AMC 10 · 2021 · #14

학년 8 algebra

vieta-formulassystematic-enumerationpolynomial-factoringfactors systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

All the roots of the polynomial $z^6-10z^5+Az^4+Bz^3+Cz^2+Dz+16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B$ ?

$\textbf{(A) }{-}88 \qquad \textbf{(B) }{-}80 \qquad \textbf{(C) }{-}64 \qquad \textbf{(D) }{-}41\qquad \textbf{(E) }{-}40$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}88$

(B)

${-}80$

(C)

${-}64$

(D)

${-}41$

(E)

${-}40$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다항식 $P(z) = z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ 의 여섯 근이 모두 양의 정수(중복 허용)입니다. $B$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 다항식: $z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$, 최고차항 계수 $1$; 여섯 근 모두 양의 정수, 중복 허용; $z^5$ 의 계수가 $-10$ (근의 합 $= 10$); 상수항이 $16$ (근의 곱 $= 16$); 선택지: $-88,\;-80,\;-64,\;-41,\;-40$

구하는 것: 계수 $B$ ($z^3$ 의 계수)

이해

문제 재정리: 다항식 $P(z) = z^6 - 10z^5 + Az^4 + Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ 의 여섯 근이 모두 양의 정수(중복 허용)입니다. $B$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #2(나열): 여섯 양의 정수가 합 $10$, 곱 $16 = 2^4$ 라는 강한 두 조건 — 후보 다중집합이 아주 적습니다. 등장 가능한 값은 $2$ 의 거듭제곱(과 $1$)뿐, 체계적으로 나열하면 다중집합은 $\{2, 2, 2, 2, 1, 1\}$ 로 결정. 도구 #7(쪼개기)은 "비에트로 $B$ 와 대칭합 연결 → 근 찾기 → 경우별 세 근 곱 계산" 으로 분할. 도구 #6(추측·확인)은 후보 다중집합이 두 조건을 만족시키는지 점검. 도구 #3(가능성 지우기)으로 $B = -88$ 을 선택지 (A) 에 매칭.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 1

비에트의 정리 적용.
최고차 $1$ 인 다항식 $z^6 + c_5 z^5 + c_4 z^4 + c_3 z^3 + \cdots$ 에서, $z^5$ 의 계수는 $-(r_1 + \cdots + r_6)$, 상수항은 $r_1 r_2 \cdots r_6$, $z^3$ 의 계수는 $-(\text{세 근 곱들의 합})$.
우리 다항식에서 합 $= 10$, 곱 $= 16$, $B = -e_3$ 여기서 $e_3 = \sum_{i<j<k} r_i r_j r_k$.

$$\sum r_i = 10,\quad \prod r_i = 16,\quad B = -\!\!\!\sum_{1\le i<j<k\le 6}\!\!\! r_i r_j r_k$$

💡 8학년 다항식 항등식: 각 계수는 근의 대칭함수.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.B.4 단계 2

후보 근의 범위 좁히기.
각 $r_i$ 가 $16$ 의 양의 약수이므로 $r_i \in \{1, 2, 4, 8, 16\}$.
그런데 어느 한 근이라도 $4$ 이상이면 합이 $10$ 을 넘게 됨 (예: 한 근 $4$ 와 나머지 다섯이 모두 $\ge 1$ → 합 $\ge 9$.
곱 $16$ 을 맞추려면 다섯의 곱 $= 4$, 그러면 다섯의 합이 최소 $4+1+1+1+1 = 8$ → 전체 $\ge 12 > 10$, 모순).
따라서 모든 근이 $1$ 아니면 $2$.

$$r_i \in \{1, 2, 4, 8, 16\},\;\; r_i \ge 4 \Rightarrow \sum r_i > 10$$

💡 6학년 약수: 근은 곱의 약수, 큰 약수는 합을 폭발시킴.

#2 빠짐없이 나열하기 8.EE.C.8 단계 3

$2$ 의 개수와 $1$ 의 개수를 풀어냅니다.
$x$ = $2$ 의 개수, $y$ = $1$ 의 개수.
$x + y = 6$, $2x + y = 10$.
빼면 $x = 4$, 그러면 $y = 2$.
근의 다중집합은 $\{2, 2, 2, 2, 1, 1\}$.
곱 확인: $2^4 \cdot 1^2 = 16$ ✓.

$$\begin{cases} x + y = 6 \\ 2x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow x = 4,\; y = 2$$

💡 8학년 두 미지수 연립일차방정식.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

$e_3 = \sum r_i r_j r_k$ 를 "세 개 중 $2$ 가 몇 개 들어가는가" 로 경우 나눠 계산.
(경우 A) 세 개 모두 $2$: 네 개의 $2$ 중 $3$ 개 선택, $\binom{4}{3} = 4$ 가지, 곱은 $8$.
기여 $= 4 \cdot 8 = 32$.

$$\text{경우 A: } \binom{4}{3} \cdot (2\cdot 2\cdot 2) = 4 \cdot 8 = 32$$

💡 7학년 경우의 수: 각 종류에서 몇 개 뽑을지 결정 후 경우별 곱.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 5

(경우 B) $2$ 두 개, $1$ 한 개: $\binom{4}{2}$ 와 $\binom{2}{1}$, 곱 $4$.
기여 $= 6 \cdot 2 \cdot 4 = 48$.
(경우 C) $2$ 한 개, $1$ 두 개: $\binom{4}{1} \cdot \binom{2}{2}$, 곱 $2$.
기여 $= 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$.
("$1$ 만 세 개" 는 $1$ 이 두 개뿐이라 불가.)

$$\text{B: } \binom{4}{2}\binom{2}{1} \cdot 4 = 48,\;\; \text{C: } \binom{4}{1}\binom{2}{2} \cdot 2 = 8$$

💡 7학년 곱셈 원리: 서로 독립인 선택은 곱셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 6

경우별 기여 합산: $e_3 = 32 + 48 + 8 = 88$.
따라서 $B = -e_3 = -88$.

$$e_3 = 32 + 48 + 8 = 88,\quad B = -88$$

💡 6학년 식: 경우별 값을 더한 뒤 비에트의 음부호 적용.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 7

$-88$ 을 선택지와 매칭: (A).
나머지($-80, -64, -41, -40$)는 경우 계산과 맞지 않음.

$$B = -88 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 6학년 객관식: 계산된 계수를 보기와 비교.

[1] #7 8.EE.A.1 비에트의 정리 적용. 최고차 $1$ 인 다항식 $z^6 + c_5 z^5 + c_4 z^4 + c_3 z^3 + \cdots$ 에서, $z^5$

[2] #6 6.NS.B.4 후보 근의 범위 좁히기. 각 $r_i$ 가 $16$ 의 양의 약수이므로 $r_i \in \{1, 2, 4, 8, 16\}$. 그런데 어느 한 근

[3] #2 8.EE.C.8 $2$ 의 개수와 $1$ 의 개수를 풀어냅니다. $x$ = $2$ 의 개수, $y$ = $1$ 의 개수. $x + y = 6$, $2x + y

[4] #2 7.SP.C.8 $e_3 = \sum r_i r_j r_k$ 를 "세 개 중 $2$ 가 몇 개 들어가는가" 로 경우 나눠 계산. (경우 A) 세 개 모두 $2$

[5] #2 7.SP.C.8 (경우 B) $2$ 두 개, $1$ 한 개: $\binom{4}{2}$ 와 $\binom{2}{1}$, 곱 $4$. 기여 $= 6 \cdot 2

[6] #7 6.EE.A.3 경우별 기여 합산: $e_3 = 32 + 48 + 8 = 88$. 따라서 $B = -e_3 = -88$.

[7] #3 6.EE.B.5 $-88$ 을 선택지와 매칭: (A). 나머지($-80, -64, -41, -40$)는 경우 계산과 맞지 않음.

검토

합리성 확인: $P(z) = (z-1)^2(z-2)^4$ 로 검산. $z^5$ 의 계수: 근의 합이 $10$ 이므로 $-10$ ✓. 상수항: $(-1)^6 \cdot 1^2 \cdot 2^4 = 16$ ✓. 비에트 값 $-88$ 의 부호와 크기 모두 직관에 맞음 ("네 개의 $2$" 가 들어가는 세 짝 곱이 다수이므로 $|e_3|$ 이 두 자리 후반대로 클 만함). 위 경우 분석이 실제 증명.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 직접 전개. $P(z) = (z-1)^2 (z-2)^4 = (z^2 - 2z + 1)(z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16)$. $z^3$ 항 기여: $z^2 \cdot (-32z) = -32 z^3$, $(-2z) \cdot 24 z^2 = -48 z^3$, $1 \cdot (-8z^3) = -8 z^3$. 합 $-32 - 48 - 8 = -88$. 같은 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (세 경우 기여 $32 + 48 + 8 = 88$ 을 합치고 비에트의 부호 적용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $B = -88$ 을 다섯 선택지와 대조해 (A) 를 고르는 마무리.)
6.NS.B.4 두 자연수의 최대공약수 찾기 (약수 관계 ($r_i$ 는 $16$ 의 약수)로 근 후보를 $\{1, 2\}$ 로 좁히는 데 사용.)
7.SP.C.8 복합사건의 확률 — 정리된 표·나무그림으로 경우 세기 ($\binom{4}{3}, \binom{4}{2}\binom{2}{1}, \binom{4}{1}\binom{2}{2}$ 로 세 근 곱을 경우별로 세는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (비에트의 정리로 다항식 계수와 여섯 근의 대칭합을 연결하는 데 사용.)
8.EE.C.8 두 일차방정식의 연립 풀기 ($x + y = 6, 2x + y = 10$ 을 풀어 $2$ 네 개와 $1$ 두 개를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 연립방정식과 기본 경우의 수만 알면 풀 수 있어요! 근들의 합이 $10$, 곱이 $16$ 이라 가능한 근은 $2$ 가 네 개, $1$ 이 두 개뿐. 세 근 곱을 경우별로 세면 ($\binom{4}{3} \cdot 8 = 32, \binom{4}{2}\binom{2}{1} \cdot 4 = 48, \binom{4}{1}\binom{2}{2} \cdot 2 = 8$) 합이 $88$, 따라서 $B = -88$, 답 (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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