2$, 항등 4 개 ($LR, RL, HH, VV$), $4/16 = 1/4$ ✓. $n = 4$: 계산 (또는 쌍 귀납) → $4^3 = 64$ / $256$, 비율 $1/4$ ✓. 선택지 $(C)$ 확정.

대안 접근: 도구 #2(나열) 확장: $D_4$ 8 원소에 대해 "한 변환 후 상태 천이 행렬" 작성 (각 변환은 상태를 다른 4 원소로 균등 보냄), 20 거듭제곱해 항등→항등 성분 읽기. $D_4$ 상의 이산 임의보행과 동치. 본문의 쌍 묶기가 지름길.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.3 도형의 대칭선 인식 (각 변환이 라벨 꼭짓점을 이웃으로만 이동 — 위치 짝홀 파리티 추적.)
7.SP.C.7 확률 모델 설정 및 확률 계산 (각 두 변환 쌍을 4 효과의 균등 추출로 모델링, $1/4$ 비율 적용.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건 확률 (길이 $2$ 수열 16 개 나열로 항등 4 개 직접 확인.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질 ($4^{19} = 2^{38}$ 변환으로 선택지 $(C)$ 매치.)
8.G.A.1 회전·대칭·평행이동의 성질 실험 (각 변환 ($L, R, H, V$) 을 라벨 꼭짓점의 치환으로 식별.)
8.G.A.2 변환에 의한 두 도형의 합동 (네 변환 모두 정사각형 보존, 합성은 대칭군 $D_4$ 원소.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 기하 변환만 알면 풀려요 — 두 변환 쌍은 정사각형에 정확히 $4$ 가지 효과 중 하나 (그 중 하나가 항등) 를 균등하게 주므로, 항등 수열 비율 $1/4$ — 답 $4^{20}/4 = 4^{19} = 2^{38}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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