AMC 10 · 2020 · #5

학년 7 arithmetic

permutations-basiccombinations-basic identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: combinations-basicfactorial

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many distinguishable arrangements are there of $1$ brown tile, $1$ purple tile, $2$ green tiles, and $3$ yellow tiles in a row from left to right? (Tiles of the same color are indistinguishable.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

210

(B)

420

(C)

630

(D)

840

(E)

1050

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 갈색 $1$ 장, 보라색 $1$ 장, 똑같은 초록색 $2$ 장, 똑같은 노란색 $3$ 장 — 총 $7$ 장의 타일을 한 줄로 늘어놓을 때 구분 가능한 배열의 수를 구하세요.

주어진 것: 갈색 $1$ 장 (유일); 보라색 $1$ 장 (유일); 초록색 $2$ 장 (서로 구분되지 않음); 노란색 $3$ 장 (서로 구분되지 않음); 왼쪽에서 오른쪽으로 한 줄 배열; 선택지: (A) $210$, (B) $420$, (C) $630$, (D) $840$, (E) $1050$

구하는 것: $7$ 장의 타일을 구분 가능하게 늘어놓는 배열의 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #7(쪼개기): 색을 한 가지씩 차례로 자리에 배치 — 먼저 노란 $3$ 장의 자리를 정한 뒤, 남은 자리에 초록 $2$ 장, 마지막 남는 두 자리에 갈색·보라. 세 단계의 가짓수를 곱하면 전체 답. 도구 #9(더 쉬운 문제): "$3$ 자리에 노란 $2$ 장 놓기" 같은 작은 예부터 직접 나열하면 $3$ 가지(YYS, YSY, SYY) 임을 보고 "자리 고르기" 임을 깨달음. 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 단계에서 자리 부분집합을 작은 번호부터 차례로 나열하면 빠짐 없이 셀 수 있음.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 1

쪼개기 1 — 노란 $3$ 장을 $7$ 자리 중 $3$ 자리에 놓기.
도구 #9: 더 작은 예부터.
"$3$ 자리에 노란 $2$ 장" 은 자리 $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ 의 $3$ 가지뿐.
즉 "타일 순서" 가 아니라 "자리 고르기" 가 핵심.

$$\text{작은 예: } 3 \text{ 가지} \;\Rightarrow\; \text{가짓수} = \binom{n}{k}$$

💡 작은 보드에서 직접 나열해 보면 "자리만 정하면 끝" 임이 한눈에 보임.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 에서 크기 $3$ 인 부분집합을 빠짐없이 나열(또는 작은 예의 규칙을 적용)하면 $\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \dots, \{5,6,7\}$ 의 $35$ 개.
($\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.)

$$\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

💡 $7$ 자리 중 $3$ 자리를 고르기 — 번호를 작은 쪽부터 정렬해 나열하면 중복 없이 셀 수 있음.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

쪼개기 2 — 노란이 자리잡고 나면 $4$ 자리 남음.
그 중 $2$ 자리에 초록 $2$ 장.
같은 논리로 $\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

$$\dbinom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

💡 같은 종류의 쪼개기 문제, 숫자만 작아짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

쪼개기 3 — 남은 $2$ 자리에 서로 다른 갈색·보라색 배치.
어느 자리에 누가 갈지 정하기: $2 \times 1 = 2$ 가지.

$$2! = 2 \cdot 1 = 2$$

💡 서로 다른 두 장이 두 자리에 들어가는 건 "누가 먼저" 만 정하면 됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

세 단계의 가짓수를 곱하기(독립적인 선택): $35 \times 6 \times 2 = 420$.

$$35 \times 6 \times 2 = 35 \times 12 = 420 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 각 노란 배치마다 초록 배치 전부, 다시 갈색·보라 자리 전부 — 곱셈으로 결합.

[1] #9 7.SP.C.8 쪼개기 1 — 노란 $3$ 장을 $7$ 자리 중 $3$ 자리에 놓기. 도구 #9: 더 작은 예부터. "$3$ 자리에 노란 $2$ 장" 은 자리

[2] #2 7.SP.C.8 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 에서 크기 $3$ 인 부분집합을 빠짐없이 나열(또는 작은 예의 규칙을 적용)하면 ${1,2,3}, {1

[3] #7 7.SP.C.8 쪼개기 2 — 노란이 자리잡고 나면 $4$ 자리 남음. 그 중 $2$ 자리에 초록 $2$ 장. 같은 논리로 $\binom{4}{2} = \fra

[4] #7 4.OA.A.3 쪼개기 3 — 남은 $2$ 자리에 서로 다른 갈색·보라색 배치. 어느 자리에 누가 갈지 정하기: $2 \times 1 = 2$ 가지.

[5] #7 4.OA.A.3 세 단계의 가짓수를 곱하기(독립적인 선택): $35 \times 6 \times 2 = 420$.

검토

합리성 확인: 중복 있는 배열의 공식으로도 확인: $\frac{7!}{3! \cdot 2!} = \frac{5040}{12} = 420$. 같은 답. 또 $420$ 이 선택지 중간쯤이라 "유일한 타일이 둘뿐인 만큼 너무 많지도 적지도 않은" 느낌과도 부합.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 공식 $\frac{n!}{(\text{중복})!}$ 직행: $\frac{7!}{1!\,1!\,2!\,3!} = \frac{5040}{12} = 420$. 공식이 손에 익으면 빠름. 위 쪼개기 방식은 이 공식의 "왜" 를 보여 줌.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 (세 단계의 독립 가짓수 $35 \times 6 \times 2$ 를 곱해 결합.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건 경우 수 구하기 ($7$ 자리 중 $3$ 자리(이어 $4$ 중 $2$ 자리) 고르는 가짓수를 부분집합 나열로 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "빠짐없이 나열해서 자리 고르기" 만 알면 풀 수 있어요 — 노란 자리 $35$, 초록 자리 $6$, 갈색·보라 $2$ 를 곱해 $35 \times 6 \times 2 = 420$ 이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기