AMC 10 · 2021 · #22

학년 6 arithmetic

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangedivisibility-ruleslinear-equations-two-var convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Hiram's algebra notes are $50$ pages long and are printed on $25$ sheets of paper; the first sheet contains pages $1$ and $2$ , the second sheet contains pages $3$ and $4$ , and so on. One day he leaves his notes on the table before leaving for lunch, and his roommate decides to borrow some pages from the middle of the notes. When Hiram comes back, he discovers that his roommate has taken a consecutive set of sheets from the notes and that the average (mean) of the page numbers on all remaining sheets is exactly $19$ . How many sheets were borrowed?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~10

(B)

~13

(C)

~15

(D)

~17

(E)

~20

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 노트는 $50$ 페이지가 $25$ 장에 인쇄되어 있으며, $k$ 번 장은 페이지 $2k-1, 2k$ 를 담습니다($1$ 번 장은 $1, 2$, $2$ 번 장은 $3, 4$ …). 중간에서 연속한 장 묶음을 가져가서 남은 장들의 페이지 번호 평균이 정확히 $19$ 가 됩니다. 가져간 장의 개수는 몇 개인가요?

주어진 것: 총 $50$ 페이지, $25$ 장. $k$ 번 장은 페이지 $2k-1, 2k$; 모든 페이지 번호의 합 $= 1 + 2 + \cdots + 50 = 1275$; 연속한 $c$ 장(번호 $a, a+1, \ldots, a+c-1$) 이 제거됨; 남은 $25 - c$ 장($50 - 2c$ 페이지) 의 페이지 번호 평균 $= 19$; 선택지: (A) $10$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $17$, (E) $20$

구하는 것: 제거된 장의 수 $c$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 제거된 페이지의 개수($2c$) 와 합을 분리. 도구 #13(대수로 바꾸기) — "남은 평균 $= 19$" 조건을 $a, c$ 의 한 식으로 옮겨 $325 = 5^2 \cdot 13$ 의 작은 소인수분해로 케이스 분리. 도구 #6(추측하고 확인) — $c$ 가 $325$ 의 약수여야 하므로 $c \in \{1, 5, 13, \ldots\}$ 만 시도. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 $10, 13, 15, 17, 20$ 중 $325$ 의 약수만 살아남음.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 1

식 세우기.
제거된 장 수 $c$, 시작 장 번호 $a$ 라 두면 제거된 장은 $a, a+1, \ldots, a+c-1$, 제거된 페이지는 $2a-1$ 부터 $2(a+c-1) = 2a+2c-2$ 까지 $2c$ 개 연속한 정수.
그 합은 $\sum_{p=2a-1}^{2a+2c-2} p = \tfrac{2c \cdot [(2a-1) + (2a+2c-2)]}{2} = c(4a + 2c - 3)$.

$$\text{제거된 합} = c(4a + 2c - 3)$$

💡 $2c$ 개 연속 정수의 합 — 등차수열 공식 $c \cdot (\text{첫}+\text{끝})$.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 2

평균 조건 대입.
전체 페이지 합 $= \tfrac{50 \cdot 51}{2} = 1275$, 제거 후 남은 합 $= 1275 - c(4a+2c-3)$, 남은 페이지 수 $= 50 - 2c$.
평균 $= 19$ 에서 $\tfrac{1275 - c(4a+2c-3)}{50 - 2c} = 19$.
양변을 곱하면 $1275 - c(4a + 2c - 3) = 19(50 - 2c) = 950 - 38c$, 정리하면 $c(4a + 2c - 3) = 325 + 38c$, 즉 $4ac + 2c^2 - 3c - 38c = 325$, $c(4a + 2c - 41) = 325$.

$$c(4a + 2c - 41) = 325$$

💡 "평균 $= 19$" 를 한 식으로 옮기고 $c$ 를 인수로 모음.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 3

$325 = 5^2 \cdot 13$ 의 약수: $1, 5, 13, 25, 65, 325$.
$c$ 가 제거된 장 수이고 "중간"에서 가져왔으므로 $c < 25$ (실제로 $c \le 23$ 정도), 후보는 $c \in \{1, 5, 13\}$ ($25, 65, 325$ 은 너무 큼).

$$c \in \{1, 5, 13\}$$

💡 $325$ 가 작아 손으로 소인수분해 후 작은 약수만 남김.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 4

$c = 1$ 시도.
$4a + 2 - 41 = 325 \Rightarrow 4a = 364 \Rightarrow a = 91$.
노트가 $25$ 장뿐이라 불가능.
탈락.

$c=1 \Rightarrow a = 91$ (불가능)

💡 $c=1$ 대입 후 $a$ 가 $[2, 24]$ 범위에 있는지 확인.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 5

$c = 5$ 시도.
$5(4a + 10 - 41) = 325 \Rightarrow 4a - 31 = 65 \Rightarrow 4a = 96 \Rightarrow a = 24$.
마지막 제거 장 $= a + c - 1 = 28 > 25$ 이라 범위 초과.
탈락.

$c=5 \Rightarrow a = 24, a+c-1 = 28 > 25$ (불가능)

💡 $c=5$ 는 묶음이 $25$ 번 장을 넘김 — 범위 밖.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 6

$c = 13$ 시도.
$13(4a + 26 - 41) = 325 \Rightarrow 4a - 15 = 25 \Rightarrow 4a = 40 \Rightarrow a = 10$.
범위 점검: 제거 장 $10, 11, \ldots, 22$, 첫 $= 10 \ge 2$, 끝 $= 22 \le 24$ — 둘 다 안쪽, "중간에서" 와 일치.
유효.

$$c = 13, \;a = 10, \;\text{묶음} = [10, 22] \subset [2, 24]$$

💡 $c = 13$ 만 $a = 10$ 의 정수해를 범위 안에 줌 — 유일한 생존자.

#3 가능성 지우기 6.SP.A.3 단계 7

평균 검산.
제거된 페이지: $2 \cdot 10 - 1 = 19$ 부터 $2 \cdot 22 = 44$.
페이지 수 $= 44 - 19 + 1 = 26 = 2 \cdot 13$.
제거 합 $= \tfrac{26 \cdot (19 + 44)}{2} = 13 \cdot 63 = 819$.
남은 합 $= 1275 - 819 = 456$, 남은 페이지 수 $= 50 - 26 = 24$.
평균 $= 456 / 24 = 19$.
\checkmark

$$\text{남은 평균} = \tfrac{1275 - 819}{50 - 26} = \tfrac{456}{24} = 19$$

💡 정답 발표 전에 원래 평균 조건에 다시 대입해 확인.

[1] #7 6.EE.A.2 식 세우기. 제거된 장 수 $c$, 시작 장 번호 $a$ 라 두면 제거된 장은 $a, a+1, \ldots, a+c-1$, 제거된 페이지는 $2

[2] #13 6.EE.B.7 평균 조건 대입. 전체 페이지 합 $= \tfrac{50 \cdot 51}{2} = 1275$, 제거 후 남은 합 $= 1275 - c(4a+2

[3] #3 6.NS.B.4 $325 = 5^2 \cdot 13$ 의 약수: $1, 5, 13, 25, 65, 325$. $c$ 가 제거된 장 수이고 "중간"에서 가져왔으므

[4] #6 6.EE.B.7 $c = 1$ 시도. $4a + 2 - 41 = 325 \Rightarrow 4a = 364 \Rightarrow a = 91$. 노트가 $25

[5] #6 6.EE.B.7 $c = 5$ 시도. $5(4a + 10 - 41) = 325 \Rightarrow 4a - 31 = 65 \Rightarrow 4a = 96

[6] #6 6.EE.B.7 $c = 13$ 시도. $13(4a + 26 - 41) = 325 \Rightarrow 4a - 15 = 25 \Rightarrow 4a = 4

[7] #3 6.SP.A.3 평균 검산. 제거된 페이지: $2 \cdot 10 - 1 = 19$ 부터 $2 \cdot 22 = 44$. 페이지 수 $= 44 - 19 + 1

검토

합리성 확인: 빠른 점검. 전체 $50$ 페이지의 평균은 $25.5$. 페이지 $19$ ~ $44$ (평균 $31.5$, 전체보다 큼) 를 제거하면 남은 평균이 내려가야 함 — 실제로 $19 < 25.5$. 크기 점검: $25.5 - 19 = 6.5$ 만큼 내려가는데, 평균보다 무거운 위쪽 묶음을 제거하면 가능. 선택지 $\{10, 13, 15, 17, 20\}$ 중 $325$ 의 약수이며 $a$ 가 $[2, 24]$ 안인 것은 $c = 13$ 뿐, 이웃 답을 즉시 배제.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 $c \in \{10, 13, 15, 17, 20\}$ 을 직접 $c(4a + 2c - 41) = 325$ 에 대입해 정수 $a$ 가 나오는 것만 남김 — $325$ 의 약수 나열보다 답 보기가 보이면 더 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($325 = 5^2 \cdot 13$ 의 약수를 나열해 $c$ 후보 추리기.)
6.EE.A.2 문자로 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 평가하기 (제거된 페이지 합 $c(4a + 2c - 3)$ 을 $a, c$ 로 표현.)
6.EE.B.7 $px + q = r$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 (평균 조건을 $c(4a + 2c - 41) = 325$ 로 정리하고 각 $c$ 후보에 대해 $a$ 풀기.)
6.SP.A.3 중심 측도(평균 등)가 자료 값들을 하나의 수로 요약함을 인식 ($c=13, a=10$ 에서 남은 페이지 번호 평균이 $19$ 임을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 6학년 평균과 방정식 도구만 있으면 풀려요 — 전체 페이지 합($1275$) 과 제거된 합 공식($c(4a + 2c - 3)$) 을 쓰고 남은 평균 $= 19$ 조건을 정리하면 $c(4a + 2c - 41) = 325$, $325 = 5^2 \cdot 13$ 을 인수분해해 $c \in \{1, 5, 13\}$ 을 시도하면 $c = 13$ 만 유효한 묶음(장 $10$ ~ $22$, 페이지 $19$ ~ $44$) 을 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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