AMC 10 · 2021 · #23

학년 7 geometry-2d

probability-basicsymmetry-argumentrecursive-sequencecomplementary-counting identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Frieda the frog begins a sequence of hops on a $3 \times 3$ grid of squares, moving one square on each hop and choosing at random the direction of each hop-up, down, left, or right. She does not hop diagonally. When the direction of a hop would take Frieda off the grid, she "wraps around" and jumps to the opposite edge. For example if Frieda begins in the center square and makes two hops "up", the first hop would place her in the top row middle square, and the second hop would cause Frieda to jump to the opposite edge, landing in the bottom row middle square. Suppose Frieda starts from the center square, makes at most four hops at random, and stops hopping if she lands on a corner square. What is the probability that she reaches a corner square on one of the four hops?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{9}{16}$

(B)

$~\frac{5}{8}$

(C)

$~\frac{3}{4}$

(D)

$~\frac{25}{32}$

(E)

$~\frac{13}{16}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개구리 Frieda 는 $3 \times 3$ 격자의 중앙에서 시작합니다. 매 점프마다 상·하·좌·우 중 하나로 확률 $\tfrac{1}{4}$ 씩 이동하고, 격자 바깥으로 나가면 반대쪽 끝으로 "감아 돌아" 들어옵니다. 모서리 칸에 닿는 순간 멈춥니다. 최대 $4$ 번 점프 안에 모서리에 닿을 확률을 구하세요.

주어진 것: $3 \times 3$ 격자: 중앙 $1$ 칸, 변 중앙 $4$ 칸, 모서리 $4$ 칸; 각 점프 방향은 상하좌우 중 확률 $\tfrac{1}{4}$; 격자 밖으로 나가면 반대쪽 끝으로 감아 들어옴; 중앙에서 시작, 모서리 칸에 닿으면 정지; 최대 $4$ 번 점프; 선택지: (A) $\tfrac{9}{16}$, (B) $\tfrac{5}{8}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $\tfrac{25}{32}$, (E) $\tfrac{13}{16}$

구하는 것: $P(\text{Frieda 가 4번 점프 안에 모서리에 닿음})$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기) — 격자를 그리고 C/E/V 색칠, 감아 돌기 화살표를 보여 이동 종류 파악. 도구 #9(더 쉬운 문제) — "9 칸 위치" 를 추적하는 대신 격자 대칭으로 "3 가지 칸 종류" 만 추적해 상태공간을 압축. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 점프별로 "아직 안 멈춤 + 현재 C" 와 "+ 현재 E" 두 양만 계산 (V 는 멈춤). 도구 #5(패턴 찾기) — 재귀가 짧으니 ($4$ 점프) 한 줄씩 풀면 됨. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 분모가 모두 $32$ 의 약수라 답이 분모 $32$ 일 것을 예상.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

대칭으로 세 종류 칸 식별.
중앙 C(1개), 변 E(4개), 모서리 V(4개).
C 의 네 이웃이 정확히 E 네 개라 $P(C \to E) = 1$.
E (예: 오른쪽 변) 에서 위·아래는 V (인접 모서리), 왼쪽은 C, 오른쪽은 감아 돌아 반대편 변 E.
따라서 $P(E \to V) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}, P(E \to C) = \tfrac{1}{4}, P(E \to E) = \tfrac{1}{4}$.

$$P(C \to E)=1; \;P(E \to V)=\tfrac{1}{2}, P(E \to C)=\tfrac{1}{4}, P(E \to E)=\tfrac{1}{4}$$

💡 9 칸 대신 3 종류 — 대칭으로 같은 종류는 동일하게 작동.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

두 양 추적.
$C_n$ = $n$ 번 점프 후 아직 멈추지 않고 중앙에 있을 확률, $E_n$ = 변에 있을 확률.
초기: 중앙 출발이라 $C_0 = 1, E_0 = 0$.
$n$ 번째 점프에서 처음 멈출 확률 $p_n = E_{n-1} \cdot P(E \to V) = \tfrac{1}{2} E_{n-1}$ (E 에서만 모서리로 갈 수 있음).
$4$ 번 안 멈출 총확률은 $p_1 + p_2 + p_3 + p_4$.

$$p_n = \tfrac{1}{2} E_{n-1}, \quad \text{합} = p_1 + p_2 + p_3 + p_4$$

💡 서로 배타적인 "처음 멈춤 사건" 들을 더해 전체 멈춤 확률.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.5 단계 3

$1$ 번 점프.
출발: $C_0 = 1, E_0 = 0$.
$p_1 = \tfrac{1}{2} \cdot 0 = 0$.
점프 후 (안 멈춤) 갱신: $C_1 = P(E \to C) E_0 = 0; E_1 = P(C \to E) C_0 + P(E \to E) E_0 = 1 \cdot 1 + 0 = 1$.
$1$ 번 점프 후 반드시 변, 안 멈춤.

$$p_1 = 0, \;C_1 = 0, \;E_1 = 1$$

💡 중앙 점프는 무조건 E — $1$ 번에 모서리 닿을 수 없음.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.7 단계 4

$2$ 번 점프.
$p_2 = \tfrac{1}{2} E_1 = \tfrac{1}{2}$.
생존자 갱신: $C_2 = \tfrac{1}{4} E_1 = \tfrac{1}{4}; E_2 = 1 \cdot C_1 + \tfrac{1}{4} E_1 = 0 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}$.

$$p_2 = \tfrac{1}{2}, \;C_2 = \tfrac{1}{4}, \;E_2 = \tfrac{1}{4}$$

💡 확률 $1$ 로 E 에서 점프 — 절반은 V(멈춤), 나머지 반은 C, E 로 분배.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.7 단계 5

$3$ 번 점프.
$p_3 = \tfrac{1}{2} E_2 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$.
갱신: $C_3 = \tfrac{1}{4} E_2 = \tfrac{1}{16}; E_3 = 1 \cdot C_2 + \tfrac{1}{4} E_2 = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{5}{16}$.

$$p_3 = \tfrac{1}{8}, \;C_3 = \tfrac{1}{16}, \;E_3 = \tfrac{5}{16}$$

💡 같은 재귀 — E 에서만 멈출 수 있으니 $E_n$ 을 신중히.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.7 단계 6

$4$ 번 점프.
$p_4 = \tfrac{1}{2} E_3 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{5}{16} = \tfrac{5}{32}$.

$$p_4 = \tfrac{5}{32}$$

💡 $E_3$ 값만 있으면 됨; 이후 $C_4, E_4$ 는 필요 없음.

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 7

서로 배타적인 사건 합.
전체 $= p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{5}{32}$.
공통 분모 $32$: $0 + \tfrac{16}{32} + \tfrac{4}{32} + \tfrac{5}{32} = \tfrac{25}{32}$.

$$0 + \tfrac{16}{32} + \tfrac{4}{32} + \tfrac{5}{32} = \tfrac{25}{32}$$

💡 서로 배타적인 멈춤 사건을 공통 분모로 더하면 답이 바로 나옴.

[1] #9 7.SP.C.7 대칭으로 세 종류 칸 식별. 중앙 C(1개), 변 E(4개), 모서리 V(4개). C 의 네 이웃이 정확히 E 네 개라 $P(C \to E) =

[2] #7 7.SP.C.8 두 양 추적. $C_n$ = $n$ 번 점프 후 아직 멈추지 않고 중앙에 있을 확률, $E_n$ = 변에 있을 확률. 초기: 중앙 출발이라 $C

[3] #5 7.SP.C.5 $1$ 번 점프. 출발: $C_0 = 1, E_0 = 0$. $p_1 = \tfrac{1}{2} \cdot 0 = 0$. 점프 후 (안 멈춤)

[4] #5 7.SP.C.7 $2$ 번 점프. $p_2 = \tfrac{1}{2} E_1 = \tfrac{1}{2}$. 생존자 갱신: $C_2 = \tfrac{1}{4} E

[5] #5 7.SP.C.7 $3$ 번 점프. $p_3 = \tfrac{1}{2} E_2 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{

[6] #5 7.SP.C.7 $4$ 번 점프. $p_4 = \tfrac{1}{2} E_3 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{5}{16} = \tfrac{5}

[7] #3 5.NF.A.1 서로 배타적인 사건 합. 전체 $= p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} + \t

검토

합리성 확인: 범위 점검. $P \ge p_2 = \tfrac{1}{2}$ 이고 $\le 1$. 우리 답 $\tfrac{25}{32} \approx 0.78$ 은 그 사이 — 모서리에 도달 가능성이 꽤 높지만 보장은 아님과 일치. $p_n$ 값: $0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{5}{32}$ — 단조감소가 아니고 $p_4 > p_3$ 인 이유는 $E_3 = \tfrac{5}{16} > E_2 = \tfrac{1}{4}$ (C 에서 E 로 흘러들어온 질량 때문). 모두 일관. 답 (D) $\tfrac{25}{32}$ 와 일치.

대안 접근: 도구 #16(여집합): $P(\text{4번 안 멈춤}) = C_4 + E_4 = \tfrac{1}{4} E_3 + (C_3 + \tfrac{1}{4} E_3) = \tfrac{5}{64} + \tfrac{4}{64} + \tfrac{5}{64} = \tfrac{14}{64} = \tfrac{7}{32}$, 따라서 $1 - \tfrac{7}{32} = \tfrac{25}{32}$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{5}{32}$ 을 공통분모 $32$ 로 합치기.)
7.SP.C.5 확률은 $0$ 과 $1$ 사이의 수임을 이해 (각 방향 확률 $\tfrac{1}{4}$ 과 전이 확률 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}$ 모두 $[0, 1]$.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들고 사건의 확률 구하기 (격자 대칭으로 3 상태(C, E, V) 모형과 전이 확률을 구성.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무그림·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 ("$4$ 번 안에 멈춤" 복합 사건을 $p_1 + p_2 + p_3 + p_4$ (서로 배타적 첫-멈춤 사건) 으로 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 대칭으로 $3 \times 3$ 격자를 세 종류(중앙·변·모서리) 로 줄이고 전이 확률 $P(E \to V) = \tfrac{1}{2}, P(E \to C) = P(E \to E) = \tfrac{1}{4}$ 을 구한 뒤 점프별 멈춤 확률 $0 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{5}{32} = \tfrac{25}{32}$ 을 더하면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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