AMC 10 · 2021 · #4

학년 6 rate-ratio

sequences-arithmeticpattern-recognitionequal-spacingmean-median-mode-range pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A cart rolls down a hill, travelling $5$ inches the first second and accelerating so that during each successive $1$ -second time interval, it travels $7$ inches more than during the previous $1$ -second interval. The cart takes $30$ seconds to reach the bottom of the hill. How far, in inches, does it travel?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~215

(B)

~360

(C)

~2992

(D)

~3195

(E)

~3242

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카트가 첫 $1$ 초에 $5$ 인치를 가고, 그다음 $1$ 초마다 직전 초보다 $7$ 인치를 더 갑니다. $30$ 초 만에 언덕 끝에 도달할 때, 총 이동 거리(인치)를 구하세요.

주어진 것: $1$ 초에 간 거리 $= 5$ 인치; 다음 $1$ 초 거리 $=$ 직전 초 거리 $+ 7$ 인치; 총 시간 $= 30$ 초; 선택지: (A) $215$, (B) $360$, (C) $2992$, (D) $3195$, (E) $3242$

구하는 것: $30$ 초 동안의 총 이동 거리 (인치)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #5(패턴 찾기)가 $+7$ 의 일정한 점프와 등간격 수열을 알아챕니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 짝짓기 아이디어를 확인 — $5$ 와 $208$, $12$ 와 $201$, $\dots$ 모두 합이 $213$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 작은 문제로 분해: "마지막 초 거리는?" 과 "각 합이 $213$ 인 쌍이 몇 개?".

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 1

처음 몇 항을 적어 패턴을 봅니다.
$1$ 초: $5$.
$2$ 초: $5 + 7 = 12$.
$3$ 초: $12 + 7 = 19$.
$4$ 초: $26$.
매 단계마다 $7$ 씩 늘어나는 일정한 사다리.

$5, \;12, \;19, \;26, \;\dots$ \quad (간격 $= 7$)

💡 처음 몇 항을 나열하면 패턴이 보임 — 5학년 "규칙으로 수열 만들기" 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.2 단계 2

마지막 초 거리($30$ 번째 항)를 구하기.
$1$ 초에서 $30$ 초까지 $7$ 을 더하는 일이 $29$ 번 일어납니다.
따라서 $a_{30} = 5 + 29 \times 7 = 5 + 203 = 208$ 인치.

$$a_{30} = 5 + 29 \times 7 = 5 + 203 = 208$$

💡 첫 항과 마지막 항 사이에 $7$ 점프가 몇 번 들어가는지 세기 — 5학년 "계산을 기록하는 식 쓰기".

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.OA.B.3 단계 3

첫 항과 마지막 항, 둘째와 끝에서 둘째, … 이렇게 짝을 짓기.
모든 쌍의 합이 같음: $5 + 208 = 213$, $12 + 201 = 213$, $19 + 194 = 213$, $\dots$.
항이 $30$ 개이므로 정확히 $15$ 쌍.

$$15 \text{ 쌍}, \; \text{각 쌍의 합} = 5 + 208 = 213$$

💡 두 수가 같은 속도로 서로를 향해 다가가면 합이 항상 같음 — 5학년 "두 패턴 사이의 관계 찾기".

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 4

총 거리는 $15$ 쌍의 합 $\times 1$: $15 \times 213 = 3{,}195$ 인치.
선택지 (D) 와 일치.

$$15 \times 213 = 3{,}195 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 자리 수와 세 자리 수의 곱 — 5학년 "여러 자리 자연수 곱셈".

[1] #5 5.OA.B.3 처음 몇 항을 적어 패턴을 봅니다. $1$ 초: $5$. $2$ 초: $5 + 7 = 12$. $3$ 초: $12 + 7 = 19$. $4$ 초

[2] #7 5.OA.A.2 마지막 초 거리($30$ 번째 항)를 구하기. $1$ 초에서 $30$ 초까지 $7$ 을 더하는 일이 $29$ 번 일어납니다. 따라서 $a_{30

[3] #9 5.OA.B.3 첫 항과 마지막 항, 둘째와 끝에서 둘째, … 이렇게 짝을 짓기. 모든 쌍의 합이 같음: $5 + 208 = 213$, $12 + 201 = 2

[4] #7 5.NBT.B.5 총 거리는 $15$ 쌍의 합 $\times 1$: $15 \times 213 = 3{,}195$ 인치. 선택지 (D) 와 일치.

검토

합리성 확인: 초당 평균 거리는 $\tfrac{5 + 208}{2} \approx 106.5$ 인치이므로 $30$ 초 총합은 약 $106.5 \times 30 \approx 3{,}195$. (D) 와 정확히 일치. 작은 선택지 (A), (B) 는 명백히 잘못 — 마지막 한 초만 해도 $208$ 인치라 $215$ 를 넘김.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인) + 도구 #3(가능성 지우기). 평균 추정으로 (A), (B) 탈락. (C) $2{,}992$ 는 평균 추정 $3{,}195$ 보다 작고, (E) $3{,}242$ 는 큼. (D) 가 예측한 중심에 정확히 있어 한 번의 곱셈으로 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.2 수 계산을 기록하는 간단한 식 쓰기 ($30$ 번째 항을 $a_{30} = 5 + 29 \times 7$ 로 적어 계산하는 데 사용.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수열을 만들고 관계 찾기 ($5, 12, 19, 26, \dots$ 수열을 만들고 양 끝에서 짝지은 두 항의 합이 일정함을 알아내는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈 능숙하게 하기 (총 거리 $15 \times 213 = 3{,}195$ 를 계산하는 데 사용.)
6.SP.A.3 중심값이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (초당 평균 거리 $\tfrac{5 + 208}{2}$ 에 초 수를 곱한 것이 총 거리와 같다는 "평균 $\times$ 개수" 항등을 활용하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균 $\times$ 개수 $=$ 합계" 만 알면 풀 수 있어요 — 첫 초($5$) 와 마지막 초($208$) 를 짝지으면 합이 $213$, $15$ 쌍이라 답은 $3{,}195$ 인치!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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