AMC 10 · 2021 · #10
학년 8 arithmetic문제
Which of the following is equivalent to
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 긴 곱 $(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$ 을 정리하세요. 지수는 $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ — 차례로 $2$ 의 거듭제곱입니다. 결과를 다섯 보기 중 하나와 같은 깔끔한 형태로 쓰세요.
주어진 것: $P = (2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$; 총 $7$ 개의 인수; $k$ 번째 인수는 $(2^{2^{k-1}} + 3^{2^{k-1}})$; 선택지: (A) $3^{127} + 2^{127}$, (B) $3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$, (C) $3^{128} - 2^{128}$, (D) $3^{128} + 2^{128}$, (E) $5^{127}$
구하는 것: $P$ 의 단순화된 닫힌 형태
이해
문제 재정리: 긴 곱 $(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$ 을 정리하세요. 지수는 $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ — 차례로 $2$ 의 거듭제곱입니다. 결과를 다섯 보기 중 하나와 같은 깔끔한 형태로 쓰세요.
주어진 것: $P = (2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$; 총 $7$ 개의 인수; $k$ 번째 인수는 $(2^{2^{k-1}} + 3^{2^{k-1}})$; 선택지: (A) $3^{127} + 2^{127}$, (B) $3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$, (C) $3^{128} - 2^{128}$, (D) $3^{128} + 2^{128}$, (E) $5^{127}$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인수 $2$ 개, $3$ 개짜리 짧은 곱부터 시도. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 단계 지수가 두 배가 되는 규칙을 발견. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 엔진 — $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수가 틀린 보기와 부호가 틀린 보기를 차례로 탈락.
실행 — 정답: C
6.EE.A.3 단계 1 - 인수 $2$ 개짜리 쉬운 버전부터.
- 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼움: $(3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)$.
- 제곱의 차를 한 번: $(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)$.
- 또 한 번: $3^4 - 2^4$.
💡 인수 두 개면 $3^4 - 2^4$ — 지수가 $1 \to 2 \to 4$ 로 두 번 두 배.
5.OA.B.3 단계 2 - 패턴 발견.
- 인수 $n$ 개를 정리하면 결과는 $3^{2^n} - 2^{2^n}$.
- $n = 3$ 인수로 검증: $(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4) \to 3^8 - 2^8$.
💡 제곱의 차를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배 — $1 \to 2 \to 4 \to 8 \to \ldots$
8.EE.A.1 단계 3 - 원래 $n = 7$ 인수 곱에 적용.
- $(3 - 2) = 1$ 을 앞에 끼우고, 제곱의 차를 차례로 적용하며 지수를 두 배씩 키움:
💡 한 번 합칠 때마다 지수 두 배: $1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64 \to 128$. 일곱 번 두 배로 $2^7 = 128$ 도달.
8.EE.A.1 단계 4 - 개수 확인 — 원래 $7$ 인수에 $(3-2)$ 를 앞에 두면 총 $8$ 인수.
- 제곱의 차 한 번이 인수를 하나씩 소모하면서 지수를 두 배.
- $7$ 번 소모(남은 인수는 자연스럽게 합쳐짐) 후 $3^{2^7} - 2^{2^7} = 3^{128} - 2^{128}$.
💡 원래 인수 $7$ 개 $\to$ 지수 $1$ 에서 두 배를 $7$ 번 $\to$ $2^7 = 128$.
8.EE.A.1 단계 5 - 다섯 보기와 대조.
- (A) $3^{127} + 2^{127}$: 지수와 부호 모두 틀림.
- (B) 잡항 추가 — 틀림.
- (C) $3^{128} - 2^{128}$: 일치.
- (D) $3^{128} + 2^{128}$: 부호 틀림 — 항상 차가 나옴.
- (E) $5^{127}$: 첫 인수만 $3 + 2 = 5$ 이고 나머지는 $5$ 의 거듭제곱이 아님 — 잘못된 함정.
💡 제곱의 차 사슬은 항상 $a^n - b^n$ (차)을 만듦 — 합 형태 보기는 모두 제외.
6.EE.A.3 인수 $2$ 개짜리 쉬운 버전부터. 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼움: $(3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)$. 제곱의 차 5.OA.B.3 패턴 발견. 인수 $n$ 개를 정리하면 결과는 $3^{2^n} - 2^{2^n}$. $n = 3$ 인수로 검증: $(3 + 2)(3^2 + 2^ 8.EE.A.1 원래 $n = 7$ 인수 곱에 적용. $(3 - 2) = 1$ 을 앞에 끼우고, 제곱의 차를 차례로 적용하며 지수를 두 배씩 키움: 8.EE.A.1 개수 확인 — 원래 $7$ 인수에 $(3-2)$ 를 앞에 두면 총 $8$ 인수. 제곱의 차 한 번이 인수를 하나씩 소모하면서 지수를 두 배. $ 8.EE.A.1 다섯 보기와 대조. (A) $3^{127} + 2^{127}$: 지수와 부호 모두 틀림. (B) 잡항 추가 — 틀림. (C) $3^{128} - 검토
합리성 확인: 두 갈래 검산. 첫째: 지수 추적. 인수 $7$ 개의 지수 합 $1+2+4+\ldots+64 = 127$ 이 (A) 의 함정이지만, 정답 규칙은 합이 아니라 가장 큰 지수의 두 배 — $128$ 이라 (C). 둘째: 부호. 제곱의 차 사슬은 항상 차를 만들기 때문에 합 형태 (D) 는 불가. (E) 는 $(3^2 + 2^2) = 13 \ne 5^2 = 25$ 라 거짓.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 공식 그대로 사용: $n$ 이 $2$ 의 거듭제곱일 때 $a^n - b^n = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \cdots (a^{n/2} + b^{n/2})$. $n = 128$ 로 우변이 정확히 $(3 - 2) \times$ 주어진 곱. 따라서 곱은 $(3^{128} - 2^{128}) / (3 - 2) = 3^{128} - 2^{128}$. 공식을 외우고 있으면 더 빠름.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (반복 제곱으로 지수 추적: $1 \to 2 \to 4 \to \ldots \to 128$ — $(a^k)^2 = a^{2k}$ 사용.)6.EE.A.3연산 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 를 적용해 인수 쌍을 합쳐 나감.)5.OA.B.3두 규칙으로 두 수열을 만들고 관계 찾기 (인수 $2, 3$ 개짜리 쉬운 경우에서 지수가 두 배로 늘어나는 규칙 발견.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼우고, $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ 를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배. 일곱 번 두 배로 $1 \to 128$, 답 $3^{128} - 2^{128}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼우고, $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ 를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배. 일곱 번 두 배로 $1 \to 128$, 답 $3^{128} - 2^{128}$.