AMC 10 · 2020 · #9

학년 6 algebra

perfect-squaresbound-inequality-then-enumerateparity identify-subproblemsbound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: perfect-squaresexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many ordered pairs of integers $(x, y)$ satisfy the equation $x^{2020}+y^2=2y?$

$\textbf{(A) } 1 \qquad\textbf{(B) } 2 \qquad\textbf{(C) } 3 \qquad\textbf{(D) } 4 \qquad\textbf{(E) } \text{infinitely many}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $x^{2020} + y^2 = 2y$ 를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수를 구하시오.

주어진 것: 식 $x^{2020} + y^2 = 2y$; $x, y$ 모두 정수; $2020$ 은 짝수 지수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음

구하는 것: 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수

이해

문제 재정리: $x^{2020} + y^2 = 2y$ 를 만족하는 정수 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수를 구하시오.

주어진 것: 식 $x^{2020} + y^2 = 2y$; $x, y$ 모두 정수; $2020$ 은 짝수 지수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #7 로 완전제곱을 이용해 $x^{2020} + (y-1)^2 = 1$ 로 변형 — 두 항 모두 음 아닌 정수, 합이 $1$. 도구 #9 (더 쉬운) 로 무서워 보이는 $x^{2020}$ 을 "$x = 0$ 이면 $0$, $x = \pm 1$ 이면 $1$, 그 외엔 거대" 로 단순화. 도구 #2 로 합이 $1$ 인 두 경우만 나열. 도구 #3 으로 보기와 매칭.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 1

$2y$ 를 좌변으로 옮기고 $y$ 항을 완전제곱으로 정리.

$$x^{2020} + y^2 - 2y = 0 \;\Rightarrow\; x^{2020} + (y - 1)^2 = 1$$

💡 완전제곱으로 양 항을 모두 음 아닌 값으로.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.1 단계 2

$x^{2020}$ 과 $(y-1)^2$ 모두 음 아닌 정수 ($2020$ 은 짝수 지수, $(y-1)^2$ 은 완전제곱).
음 아닌 정수 두 개의 합이 $1$ 이려면 하나는 $0$, 다른 하나는 $1$ 뿐.
두 시나리오만 확인하면 됨.

$$\{x^{2020}, (y-1)^2\} = \{0, 1\}$$

💡 음 아닌 정수의 합이 $1$ 이면 $0 + 1$ 뿐.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 3

시나리오 1: $x^{2020} = 0$ 이고 $(y - 1)^2 = 1$.
앞 식에서 $x = 0$.
뒤 식에서 $y - 1 = \pm 1$, 즉 $y = 0$ 또는 $y = 2$.
즉 두 쌍: $(0, 0), (0, 2)$.

$$x = 0,\quad y \in \{0, 2\} \;\Rightarrow\; (0, 0),\; (0, 2)$$

💡 $0 + 1 = 1$ 갈래.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.5 단계 4

시나리오 2: $x^{2020} = 1$ 이고 $(y - 1)^2 = 0$.
앞 식에서 $x = \pm 1$ (정수 중 $2020$ 제곱이 $1$ 인 것).
뒤 식에서 $y = 1$.
즉 두 쌍 더: $(1, 1), (-1, 1)$.

$$x \in \{-1, 1\},\quad y = 1 \;\Rightarrow\; (1, 1),\; (-1, 1)$$

💡 $1 + 0 = 1$ 갈래.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 5

두 시나리오는 서로 다른 $y$ 값을 가지므로 겹치지 않음.
합하면 $2 + 2 = 4$ 쌍: $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)$.

$$2 + 2 = 4$$

💡 서로 겹치지 않으니 그냥 합.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$4$ 는 (D).

$$4 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #7 6.EE.A.3 $2y$ 를 좌변으로 옮기고 $y$ 항을 완전제곱으로 정리.

[2] #9 6.EE.A.1 $x^{2020}$ 과 $(y-1)^2$ 모두 음 아닌 정수 ($2020$ 은 짝수 지수, $(y-1)^2$ 은 완전제곱). 음 아닌 정수 두

[3] #2 6.EE.B.5 시나리오 1: $x^{2020} = 0$ 이고 $(y - 1)^2 = 1$. 앞 식에서 $x = 0$. 뒤 식에서 $y - 1 = \pm 1$,

[4] #2 6.EE.B.5 시나리오 2: $x^{2020} = 1$ 이고 $(y - 1)^2 = 0$. 앞 식에서 $x = \pm 1$ (정수 중 $2020$ 제곱이 $1

[5] #7 2.OA.A.1 두 시나리오는 서로 다른 $y$ 값을 가지므로 겹치지 않음. 합하면 $2 + 2 = 4$ 쌍: $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-

[6] #3 4.NBT.A.2 $4$ 는 (D).

검토

합리성 확인: 네 쌍을 원식 $x^{2020} + y^2 = 2y$ 에 대입해 확인: $(0, 0): 0 + 0 = 0 = 2 \cdot 0$ ✓; $(0, 2): 0 + 4 = 4 = 2 \cdot 2$ ✓; $(1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 \cdot 1$ ✓; $(-1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 \cdot 1$ ✓. 다른 쌍이 없음도 확인: $|x| \geq 2$ 면 $x^{2020} \geq 2^{2020}$ 이라 $(y-1)^2$ 이 음수가 되어야 하는데 불가능. 보기 (E) 무한히 많음은 배제. ✓

대안 접근: 도구 #6 (추측·확인) 으로 작은 $x$ 부터: $x = 0$ 이면 $y(y-2) = 0$, $y \in \{0, 2\}$. $x = \pm 1$ 이면 $(y-1)^2 = 0$, $y = 1$. $|x| \geq 2$ 면 좌변이 너무 커 해 없음. 같은 $4$ 쌍.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 연산의 성질로 동치인 식 만들기 ($y^2 - 2y$ 를 $(y - 1)^2 - 1$ 로 정리 (완전제곱) 해서 양변을 음 아닌 항의 합 $= 1$ 로 만듦.)
6.EE.A.1 자연수 지수 식 쓰고 계산하기 (짝수 지수라 $x^{2020} \geq 0$ 이고, $x^{2020} = 1$ 은 정수에서 $x = \pm 1$ 일 때뿐임을 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식의 풀이를 값을 찾는 과정으로 이해 ($(y - 1)^2 = 1$ 과 $(y - 1)^2 = 0$ 을 풀어 $y$ 를 구하고, 대응되는 $x$ 를 $x^{2020} = 0$ 또는 $1$ 에서 읽어냄.)
2.OA.A.1 $100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 응용 문제 풀기 (두 시나리오 개수 합산: $2 + 2 = 4$.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (개수 $4$ 를 (D) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식 변형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱으로 $x^{2020} + (y-1)^2 = 1$ 로 정리하면, 음 아닌 두 정수의 합이 $1$ 이 되는 경우는 $0 + 1$ 뿐. 그래서 $(0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)$ 의 $4$ 쌍.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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