AMC 10 · 2020 · #4

학년 8 geometry-2d

angle-sum-triangleprime-numbersprimality-test guess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersangle-sum-triangle

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The acute angles of a right triangle are $a^{\circ}$ and $b^{\circ}$ , where $a>b$ and both $a$ and $b$ are prime numbers. What is the least possible value of $b$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직각삼각형의 두 예각이 $a^\circ$ 와 $b^\circ$ 이고 $a > b$, 둘 다 소수일 때 $b$ 의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: 직각삼각형 (한 각이 $90^\circ$); 두 예각은 $a^\circ$ 와 $b^\circ$; $a + b = 90$ (직각삼각형의 두 예각의 합은 $90^\circ$); $a, b$ 모두 소수이고 $a > b$; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $11$

구하는 것: $b$ 의 최솟값

이해

문제 재정리: 직각삼각형의 두 예각이 $a^\circ$ 와 $b^\circ$ 이고 $a > b$, 둘 다 소수일 때 $b$ 의 최솟값을 구하세요.

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #16 관점 바꾸기

도구 #3(가능성 지우기): 선택지가 다섯 개뿐. 작은 값부터 차례로 "$90 - b$ 가 소수인가?" 만 확인하면 가장 먼저 성공하는 값이 답. 도구 #6(추측하고 확인하기): 최솟값을 찾으니 작은 것부터. 도구 #16(관점 바꾸기): "$b$ 가 소수인가?" 는 이미 선택지가 다 소수이므로, 질문을 "$90 - b$ 도 소수인가?" 로 옮기면 한 번의 소수 판정으로 결판.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 8.G.A.5 단계 1

각의 합 사용.
삼각형의 세 각의 합은 $180^\circ$.
한 각이 $90^\circ$ 이므로 나머지 두 예각의 합은 $a + b = 180 - 90 = 90$.

$$a + b = 90$$

💡 전체 $180^\circ$ 에서 직각 $90^\circ$ 를 빼면 두 예각이 나눠 가질 $90^\circ$ 남음.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 2

가장 작은 $b = 2$ 부터 시도.
$a = 90 - 2 = 88 = 8 \times 11$ — 짝수이고 합성수라 소수가 아님.
탈락.

$b = 2 \Rightarrow a = 88$ (합성수) \;\;✗

💡 $2$ 보다 큰 짝수는 모두 합성수 — 가장 빠른 판정.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 3

$b = 3$ 시도.
$a = 90 - 3 = 87 = 3 \times 29$, 합성수.
탈락.

$b = 3 \Rightarrow a = 87 = 3 \cdot 29$ \;\;✗

💡 $87$ 의 각 자리 합 $15$ 가 $3$ 의 배수이므로 $87$ 은 $3$ 으로 나눠짐.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 4

$b = 5$ 시도.
$a = 90 - 5 = 85 = 5 \times 17$, 합성수.
탈락.

$b = 5 \Rightarrow a = 85 = 5 \cdot 17$ \;\;✗

💡 $85$ 는 끝자리가 $5$ — $5$ 의 배수.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

$b = 7$ 시도.
$a = 90 - 7 = 83$.
$83$ 의 소수 판정은 $\sqrt{83} \approx 9.1$ 이하의 소수 $2, 3, 5, 7$ 로 나눠지는지만 확인 — 모두 안 나눠지므로 $83$ 은 소수.
$a > b$ 조건도 만족.

$$b = 7 \Rightarrow a = 83 \text{ 소수} \;\;\checkmark \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 작은 후보 셋이 모두 실패했으니 $b = 7$ 이 최소.

[1] #3 8.G.A.5 각의 합 사용. 삼각형의 세 각의 합은 $180^\circ$. 한 각이 $90^\circ$ 이므로 나머지 두 예각의 합은 $a + b = 180

[2] #6 4.OA.B.4 가장 작은 $b = 2$ 부터 시도. $a = 90 - 2 = 88 = 8 \times 11$ — 짝수이고 합성수라 소수가 아님. 탈락.

[3] #6 4.OA.B.4 $b = 3$ 시도. $a = 90 - 3 = 87 = 3 \times 29$, 합성수. 탈락.

[4] #6 4.OA.B.4 $b = 5$ 시도. $a = 90 - 5 = 85 = 5 \times 17$, 합성수. 탈락.

[5] #3 4.OA.B.4 $b = 7$ 시도. $a = 90 - 7 = 83$. $83$ 의 소수 판정은 $\sqrt{83} \approx 9.1$ 이하의 소수 $2,

검토

합리성 확인: $83 + 7 = 90$ 으로 각의 합이 맞고, 둘 다 소수이며 $83 > 7$. $b = 2, 3, 5$ 는 모두 $a$ 가 합성수가 되어 탈락했으므로 $7$ 이 진짜 최솟값.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — $45$ 미만의 소수를 모두 나열: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43$. 각각 $90 - b$ 와 짝지어 둘 다 소수인지 확인. 처음 맞는 짝이 $(7, 83)$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.OA.B.4 약수쌍을 찾고 소수·합성수 판별 (각 후보의 $a = 90 - b$ 가 소수인지 판정.)
8.G.A.5 삼각형의 내각 합 등 비형식적 논거 사용 (직각삼각형에서 $a + b = 90$ 을 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "삼각형 내각의 합은 $180^\circ$" 와 간단한 소수 판정만 알면 풀 수 있어요 — $b = 2, 3, 5, 7$ 을 순서대로 시도하면 $b = 7$ 이 짝(소수 $83$)을 만나는 첫 값이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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