AMC 10 · 2021 · #11

학년 6 number-theory

modular-arithmeticplace-valuedivisibility-rulespolynomial-factoring identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For which of the following integers $b$ is the base- $b$ number $2021_b - 221_b$ not divisible by $3$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2021_b$ 와 $221_b$ 를 $b$ 진법 수로 볼 때, $b \in \{3, 4, 6, 7, 8\}$ 중 어떤 값을 넣어야 $2021_b - 221_b$ 가 $3$ 의 배수가 "안 되는지" 묻는 문제입니다.

주어진 것: $2021_b$ 는 $b$ 진법의 4자리 수 (자릿수 $2, 0, 2, 1$); $221_b$ 는 $b$ 진법의 3자리 수 (자릿수 $2, 2, 1$); 후보 밑: $b \in \{3, 4, 6, 7, 8\}$; 차가 $3$ 의 배수가 "아닌" 단 하나의 $b$ 를 고른다

구하는 것: $3 \nmid (2021_b - 221_b)$ 를 만족하는 선택지의 $b$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

도구 #7(쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: (a) 각 $b$ 진법 수를 $b$ 에 대한 다항식으로 풀어 쓰기, (b) 빼고 나서 인수분해. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 한 밑 $b = 3$ 을 손으로 확인해서 식이 맞는지 점검하는 안전망. 그 뒤 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지를 정리된 식에 차례로 대입하고, 도구 #6(추측·확인)으로 $3$ 으로 나누어 떨어지는지만 읽으면 됩니다. 자리값 풀어쓰기 이상의 대수는 필요 없습니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.1 단계 1

각 $b$ 진법 수를 자리값으로 풀어 씁니다.
$2021_b$ 의 오른쪽부터의 자릿수는 $1, 2, 0, 2$ 이므로 $2021_b = 2 \cdot b^3 + 0 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 1$.
$221_b$ 의 자릿수는 $1, 2, 2$ 이므로 $221_b = 2 \cdot b^2 + 2 \cdot b + 1$.

$$2021_b = 2b^3 + 2b + 1,\quad 221_b = 2b^2 + 2b + 1$$

💡 5학년 자리값: 자릿수 곱하기 밑의 거듭제곱.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

두 식을 뺍니다.
$+2b$ 와 $+1$ 항이 서로 지워지고, 3차·2차 항만 남습니다.

$$2021_b - 221_b = (2b^3 + 2b + 1) - (2b^2 + 2b + 1) = 2b^3 - 2b^2$$

💡 6학년: 다항식 모양의 식을 뺄 때는 같은 항끼리 묶기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 3

공통 인수 $2b^2$ 를 묶어내 인수분해.
인수분해 형태에서 약수 구조가 한눈에 보입니다.

$$2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1)$$

💡 6학년 같은 값을 갖는 다른 표현: 인수분해로 무엇이 나누는지 드러내기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 4

$2b^2(b-1)$ 이 $3$ 의 배수가 될 조건을 따져봅니다.
상수 $2$ 는 $3$ 과 서로소이므로 $3 \mid b^2(b-1)$ 이어야 하고, 이는 $3 \mid b$ (그러면 $3 \mid b^2$) 이거나 $3 \mid (b-1)$ 일 때 — 즉 $b \equiv 0$ 이거나 $b \equiv 1 \pmod 3$ — 일 때만 성립.
반대로 $b \equiv 2 \pmod 3$ 이면 $3$ 의 배수가 아닙니다.

$$3 \mid 2b^2(b-1) \iff b \equiv 0 \text{ 또는 } 1 \pmod{3}$$

💡 6학년 최대공약수·약수: 곱이 $3$ 의 배수이려면 어느 한 인수가 $3$ 의 배수.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

선택지를 $3$ 으로 나눈 나머지로 분류.
$3 \equiv 0$, $4 \equiv 1$, $6 \equiv 0$, $7 \equiv 1$, $8 \equiv 2 \pmod 3$.
나쁜 등급($\equiv 2$)에 들어오는 것은 $b = 8$ 뿐, 따라서 차가 $3$ 의 배수가 아닌 단 하나의 밑은 $b = 8$.

$$3, 6 \equiv 0;\;\; 4, 7 \equiv 1;\;\; 8 \equiv 2 \pmod 3$$

💡 4학년 배수·약수: $3$ 으로 나눈 나머지로 정수를 분류.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 6

$b = 8$ 을 직접 대입해 확인 (도구 #6).
$2 \cdot 8^2 \cdot (8-1) = 2 \cdot 64 \cdot 7 = 896$.
$896 \div 3 = 298\ldots$ 나머지 $2$ — 정수가 아님.
답 (E) 확정.

$$b = 8:\; 2 \cdot 8^2 \cdot 7 = 896,\; 896 \bmod 3 = 2 \Rightarrow \textbf{(E)}$$

💡 4학년: 수치 한 번 대입으로 추상 결론 확인.

[1] #7 5.NBT.A.1 각 $b$ 진법 수를 자리값으로 풀어 씁니다. $2021_b$ 의 오른쪽부터의 자릿수는 $1, 2, 0, 2$ 이므로 $2021_b = 2 \c

[2] #7 6.EE.A.3 두 식을 뺍니다. $+2b$ 와 $+1$ 항이 서로 지워지고, 3차·2차 항만 남습니다.

[3] #7 6.EE.A.3 공통 인수 $2b^2$ 를 묶어내 인수분해. 인수분해 형태에서 약수 구조가 한눈에 보입니다.

[4] #7 6.NS.B.4 $2b^2(b-1)$ 이 $3$ 의 배수가 될 조건을 따져봅니다. 상수 $2$ 는 $3$ 과 서로소이므로 $3 \mid b^2(b-1)$ 이어야

[5] #3 4.OA.B.4 선택지를 $3$ 으로 나눈 나머지로 분류. $3 \equiv 0$, $4 \equiv 1$, $6 \equiv 0$, $7 \equiv 1$,

[6] #6 4.OA.B.4 $b = 8$ 을 직접 대입해 확인 (도구 #6). $2 \cdot 8^2 \cdot (8-1) = 2 \cdot 64 \cdot 7 = 896

검토

합리성 확인: 다른 "좋은" 밑도 함께 점검. $b = 4$: $2 \cdot 16 \cdot 3 = 96 = 3 \cdot 32$ — $3$ 의 배수. $b = 6$: $2 \cdot 36 \cdot 5 = 360 = 3 \cdot 120$ — $3$ 의 배수. 다섯 선택지 중 실패하는 것은 $b = 8$ 뿐, (E) 가 자연스러움. 구조도 직관과 맞음: $(b-1)$ 인수가 있으니 $b$ 가 $3$ 으로 나눠 $1$ 남으면 자동으로 $3$ 의 배수, $b^2$ 인수가 $b \equiv 0$ 경우를 잡아줌.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 전수조사: 각 밑에서 실제 차를 계산하고 $3$ 으로 나눠봅니다. $b = 3$: $2021_3 = 54+0+6+1 = 61$, $221_3 = 18+6+1 = 25$, 차 $36 = 3 \cdot 12$. $b = 8$: $2021_8 = 1024+0+16+1 = 1041$, $221_8 = 128+16+1 = 145$, 차 $896$, $896 = 3 \cdot 298 + 2$ — 나누어떨어지지 않음. 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수쌍 찾기, 한 자리 수의 배수인지 판단하기 (각 후보 밑 $b$ 를 $3$ 으로 나눈 나머지로 분류해 $3$ 의 배수 여부 결정.)
5.NBT.A.1 여러 자리 수의 한 자리는 오른쪽 자리의 10배 자리값임을 인식 (자리값을 임의의 밑 $b$ 로 일반화해 $2021_b, 221_b$ 를 $b$ 에 대한 다항식으로 쓰는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (두 다항식 형태를 빼고 $2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b-1)$ 로 인수분해하는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 자연수의 최대공약수 찾기, 분배법칙 사용 (인수분해 형태 $2b^2(b-1)$ 에서 $3$ 의 배수 여부를 읽어내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 자리값과 인수분해만 알면 풀 수 있어요! $2021_b - 221_b = 2b^2(b-1)$ 로 정리하면, 질문은 그냥 "어떤 $b$ 가 $3$ 의 배수가 아닌가?" — $3, 4, 6, 7, 8$ 을 $3$ 으로 나눈 나머지로 분류하면 됩니다. 나머지 $2$ 가 나오는 건 $8$ 뿐이라서 답은 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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