AMC 10 · 2020 · #3

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

ratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblemsguess-and-check ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The ratio of $w$ to $x$ is $4:3$ , the ratio of $y$ to $z$ is $3:2$ , and the ratio of $z$ to $x$ is $1:6$ . What is the ratio of $w$ to $y?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

4:3

(B)

3:2

(C)

8:3

(D)

4:1

(E)

16:3

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 양 $w, x, y, z$ 사이에 세 개의 비가 주어져요: $w:x = 4:3$, $y:z = 3:2$, $z:x = 1:6$. $w:y$ 를 구하세요.

주어진 것: $w:x = 4:3$; $y:z = 3:2$; $z:x = 1:6$; 선택지: (A) $4:3$, (B) $3:2$, (C) $8:3$, (D) $4:1$, (E) $16:3$

구하는 것: $w:y$

이해

문제 재정리: 네 양 $w, x, y, z$ 사이에 세 개의 비가 주어져요: $w:x = 4:3$, $y:z = 3:2$, $z:x = 1:6$. $w:y$ 를 구하세요.

주어진 것: $w:x = 4:3$; $y:z = 3:2$; $z:x = 1:6$; 선택지: (A) $4:3$, (B) $3:2$, (C) $8:3$, (D) $4:1$, (E) $16:3$

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #15 다르게 정리하기

도구 #6(추측하고 확인하기) — 일반성 잃지 않기: 비는 크기에 상관없으므로 가장 편한 값으로 한 변수를 "고정" 할 수 있음. $x$ 가 두 비에 등장하므로 $x = 6$ 으로 두면 $w:x = 4:3$ 과 $z:x = 1:6$ 모두 정수로 떨어짐. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $x \to w$, $x \to z$, $z \to y$ 의 세 단계로 나누어 마지막에 $w:y$ 로 합침. 도구 #15(다르게 정리하기): 주어진 순서를 "사슬" 처럼 다시 배열 — $w \leftarrow x \to z \to y$ 흐름으로 보면 길이 한눈에 보임.

실행 — 정답: E

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 1

편리한 값 정하기.
$x$ 가 두 비에 들어가니 $x = 6$ 으로 두면 $z:x = 1:6$ 에서 $z = 1$, $w:x = 4:3$ 에서 $w$ 도 정수.
(비는 비례하므로 값을 골라도 결과 비는 같음.)

$$x = 6$$

💡 비는 크기를 가리지 않으므로 계산하기 좋은 크기를 우리가 고름.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

$w:x = 4:3$ 와 $x = 6$ 에서: 양쪽에 $2$ 를 곱해서 $w = 4 \times 2 = 8$.

$$w:x = 4:3 = 8:6 \;\Rightarrow\; w = 8$$

💡 $4:3$ 의 양쪽에 같은 수 $2$ 를 곱하면 $x = 6$ 에 맞아짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

$z:x = 1:6$ 와 $x = 6$ 에서: $z = 1$.

$$z:x = 1:6 \;\Rightarrow\; z = 1$$

💡 $x$ 가 $6$ 일 때마다 $z$ 는 $1$ — 우리가 $x = 6$ 으로 잡았으니 $z = 1$.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

$y:z = 3:2$ 와 $z = 1$ 에서: $y = \frac{3}{2} \cdot z = \frac{3}{2}$.

$$y:z = 3:2 \;\Rightarrow\; y = \dfrac{3}{2} z = \dfrac{3}{2}$$

💡 $z$ 가 $2$ 일 때마다 $y$ 가 $3$ 이니, 반의 한 칸은 $y = \frac{3}{2}$.

#15 다르게 정리하기 6.RP.A.3 단계 5

$w:y = 8 : \tfrac{3}{2}$ 의 양쪽에 $2$ 를 곱해서 분수를 없앰: $16 : 3$.

$$w:y = 8 : \dfrac{3}{2} = 16 : 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 비는 양쪽에 같은 수를 곱해도 변하지 않음 — 분수를 없애려고 적당한 수로 곱함.

[1] #6 6.RP.A.3 편리한 값 정하기. $x$ 가 두 비에 들어가니 $x = 6$ 으로 두면 $z:x = 1:6$ 에서 $z = 1$, $w:x = 4:3$ 에서

[2] #7 6.RP.A.3 $w:x = 4:3$ 와 $x = 6$ 에서: 양쪽에 $2$ 를 곱해서 $w = 4 \times 2 = 8$.

[3] #7 6.RP.A.3 $z:x = 1:6$ 와 $x = 6$ 에서: $z = 1$.

[4] #7 6.RP.A.3 $y:z = 3:2$ 와 $z = 1$ 에서: $y = \frac{3}{2} \cdot z = \frac{3}{2}$.

[5] #15 6.RP.A.3 $w:y = 8 : \tfrac{3}{2}$ 의 양쪽에 $2$ 를 곱해서 분수를 없앰: $16 : 3$.

검토

합리성 확인: 다른 시작값으로 확인. $x = 12$ 로 두면 $w = 16$, $z = 2$, $y = 3$. $w:y = 16:3$ — 같은 비, (E) 일관됨. 또 $w$ 가 다른 값보다 훨씬 크고 $y$ 는 작으니, $w:y$ 가 큰 값이어야 한다는 직관과도 맞음.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 비를 대수적으로 이어붙이기: $\frac{w}{y} = \frac{w}{x} \cdot \frac{x}{z} \cdot \frac{z}{y} = \frac{4}{3} \cdot 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 풀이 (공통 변수 $x = 6$ 으로 모든 비를 맞추고 사슬로 이어 $w:y = 16:3$ 을 얻음.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "비는 같은 수로 곱하거나 나눠도 변하지 않음" 만 알면 풀 수 있어요 — $x = 6$ 으로 두면 $w = 8$, $z = 1$, $y = \tfrac{3}{2}$, 그러면 $w:y = 16:3$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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