AMC 10 · 2021 · #18

학년 7 number-theory

prime-factorizationfunction-evaluationfraction-arithmeticprime-numbers convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b$ . Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p$ . For which of the following numbers $x$ is $f(x)<0$ ?

$\textbf{(A) }\frac{17}{32} \qquad \textbf{(B) }\frac{11}{16} \qquad \textbf{(C) }\frac79 \qquad \textbf{(D) }\frac76\qquad \textbf{(E) }\frac{25}{11}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{17}{32}$

(B)

$\frac{11}{16}$

(C)

$\frac79$

(D)

$\frac76$

(E)

$\frac{25}{11}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 유리수 위에서 정의된 함수 $f$ 가 곱을 합으로 바꾸는 성질 $f(ab) = f(a) + f(b)$ 를 만족하고, 모든 소수 $p$ 에 대해 $f(p) = p$ 입니다. 다섯 개의 분수 중에서 $f(x) < 0$ 이 되는 것을 찾으세요.

주어진 것: 모든 양의 유리수 $a, b$ 에 대해 $f(ab) = f(a) + f(b)$; 모든 소수 $p$ 에 대해 $f(p) = p$; 선택지: (A) $\tfrac{17}{32}$, (B) $\tfrac{11}{16}$, (C) $\tfrac{7}{9}$, (D) $\tfrac{7}{6}$, (E) $\tfrac{25}{11}$

구하는 것: $f(x) < 0$ 을 만족하는 선택지 $x$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #13 (대수): $f(ab) = f(a) + f(b)$ 와 $f(p) = p$ 가 결합되면 양의 유리수 위에서 $f$ 가 완전히 결정됩니다 — 분자·분모를 소인수분해한 뒤, 분자 쪽 소수 합에서 분모 쪽 소수 합을 빼면 끝. 깨끗한 공식 $f\bigl(\tfrac{\prod p_i^{a_i}}{\prod q_j^{b_j}}\bigr) = \sum a_i p_i - \sum b_j q_j$ 가 나오면 도구 #6 (추측하고 확인) 으로 다섯 후보를 차례로 대입하고 도구 #3 (가능성 지우기) 로 양의 값을 모두 제거. 선택지가 다섯 개뿐인 객관식이므로 전부 확인이 정공법입니다.

실행 — 정답: E

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.4 단계 1

먼저 $f(1)$ 을 구합니다.
$a = b = 1$: $f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ 에서 $f(1) = 0$.
이어서 임의의 양의 유리수 $x$ 에 대해 $a = x, b = \tfrac{1}{x}$ 를 대입하면 $f(1) = f(x) + f(\tfrac{1}{x})$ 에서 $f(\tfrac{1}{x}) = -f(x)$.

$$f(1) = 0,\quad f\!\left(\tfrac{1}{x}\right) = -f(x)$$

💡 곱을 합으로 바꾸는 함수는 로그처럼 행동합니다 — $f(1) = 0$, 역수에서는 부호가 뒤집힙니다.

#13 대수로 바꾸기 6.NS.B.4 단계 2

규칙을 거듭제곱에 반복 적용: $f(p^k) = f(p) + f(p) + \cdots + f(p) = k \cdot p$.
여기에 역수 규칙을 합치면, 분자 $N = \prod p_i^{a_i}$, 분모 $D = \prod q_j^{b_j}$ 인 임의의 유리수 $\tfrac{N}{D}$ 에 대해 깔끔한 공식을 얻습니다.

$$f\!\left(\tfrac{N}{D}\right) = \sum a_i p_i - \sum b_j q_j$$

💡 소인수분해한 뒤, 분자 쪽 소수는 더하고 분모 쪽 소수는 뺍니다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.3 단계 3

(A) $\tfrac{17}{32}$ 에 공식 적용: $17$ 은 소수 ($a_1 = 1, p_1 = 17$), $32 = 2^5$ ($b_1 = 5, q_1 = 2$).
$f\!\left(\tfrac{17}{32}\right) = 17 - 5 \cdot 2 = 17 - 10 = 7$.
양수 — 제거.

$$f\!\left(\tfrac{17}{32}\right) = 17 - 10 = 7 > 0$$

💡 $17$ 하나가 $2$ 다섯 개 합 $10$ 보다 큽니다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.3 단계 4

(B) $\tfrac{11}{16}$: $11$ 은 소수, $16 = 2^4$.
$f = 11 - 4 \cdot 2 = 11 - 8 = 3$.
양수 — 제거.

$$f\!\left(\tfrac{11}{16}\right) = 11 - 8 = 3 > 0$$

💡 $11$ 이 $2$ 네 개를 이깁니다.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.3 단계 5

(C) $\tfrac{7}{9}$: $7$ 은 소수, $9 = 3^2$.
$f = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.
양수 — 제거.

$$f\!\left(\tfrac{7}{9}\right) = 7 - 6 = 1 > 0$$

💡 겨우 양수이지만 여전히 양수.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.3 단계 6

(D) $\tfrac{7}{6}$: $7$ 은 소수, $6 = 2 \cdot 3$.
$f = 7 - (2 + 3) = 7 - 5 = 2$.
양수 — 제거.

$$f\!\left(\tfrac{7}{6}\right) = 7 - (2 + 3) = 2 > 0$$

💡 $7 > 2 + 3 = 5$.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.3 단계 7

(E) $\tfrac{25}{11}$: $25 = 5^2$, $11$ 은 소수.
$f = 2 \cdot 5 - 11 = 10 - 11 = -1$.
음수 — 정답.

$$f\!\left(\tfrac{25}{11}\right) = 10 - 11 = -1 < 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 분자 쪽 소수 합이 작고 분모가 큰 소수인 유일한 선택지.

[1] #13 6.EE.A.4 먼저 $f(1)$ 을 구합니다. $a = b = 1$: $f(1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ 에서 $f(1) = 0$. 이어서 임

[2] #13 6.NS.B.4 규칙을 거듭제곱에 반복 적용: $f(p^k) = f(p) + f(p) + \cdots + f(p) = k \cdot p$. 여기에 역수 규칙을

[3] #6 7.NS.A.3 (A) $\tfrac{17}{32}$ 에 공식 적용: $17$ 은 소수 ($a_1 = 1, p_1 = 17$), $32 = 2^5$ ($b_1

[4] #6 7.NS.A.3 (B) $\tfrac{11}{16}$: $11$ 은 소수, $16 = 2^4$. $f = 11 - 4 \cdot 2 = 11 - 8 = 3$.

[5] #6 7.NS.A.3 (C) $\tfrac{7}{9}$: $7$ 은 소수, $9 = 3^2$. $f = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$. 양수 — 제

[6] #6 7.NS.A.3 (D) $\tfrac{7}{6}$: $7$ 은 소수, $6 = 2 \cdot 3$. $f = 7 - (2 + 3) = 7 - 5 = 2$. 양수

[7] #3 7.NS.A.3 (E) $\tfrac{25}{11}$: $25 = 5^2$, $11$ 은 소수. $f = 2 \cdot 5 - 11 = 10 - 11 = -1$

검토

합리성 확인: $f$ 는 "가중 소수 카운터" 처럼 작용하므로 $f(\tfrac{N}{D}) < 0$ 이려면 $D$ 의 소수 합이 $N$ 의 소수 합보다 커야 합니다. 비교를 뒤집는 것은 (E) 뿐: $N = 25 = 5 \cdot 5$ 의 합은 $5 + 5 = 10$, $D = 11$ 의 합은 $11$, $11 > 10$. 다른 네 선택지는 분자에 큰 소수 (17, 11, 7, 7) 한 개, 분모에 작은 소수의 거듭제곱이 있어 분자 쪽이 이깁니다.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): $f$ 값을 일일이 계산하지 말고 "분모의 소수 합이 분자의 소수 합보다 큰 선택지" 만 찾으면 됩니다. 다섯 선택지를 훑어보면 분모가 큰 소수이고 분자가 작은 소수의 작은 거듭제곱인 것은 (E) 하나뿐 — 산수 없이 답이 보입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판별 (함수 규칙을 대수 항등식처럼 다뤄 $f(1) = 0$ 과 $f(1/x) = -f(x)$ 유도.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (분자·분모를 소인수분해 ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$, $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $25 = 5^2$) 해서 공식 적용 준비.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산 실생활 문제 풀기 ($17 - 10 = 7$, $10 - 11 = -1$ 같은 부호 있는 정수 합·차를 계산하고 $0$ 과 비교.)

⭐ $f$ 는 요리법 같은 함수: 수를 소인수로 잘라서 분자 쪽 소수는 더하고 분모 쪽 소수는 뺍니다. 분모의 소수 $11$ 이 분자의 소수 합 $5+5=10$ 을 이기는 선택지는 $\tfrac{25}{11}$ 뿐 — $f = -1$, 답은 $\textbf{(E)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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