AMC 10 · 2020 · #8

학년 8 geometry-2d

area-trianglesspatial-visualizationperpendicular-bisector caseworkidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Points $P$ and $Q$ lie in a plane with $PQ=8$ . How many locations for point $R$ in this plane are there such that the triangle with vertices $P$ , $Q$ , and $R$ is a right triangle with area $12$ square units?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 평면 위 두 점 $P, Q$ 가 $PQ = 8$ 을 만족한다. $\triangle PQR$ 이 넓이 $12$ 인 직각삼각형이 되는 점 $R$ 의 위치 개수를 구하시오.

주어진 것: $PQ = 8$; $\triangle PQR$ 은 직각삼각형 (한 각이 정확히 $90^\circ$); $\triangle PQR$ 의 넓이는 $12$; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $12$

구하는 것: 조건을 만족하는 서로 다른 점 $R$ 의 개수

이해

문제 재정리: 평면 위 두 점 $P, Q$ 가 $PQ = 8$ 을 만족한다. $\triangle PQR$ 이 넓이 $12$ 인 직각삼각형이 되는 점 $R$ 의 위치 개수를 구하시오.

주어진 것: $PQ = 8$; $\triangle PQR$ 은 직각삼각형 (한 각이 정확히 $90^\circ$); $\triangle PQR$ 의 넓이는 $12$; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $12$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #1 로 $P, Q$ 를 가로선 위에 놓아 수직 조건을 보이게 한다. 도구 #7 로 직각의 위치($P$, $Q$, $R$) 에 따라 세 경우로 분리. 도구 #2 로 각 경우 안에서 좌우·상하 대칭을 빠짐없이 나열. 도구 #3 으로 합계를 보기와 매칭.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

$P, Q$ 를 가로선 위에 $8$ 만큼 떨어뜨려 놓는다.
$\triangle PQR$ 의 넓이 $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot h = 4h$.
$4h = 12$ 이므로 $R$ 은 선 $PQ$ 로부터 높이 $3$ 위(또는 아래)에 있어야 한다.
즉 $R$ 은 $PQ$ 와 거리가 $3$ 인 두 평행선 중 하나 위에 있다.

$$\tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = 12 \;\Rightarrow\; h = 3$$

💡 $PQ$ 를 가로로 그리면, 넓이 조건이 $R$ 의 높이를 $3$ 으로 고정.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

경우 A — 직각이 $P$.
$PR \perp PQ$ 이므로 $PR$ 은 세로 방향.
넓이 $= \tfrac12 \cdot PQ \cdot PR = \tfrac12 \cdot 8 \cdot PR = 12$ 에서 $PR = 3$.
$R$ 은 $P$ 의 위쪽 $3$, 아래쪽 $3$ — 두 곳.

$$PR \perp PQ,\quad PR = 3 \;\Rightarrow\; 2 \text{ 곳}$$

💡 $P$ 에서 수직으로 내려가거나 올라가거나.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

경우 B — 직각이 $Q$.
경우 A 와 대칭.
$QR \perp PQ$, $QR = 3$.
$Q$ 위·아래로 $3$ — 두 곳 더.

$$QR \perp PQ,\quad QR = 3 \;\Rightarrow\; 2 \text{ 곳}$$

💡 $Q$ 기준 경우 A 와 같음.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

경우 C — 직각이 $R$.
그러면 $PQ$ 가 빗변, 즉 $R$ 은 $PQ$ 를 지름으로 하는 원 위 (반원에 내접하는 각은 직각).
중심은 $PQ$ 의 중점 $M$, 반지름은 $4$.
동시에 $R$ 은 $PQ$ 로부터 높이 $|y_R| = 3$ 에 있어야 함.

$$R \text{ 은 원 위},\; \text{중심 } M,\; \text{반지름 } 4,\; \text{높이 } |y_R| = 3$$

💡 $R$ 의 직각 $\Leftrightarrow$ $R$ 이 $PQ$ 를 지름으로 하는 원 위.

#2 빠짐없이 나열하기 8.G.B.7 단계 5

원이 $y = 3$ 및 $y = -3$ 과 만나는 점을 구한다.
$M = (0,0)$ 로 두면 $P = (-4, 0), Q = (4, 0)$, 원은 $x^2 + y^2 = 16$.
$y = 3$ 대입: $x^2 = 16 - 9 = 7$, $x = \pm\sqrt{7}$ — 위쪽 두 점.
대칭으로 $y = -3$ 도 두 점.
경우 C 합 $4$.

$$x^2 = 16 - 9 = 7 \;\Rightarrow\; x = \pm\sqrt{7};\;\; 2 \text{ 위} + 2 \text{ 아래} = 4$$

💡 두 높이 × 두 가로 위치 = $4$ 점.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 6

세 경우를 더한다.
8 점은 모두 다름: 경우 A 는 $x = -4$, 경우 B 는 $x = 4$, 경우 C 는 $x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2.65$ — 겹치지 않음.

$$2 + 2 + 4 = 8$$

💡 서로 겹치지 않으니 그냥 합.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 7

$8$ 은 (D).

$$8 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #1 6.G.A.1 $P, Q$ 를 가로선 위에 $8$ 만큼 떨어뜨려 놓는다. $\triangle PQR$ 의 넓이 $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot

[2] #7 6.G.A.1 경우 A — 직각이 $P$. $PR \perp PQ$ 이므로 $PR$ 은 세로 방향. 넓이 $= \tfrac12 \cdot PQ \cdot PR

[3] #7 6.G.A.1 경우 B — 직각이 $Q$. 경우 A 와 대칭. $QR \perp PQ$, $QR = 3$. $Q$ 위·아래로 $3$ — 두 곳 더.

[4] #7 8.G.B.7 경우 C — 직각이 $R$. 그러면 $PQ$ 가 빗변, 즉 $R$ 은 $PQ$ 를 지름으로 하는 원 위 (반원에 내접하는 각은 직각). 중심은

[5] #2 8.G.B.7 원이 $y = 3$ 및 $y = -3$ 과 만나는 점을 구한다. $M = (0,0)$ 로 두면 $P = (-4, 0), Q = (4, 0)$,

[6] #7 2.OA.A.1 세 경우를 더한다. 8 점은 모두 다름: 경우 A 는 $x = -4$, 경우 B 는 $x = 4$, 경우 C 는 $x = \pm\sqrt{7}

[7] #3 4.NBT.A.2 $8$ 은 (D).

검토

합리성 확인: 대칭으로 점검: 그림은 $PQ$ 에 대해 위·아래 대칭이라 답이 짝수, 그리고 $PQ$ 의 수직 이등분선 ($x = 0$) 에 대해 좌우 대칭. 여덟 점 $(-4, \pm 3), (4, \pm 3), (\pm\sqrt{7}, \pm 3)$ 은 두 대칭 모두에 대해 닫혀 있다. ✓ 경우 A 점은 다리 $8, 3$ 의 직각삼각형, 넓이 $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot 3 = 12$ ✓. 경우 C 는 $PR^2 + QR^2 = 64$ 와 $PR \cdot QR = 24$ (넓이 $12$) 로 일관됨. ✓

대안 접근: 도구 #13 (대수): $P = (0,0), Q = (8, 0)$. $R = (x, y)$, $|y| = 3$. $R$ 직각 조건은 $\vec{RP} \cdot \vec{RQ} = 0$, 즉 $x(x - 8) + y^2 = 0$, $x^2 - 8x + 9 = 0$, $x = 4 \pm \sqrt{7}$ — $y$ 의 부호별로 두 점씩 총 $4$ 점 (원 풀이와 같은 결과).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.1 삼각형·특별한 사각형·다각형의 넓이를 분할로 구하기 ($\text{넓이} = \tfrac12 \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 $R$ 의 높이를 $3$ 으로 고정하고 경우 A, B 의 다리 길이를 결정.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 이용해 직각삼각형의 변 길이 구하기 (경우 C 에서 $R$ 의 직각 조건이 $R$ 을 $PQ$ 지름 원 위로 보낸다는 사실 ($PR^2 + QR^2 = PQ^2$) 과 $y = \pm 3$ 과의 교점 좌표 계산.)
2.OA.A.1 $100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 응용 문제 풀기 (세 경우의 개수 합산: $2 + 2 + 4 = 8$.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (최종 개수 $8$ 을 (D) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 직각삼각형 감각만 알면 풀 수 있어요 — 넓이 $12$ 에서 $R$ 의 높이는 $3$ 으로 고정. 직각이 $P$ 에 ($2$ 곳), $Q$ 에 ($2$ 곳), $R$ 에 ($PQ$ 지름 원 위 $4$ 곳) — 총 $8$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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