AMC 10 · 2020 · #24

학년 8 arithmetic

floor-functionbound-inequality-then-enumeratedivisibility-rulesperfect-squares convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: floor-functiondivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

How many positive integers $n$ satisfy $\dfrac{n+1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?$ (Recall that $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer not exceeding $x$ .)

$\textbf{(A) } 2 \qquad\textbf{(B) } 4 \qquad\textbf{(C) } 6 \qquad\textbf{(D) } 30 \qquad\textbf{(E) } 32$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ($\lfloor x \rfloor$ 은 $x$ 를 넘지 않는 최대 정수) 를 만족하는 양의 정수 $n$ 의 개수는?

주어진 것: 방정식 $\dfrac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$, 양의 정수 $n$; 양변이 같은 정수여야 함; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $30$, (E) $32$

구하는 것: 조건 만족 양의 정수 $n$ 의 개수

이해

문제 재정리: $\dfrac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ($\lfloor x \rfloor$ 은 $x$ 를 넘지 않는 최대 정수) 를 만족하는 양의 정수 $n$ 의 개수는?

주어진 것: 방정식 $\dfrac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$, 양의 정수 $n$; 양변이 같은 정수여야 함; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $30$, (E) $32$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #13(대수): $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 도입해 $n = 70k - 1000$. 도구 #7(쪼개기): 마루 조건 $k^2 \le n < (k+1)^2$ 가 두 이차부등식으로 분리. 도구 #6(추측·확인): 후보 $k$ 각각 원식에 대입 검증. 도구 #2(나열): 두 부등식 동시 만족 정수 $k$ 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 범위 밖, $n \le 0$ 후보 제거.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 1

$k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 두기.
양변이 정수라 $\dfrac{n + 1000}{70} = k$ 에서 $n = 70k - 1000$.

$$k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor, \;\; n = 70k - 1000$$

💡 양변 공통 정수 $k$ 도입 — 각 $k$ 에 대해 $n$ 이 선형으로 결정.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.C.7 단계 2

$k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 의 정의 부등식 $k^2 \le n < (k+1)^2$ 에 $n = 70k - 1000$ 대입: $$k^2 \;\le\; 70k - 1000 \;<\; (k+1)^2 \;=\; k^2 + 2k + 1.$$

$$k^2 \le 70k - 1000 < k^2 + 2k + 1$$

💡 마루의 양 끝 — 두 부등식으로 분리.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 3

왼쪽: $k^2 - 70k + 1000 \le 0$.
근의 공식: $k = \dfrac{70 \pm \sqrt{4900 - 4000}}{2} = \dfrac{70 \pm 30}{2} = 20$ 또는 $50$.
따라서 $20 \le k \le 50$.

$$k^2 - 70k + 1000 \le 0 \Leftrightarrow 20 \le k \le 50$$

💡 위로 볼록 포물선 — 두 근 $20, 50$ 사이에서 $\le 0$.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

오른쪽: $70k - 1000 < k^2 + 2k + 1 \Leftrightarrow k^2 - 68k + 1001 > 0$.
근: $k = \dfrac{68 \pm \sqrt{4624 - 4004}}{2} = \dfrac{68 \pm \sqrt{620}}{2}$.
$\sqrt{620} \approx 24.90$ 이라 근 $\approx \dfrac{68 \pm 24.90}{2} \approx 21.55, 46.45$.
포물선이 위로 볼록 — 근 밖에서 $> 0$: $k \le 21$ 또는 $k \ge 47$.

$$k^2 - 68k + 1001 > 0 \Leftrightarrow k \le 21 \text{ 또는 } k \ge 47$$

💡 포물선이 근 밖에서 양 — 두 조각으로 분리.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.8 단계 5

두 조건 교집합: $\{20 \le k \le 50\} \cap \{k \le 21 \text{ 또는 } k \ge 47\} = \{20, 21\} \cup \{47, 48, 49, 50\}$.
총 6 개.

$$k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\}$$

💡 범위 $[20, 50]$ 의 양 끝에 짧은 두 구간.

#6 추측하고 확인하기 8.NS.A.2 단계 6

각 $k$ 에 대해 $n = 70k - 1000 > 0$ ($k \ge 20$ 이라 $n \ge 400 > 0$).
원식 검증 — $\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$ 확인: • $k = 20$: $n = 400$, $\sqrt{400} = 20$, 마루 $= 20$ ✓ • $k = 21$: $n = 470$, $\sqrt{470} \approx 21.68$, 마루 $= 21$ ✓ • $k = 47$: $n = 2290$, $\sqrt{2290} \approx 47.85$, 마루 $= 47$ ✓ • $k = 48$: $n = 2360$, $\sqrt{2360} \approx 48.58$, 마루 $= 48$ ✓ • $k = 49$: $n = 2430$, $\sqrt{2430} \approx 49.30$, 마루 $= 49$ ✓ • $k = 50$: $n = 2500$, $\sqrt{2500} = 50$, 마루 $= 50$ ✓

$$n \in \{400, 470, 2290, 2360, 2430, 2500\}$$

💡 각 $k$ 에 대해 $\sqrt{n}$ 근삿값으로 마루 확인.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 7

6 개 모두 통과.
개수 $= 6$, 답 $(C)$.

$$\#\{n\} = 6 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 6 개 모두 확인 — 답 $(C)$.

[1] #13 6.EE.B.7 $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 두기. 양변이 정수라 $\dfrac{n + 1000}{70} = k$ 에서 $n = 70

[2] #7 8.EE.C.7 $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 의 정의 부등식 $k^2 \le n < (k+1)^2$ 에 $n = 70k - 1000$

[3] #13 8.EE.C.7 왼쪽: $k^2 - 70k + 1000 \le 0$. 근의 공식: $k = \dfrac{70 \pm \sqrt{4900 - 4000}}{2} =

[4] #13 8.EE.C.7 오른쪽: $70k - 1000 < k^2 + 2k + 1 \Leftrightarrow k^2 - 68k + 1001 > 0$. 근: $k = \

[5] #2 6.EE.B.8 두 조건 교집합: ${20 \le k \le 50} \cap {k \le 21 \text{ 또는 } k \ge 47} = {20, 21

[6] #6 8.NS.A.2 각 $k$ 에 대해 $n = 70k - 1000 > 0$ ($k \ge 20$ 이라 $n \ge 400 > 0$). 원식 검증 — $\lfloo

[7] #3 6.EE.B.5 6 개 모두 통과. 개수 $= 6$, 답 $(C)$.

검토

합리성 확인: 감각 점검. 왼쪽 부등식의 두 근 $k = 20, 50$ 근처에서만 해가 모임. $k = 20$: $n = 400 = 20^2$ 정확 일치. $k = 50$: $n = 2500 = 50^2$ 도 정확. 각 끝에서 약간 안쪽으로 $k$ 가 더 들어갈 수 있음 — 오른쪽 부등식이 막기 전까지. 중간 범위 $22 \le k \le 46$ 은 오른쪽 부등식 실패: $(k+1)^2 - k^2 = 2k + 1$ 이 좁아서 $70k - 1000 - k^2$ 가 그 안에 못 들어감. 6 개 — 답 $(C)$.

대안 접근: 도구 #2(나열) 직접: $n + 1000$ 이 $70$ 의 배수라 $n \in \{40, 110, 180, \dots\}$ ($70$ 등차). 각 $n$ 에 대해 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 와 $(n + 1000)/70$ 일치 점검. $\sim 50$ 후보 점검 — 구체적이나 본문의 대수적 풀이가 더 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.5 방정식·부등식 풀이를 값 찾기로 이해 (두 부등식 + 마루 검증을 만족하는 정수 $k$ 수집.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형 식 세우고 풀기 ($(n + 1000)/70 = k$ 에서 $n = 70k - 1000$ 도출.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형 부등식 및 수직선 표시 (정수 범위 $\{20 \le k \le 50\}$ 와 $\{k \le 21 \text{ 또는 } k \ge 47\}$ 교집합.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 (이차부등식 $k^2 - 70k + 1000 \le 0$, $k^2 - 68k + 1001 > 0$ 을 근의 공식으로 풀기.)
8.NS.A.2 무리수의 유리수 근사로 크기 비교 ($\sqrt{620} \approx 24.90$ 및 각 $\sqrt{n}$ 근사로 마루 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 부등식만 알면 풀려요 — $k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 치환으로 $n = 70k - 1000$, 마루 정의 $k^2 \le n < (k+1)^2$ 에 넣어 이차부등식 두 개 풀고 교집합: $k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\}$ — 6 개.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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