AMC 10 · 2021 · #3

학년 6 number-theory

place-valuedigit-decompositionlinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: place-value

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The sum of two natural numbers is $17{,}402$ . One of the two numbers is divisible by $10$ . If the units digit of that number is erased, the other number is obtained. What is the difference of these two numbers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~10{,}272$

(B)

$~11{,}700$

(C)

$~13{,}362$

(D)

$~14{,}238$

(E)

$~15{,}426$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자연수의 합이 $17{,}402$. 큰 수는 $10$ 의 배수(일의 자리가 $0$)이고, 큰 수의 일의 자리를 지우면 작은 수가 됩니다. 두 수의 차를 구하세요.

주어진 것: 큰 수 $+$ 작은 수 $= 17{,}402$; 큰 수는 $10$ 의 배수 (일의 자리 $= 0$); 큰 수의 일의 자리를 지우면 작은 수가 됨 — 즉 큰 수 $= 10 \times$ 작은 수; 선택지: (A) $10{,}272$, (B) $11{,}700$, (C) $13{,}362$, (D) $14{,}238$, (E) $15{,}426$

구하는 것: 큰 수 $-$ 작은 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #6 추측하고 확인하기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대. 작은 수를 $s$ 라 하면 일의 자리 $0$ 을 지우는 일은 $10$ 으로 나누는 일과 같으므로 큰 수 $= 10s$. 합 조건이 한 줄 방정식 $11s = 17{,}402$ 가 되고 차는 $9s$. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 안전망 — $s$ 가 $2$ 로 끝나면 차의 일의 자리는 $8$, 선택지 중 $8$ 로 끝나는 건 (D) 뿐.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.1 단계 1

작은 수를 $s$ 로 놓습니다.
큰 수의 일의 자리($0$)를 지우면 $s$ 가 나오므로 큰 수는 정확히 $10s$ — 자릿수가 한 칸 왼쪽으로 미는 것은 $10$ 을 곱하는 것과 같습니다.

$$\text{작은 수} = s, \quad \text{큰 수} = 10s$$

💡 모든 자릿수가 한 칸 왼쪽으로 가면 그 수는 $10$ 배 — 5학년 "한 자리가 오른쪽 자리의 $10$ 배" 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

합 조건 적용.
$\text{큰 수} + \text{작은 수} = 10s + s = 11s = 17{,}402$.
양변을 $11$ 로 나누면 $s = 1{,}582$.

$$11s = 17{,}402 \;\Rightarrow\; s = \dfrac{17{,}402}{11} = 1{,}582$$

💡 미지수 하나·식 한 줄 $11s = 17{,}402$ — 6학년 "$px = q$ 풀기" 를 나눗셈으로.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

두 수를 구하기.
작은 수 $= 1{,}582$, 큰 수 $= 10 \times 1{,}582 = 15{,}820$.
차는 $15{,}820 - 1{,}582 = 14{,}238$ — 선택지 (D).

$$15{,}820 - 1{,}582 = 14{,}238 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 받아내림이 있는 여러 자리 수 뺄셈 — 4학년 표준 알고리즘.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 4

일의 자리로 빠른 검증.
작은 수는 $2$ 로 끝나고 큰 수는 $0$ 으로 끝나니까 차의 일의 자리는 $0 - 2 = 8$ (받아내림).
선택지 중 $8$ 로 끝나는 건 (D) $14{,}238$ 뿐.

$$\text{차의 일의 자리} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 일의 자리만 비교하는 빠른 검증 — 4학년 "자릿값으로 자연수 비교".

[1] #7 5.NBT.A.1 작은 수를 $s$ 로 놓습니다. 큰 수의 일의 자리($0$)를 지우면 $s$ 가 나오므로 큰 수는 정확히 $10s$ — 자릿수가 한 칸 왼쪽으로

[2] #7 6.EE.B.7 합 조건 적용. $\text{큰 수} + \text{작은 수} = 10s + s = 11s = 17{,}402$. 양변을 $11$ 로 나누면 $

[3] #7 4.NBT.B.4 두 수를 구하기. 작은 수 $= 1{,}582$, 큰 수 $= 10 \times 1{,}582 = 15{,}820$. 차는 $15{,}820 -

[4] #3 4.NBT.A.2 일의 자리로 빠른 검증. 작은 수는 $2$ 로 끝나고 큰 수는 $0$ 으로 끝나니까 차의 일의 자리는 $0 - 2 = 8$ (받아내림). 선택지

검토

합리성 확인: 세 조건 확인: 작은 수 $+$ 큰 수 $= 1{,}582 + 15{,}820 = 17{,}402 \checkmark$. $15{,}820$ 의 일의 자리를 지우면 $1{,}582 \checkmark$. 차 $14{,}238$ 은 $17{,}402$ 의 $9/11 \approx 14{,}238 \checkmark$. (D) 와 정확히 일치하고, 일의 자리도 다른 선택지와 다름.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인)을 어림수로 시도. 작은 수 $= 1{,}500$ 추측: 큰 수 $= 15{,}000$, 합 $= 16{,}500$ — 너무 작음. 작은 수 $= 1{,}600$: 큰 수 $= 16{,}000$, 합 $= 17{,}600$ — 너무 큼. 그 사이, $1{,}600$ 에 가까운 $1{,}582$ 를 시도하면 합 $= 17{,}402 \checkmark$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수 읽고 쓰고 기호로 비교하기 (큰 수와 작은 수의 일의 자리를 읽어 차의 일의 자리를 판단하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 ($15{,}820 - 1{,}582 = 14{,}238$ 을 표준 알고리즘으로 계산하는 데 사용.)
5.NBT.A.1 한 자리가 오른쪽 자리의 $10$ 배라는 자릿값 이해 (자릿수를 왼쪽으로 한 칸 미는 일이 $10$ 곱하기와 같음을 정당화하여 큰 수 $= 10 \times$ 작은 수 로 두는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식 세우고 풀기 (합 조건에서 $11s = 17{,}402$ 를 세우고 양변을 $11$ 로 나눠 $s = 1{,}582$ 를 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "자릿수를 왼쪽으로 한 칸 밀면 $10$ 배" 만 알면 풀 수 있어요 — 작은 수를 $s$ 로 놓으면 큰 수가 $10s$, $11s = 17{,}402$ 에서 $s = 1{,}582$, 차는 $14{,}238$!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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