AMC 10 · 2021 · #17

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

similar-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangleperpendicular-bisector identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Trapezoid $ABCD$ has $\overline{AB}\parallel\overline{CD},BC=CD=43$ , and $\overline{AD}\perp\overline{BD}$ . Let $O$ be the intersection of the diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ , and let $P$ be the midpoint of $\overline{BD}$ . Given that $OP=11$ , the length of $AD$ can be written in the form $m\sqrt{n}$ , where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n$ ?

$\textbf{(A) }65 \qquad \textbf{(B) }132 \qquad \textbf{(C) }157 \qquad \textbf{(D) }194\qquad \textbf{(E) }215$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

132

(C)

157

(D)

194

(E)

215

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 $AB \parallel CD$, $BC = CD = 43$, 그리고 대각선 $BD$ 가 변 $AD$ 에 수직입니다. 대각선 $AC$ 와 $BD$ 의 교점을 $O$, $BD$ 의 중점을 $P$ 라 할 때 $OP = 11$ 입니다. $AD$ 를 $m\sqrt{n}$ 형태로 (단, $n$ 은 제곱인수가 없음) 나타냈을 때 $m + n$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $AB \parallel CD$ 인 사다리꼴 $ABCD$; $BC = CD = 43$ ($\triangle BCD$ 는 밑변 $BD$ 의 이등변삼각형); $AD \perp BD$ (즉 $\angle ADB = 90°$); $O = AC \cap BD$, $P$ 는 $BD$ 의 중점; $OP = 11$; 선택지: (A) $65$, (B) $132$, (C) $157$, (D) $194$, (E) $215$

구하는 것: $AD = m\sqrt{n}$ 으로 나타냈을 때의 $m + n$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

문장 안에 네 가지 조건 (평행·이등변·수직·중점) 이 한꺼번에 들어 있으므로 도구 #1 (그림) 으로 정리해야 핵심 직각 $\triangle CPD$ 가 보입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 문제를 세 토막으로 나눔: (a) 닮음 $\triangle BDA \sim \triangle BPC$ 로 $AB$ 구하기, (b) 대각선 분할비 $BO:OD = AB:CD = 2:1$ 과 $OP = 11$ 로 $BD$ 구하기, (c) $\triangle ADB$ 에 피타고라스 정리로 $AD$ 구하기. 도구 #13 (대수) 은 (b) 단계의 일차방정식 $\tfrac{x}{2} = 11$ 을 깔끔하게 처리합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

위쪽에 $AB$, 아래쪽에 $CD$ 를 두고 $BC = CD = 43$ 을 표시하며 사다리꼴을 그립니다.
$BC = CD$ 이므로 $\triangle BCD$ 는 밑변 $BD$ 의 이등변삼각형이고, $BD$ 의 중점 $P$ 는 꼭짓점 $C$ 에서 내린 수선의 발이 됩니다.
따라서 $CP \perp BD$, 즉 $\angle CPB = 90°$.

$$CP \perp BD,\ \angle CPB = 90°$$

💡 이등변삼각형에서 꼭짓점에서 밑변 중점으로 이은 선분은 밑변과 수직입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.4 단계 2

$AB \parallel CD$ 이고 대각선 $BD$ 가 횡단선이므로 엇각으로 $\angle ABD = \angle BDC$.
이등변 $\triangle BCD$ 의 밑각은 같으므로 $\angle DBC = \angle BDC$.
두 식을 합치면 $\angle ABD = \angle DBC$.
여기에 $\angle ADB = \angle CPB = 90°$ 까지 더하면 $\triangle BDA$ 와 $\triangle BPC$ 는 두 각이 같으므로 닮음입니다.

$$\triangle BDA \sim \triangle BPC$$

💡 두 직각삼각형이 또 다른 한 각마저 같으면 AA 닮음.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.2 단계 3

닮음비에서 $\tfrac{AB}{BC} = \tfrac{BD}{BP}$.
$P$ 가 $BD$ 의 중점이므로 $BD = 2\,BP$, 즉 닮음비는 $2$.
따라서 $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 43 = 86$.

$$AB = 2 \cdot 43 = 86$$

💡 대응변 한 쌍의 비가 $2$ 면 나머지 대응변 비도 $2$.

#1 그림 그리기 8.G.A.4 단계 4

$AB \parallel CD$ 이므로 사다리꼴 대각선의 교점은 평행한 두 변의 길이 비로 갈립니다: $\tfrac{BO}{OD} = \tfrac{AB}{CD} = \tfrac{86}{43} = 2$.
$OD = x$ 라 두면 $BO = 2x$, $BD = 3x$.
중점 $P$ 는 $DP = \tfrac{3x}{2}$ 이고 대각선 위 순서는 $D, O, P, B$ 이므로 $OP = DP - DO = \tfrac{3x}{2} - x = \tfrac{x}{2}$.

$$OP = \tfrac{x}{2}\ (OD = x)$$

💡 평행 밑변 두 개가 만들어 내는 두 닮은 삼각형이 대각선을 길이 비로 나눕니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

$OP = 11$ 을 대입: $\tfrac{x}{2} = 11$, 즉 $x = 22$.
따라서 $BD = 3x = 66$.

$$x = 22,\ BD = 66$$

💡 미지수 하나짜리 일차방정식 — 풀어서 $BD$ 를 얻습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 6

$\triangle ADB$ 는 $D$ 가 직각이므로 다리 $AD, BD$, 빗변 $AB$ 에 피타고라스 정리를 적용.
$AD^2 = 86^2 - 66^2 = (86-66)(86+66) = 20 \cdot 152 = 3040$.

$$AD^2 = 86^2 - 66^2 = 20 \cdot 152 = 3040$$

💡 제곱의 차 공식을 쓰면 큰 수 제곱을 피할 수 있습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 7

$\sqrt{3040}$ 을 간단히 합니다.
$3040 = 16 \cdot 190$, $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$ 는 제곱인수가 없습니다.
따라서 $AD = 4\sqrt{190}$, $m = 4, n = 190$.
$m + n = 4 + 190 = 194$ — 선택지 (D).

$$AD = 4\sqrt{190},\ m + n = 194 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 근호 안에서 가장 큰 제곱수를 빼내고 합을 구합니다.

[1] #1 4.G.A.2 위쪽에 $AB$, 아래쪽에 $CD$ 를 두고 $BC = CD = 43$ 을 표시하며 사다리꼴을 그립니다. $BC = CD$ 이므로 $\trian

[2] #7 8.G.A.4 $AB \parallel CD$ 이고 대각선 $BD$ 가 횡단선이므로 엇각으로 $\angle ABD = \angle BDC$. 이등변 $\tri

[3] #7 7.RP.A.2 닮음비에서 $\tfrac{AB}{BC} = \tfrac{BD}{BP}$. $P$ 가 $BD$ 의 중점이므로 $BD = 2\,BP$, 즉 닮음비는

[4] #1 8.G.A.4 $AB \parallel CD$ 이므로 사다리꼴 대각선의 교점은 평행한 두 변의 길이 비로 갈립니다: $\tfrac{BO}{OD} = \tfra

[5] #13 6.EE.B.7 $OP = 11$ 을 대입: $\tfrac{x}{2} = 11$, 즉 $x = 22$. 따라서 $BD = 3x = 66$.

[6] #7 8.G.B.7 $\triangle ADB$ 는 $D$ 가 직각이므로 다리 $AD, BD$, 빗변 $AB$ 에 피타고라스 정리를 적용. $AD^2 = 86^2

[7] #13 8.EE.A.2 $\sqrt{3040}$ 을 간단히 합니다. $3040 = 16 \cdot 190$, $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$ 는 제곱인

검토

합리성 확인: $AB = 86$, $BD = 66$ 이므로 $AD = \sqrt{86^2 - 66^2} \approx \sqrt{3040} \approx 55.1$ — 빗변 $86$ 보다 짧은 양의 길이로 다리답습니다. $4\sqrt{190} \approx 4 \cdot 13.78 \approx 55.1$ 도 일치. $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$ 가 제곱인수 없음을 확인했으므로 형태는 최소 — 답 $m + n = 194$, (D) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13 (대수) 의 좌표 풀이: $D$ 를 원점, $BD$ 를 양의 $x$ 축으로 두면 $B = (BD, 0)$, $A = (0, h)$ ($AD \perp BD$ 이므로), $C$ 는 $BD$ 의 수직이등분선 위 $CD = 43$ 인 점. $AB \parallel CD$ 의 기울기 조건과 $OP = 11$ 을 결합해 $h = AD$ 를 직접 풉니다. 피타고라스 단계는 좌표에서 자동으로 따라옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행·수직 유무로 평면도형 분류 (이등변삼각형 $\triangle BCD$ 와 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선 $CP$ 알아내기.)
8.G.A.4 변환을 이용해 두 평면도형의 닮음 이해 (직각과 엇각 조건으로 $\triangle BDA \sim \triangle BPC$ 설정, 그리고 대각선 분할에서 $\triangle ABO \sim \triangle CDO$ 설정.)
7.RP.A.2 양 사이의 비례관계 인식·표현 (닮음비 $\tfrac{BD}{BP} = 2$ 로부터 $AB = 2 \cdot BC = 86$ 읽어내기.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태 방정식으로 실생활 문제 풀기 ($\tfrac{x}{2} = 11$ 을 풀어 $x = 22$, $BD = 66$ 얻기.)
8.G.B.7 직각삼각형의 미지의 변을 피타고라스 정리로 구하기 ($\triangle ADB$ 에서 $AD^2 = AB^2 - BD^2 = 86^2 - 66^2 = 3040$ 계산.)
8.EE.A.2 제곱근 기호로 해 표현하기 ($\sqrt{3040} = 4\sqrt{190}$ 으로 간단히 해 $m = 4, n = 190$ 얻기.)

⭐ 이등변 $\triangle BCD$ 안의 직각 ($CP \perp BD$) 한 가지만 보이면 끝: 닮음비로 $AB = 86$, 대각선 분할비 $BO:OD = 2:1$ 과 $OP = 11$ 로 $BD = 66$, 피타고라스로 $AD = 4\sqrt{190}$ — 따라서 $m + n = \textbf{(D) }194$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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