AMC 10 · 2021 · #5

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangefraction-arithmeticformula-substitution identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

The quiz scores of a class with $k > 12$ students have a mean of $8$ . The mean of a collection of $12$ of these quiz scores is $14$ . What is the mean of the remaining quiz scores in terms of $k$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{14-8}{k-12}$

(B)

$~\frac{8k-168}{k-12}$

(C)

$~\frac{14}{12} - \frac{8}{k}$

(D)

$~\frac{14(k-12)}{k^2}$

(E)

$~\frac{14(k-12)}{8k}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $k > 12$ 명의 학급 퀴즈 평균이 $8$. 그 중 $12$ 명의 평균은 $14$. 나머지 $k - 12$ 명의 평균을 $k$ 의 식으로 나타내세요.

주어진 것: 학급 인원 $= k$ ($k > 12$); 전체 학급 평균 $= 8$, 따라서 학급 점수 총합 $= 8k$; $12$ 명 그룹의 평균 $= 14$, 따라서 이들의 총합 $= 14 \times 12 = 168$; 선택지: (A) $\tfrac{14 - 8}{k - 12}$, (B) $\tfrac{8k - 168}{k - 12}$, (C) $\tfrac{14}{12} - \tfrac{8}{k}$, (D) $\tfrac{14(k-12)}{k^2}$, (E) $\tfrac{14(k-12)}{8k}$

구하는 것: 나머지 $k - 12$ 명의 평균

이해

문제 재정리: $k > 12$ 명의 학급 퀴즈 평균이 $8$. 그 중 $12$ 명의 평균은 $14$. 나머지 $k - 12$ 명의 평균을 $k$ 의 식으로 나타내세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 평균을 두 재료(합, 개수)로 분해. 나머지 그룹의 합과 인원을 따로 구한 뒤 나누기. 도구 #8(단위 살펴보기)이 "점수" 와 "학생" 을 헷갈리지 않게 지켜줘 최종 비율 모양이 "점수 / 학생" 이 되도록 유지. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 $k = 24$ 같은 친근한 값을 넣어 식을 검증.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 1

학급 전체 총합.
평균 $\times$ 인원 $=$ 합.
따라서 학급 총합 $= 8 \times k = 8k$ 점.

$$\text{학급 총합} = 8 \times k = 8k$$

💡 평균은 인원과 곱하면 합이 되는 "하나의 대표 수" — 6학년 "중심값이 자료 전체를 요약" 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 2

$12$ 명 그룹의 총합.
$\text{그룹 총합} = 14 \times 12 = 168$ 점.

$$\text{그룹 총합} = 14 \times 12 = 168$$

💡 부분 그룹에 같은 평균 공식 적용 — 평균에 인원을 곱하면 합.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 3

나머지 학생들의 총합.
전체에서 빼기: $\text{나머지 총합} = 8k - 168$ 점.
나머지 인원은 $k - 12$ 명.

$$\text{나머지 총합} = 8k - 168, \quad \text{나머지 인원} = k - 12$$

💡 남은 합과 인원을 $8k - 168$ 과 $k - 12$ 로 적기 — 6학년 "문자가 수를 나타내는 식 쓰기".

#8 단위 살펴보기 6.EE.A.2 단계 4

합을 인원으로 나눠 나머지 평균을 얻기.
$\dfrac{8k - 168}{k - 12}$.
선택지 (B) 와 일치.

$$\text{나머지 평균} = \dfrac{8k - 168}{k - 12} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 단위 점검: $\tfrac{\text{점수}}{\text{학생}} = \text{학생당 점수}$ — 평균에 맞는 형태.

[1] #7 6.SP.A.3 학급 전체 총합. 평균 $\times$ 인원 $=$ 합. 따라서 학급 총합 $= 8 \times k = 8k$ 점.

[2] #7 6.SP.A.3 $12$ 명 그룹의 총합. $\text{그룹 총합} = 14 \times 12 = 168$ 점.

[3] #7 6.EE.A.2 나머지 학생들의 총합. 전체에서 빼기: $\text{나머지 총합} = 8k - 168$ 점. 나머지 인원은 $k - 12$ 명.

[4] #8 6.EE.A.2 합을 인원으로 나눠 나머지 평균을 얻기. $\dfrac{8k - 168}{k - 12}$. 선택지 (B) 와 일치.

검토

합리성 확인: $k = 24$ 로 검증. 학급 총합 $= 8 \times 24 = 192$, $12$ 명 그룹 총합 $= 168$, 나머지 합 $= 24$, 나머지 인원 $= 12$, 나머지 평균 $= 24 / 12 = 2$. 식 (B) 에 대입: $\tfrac{8 \cdot 24 - 168}{24 - 12} = \tfrac{24}{12} = 2$ — 일치. "$14$ 짜리 $12$ 명이 평균을 끌어올렸으니 나머지는 $8$ 보다 작아야 함" 도 $2 < 8$ 로 맞음. (B) 가 살아남음.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) + 도구 #9(더 쉬운 문제). $k = 24$ 대입해서 각 선택지 계산: (A) $\tfrac{6}{12} = 0.5$, (B) $\tfrac{24}{12} = 2$, (C) $\tfrac{14}{12} - \tfrac{8}{24} \approx 0.83$, (D) $\tfrac{14 \cdot 12}{576} \approx 0.29$, (E) $\tfrac{14 \cdot 12}{192} = 0.875$. 직접 계산: 나머지 평균 $= 2$. (B) 만 적중.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식 쓰고 읽고 계산하기 (나머지 총합 $8k - 168$, 나머지 인원 $k - 12$, 최종 평균 $\tfrac{8k - 168}{k - 12}$ 을 식으로 적는 데 사용.)
6.SP.A.3 중심값이 자료 전체를 하나의 수로 요약함을 이해 (전체 학급($8 \times k$)과 $12$ 명 그룹($14 \times 12$) 모두에 "평균 $\times$ 인원 $=$ 합" 을 적용하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균 $\times$ 인원 $=$ 합" 만 알면 풀 수 있어요 — 학급 총합 ($8k$) 에서 $12$ 명 총합 ($168$) 을 빼고 남은 $k - 12$ 로 나누면 $\tfrac{8k - 168}{k - 12}$ 가 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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