AMC 10 · 2021 · #6
학년 6 rate-ratio문제
Chantal and Jean start hiking from a trailhead toward a fire tower. Jean is wearing a heavy backpack and walks slower. Chantal starts walking at miles per hour. Halfway to the tower, the trail becomes really steep, and Chantal slows down to miles per hour. After reaching the tower, she immediately turns around and descends the steep part of the trail at miles per hour. She meets Jean at the halfway point. What was Jean's average speed, in miles per hour, until they meet?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 샹탈과 장이 등산로 입구에서 동시에 출발합니다. 샹탈은 시속 $4$마일로 중간 지점까지 간 뒤, 가파른 위쪽 절반을 시속 $2$마일로 올라 감시탑에 도달하고, 돌아내려올 때는 시속 $3$마일로 가파른 길을 내려와 중간 지점에서 장과 만납니다. 같은 시간 동안 장은 일정한 속력으로 입구에서 중간 지점까지 걸어왔습니다. 장의 평균 속력(시속, 마일)은 얼마인가요?
주어진 것: 입구에서 중간 지점까지 거리를 $d$라 두면 전체 길은 $2d$; 샹탈: 첫 $d$를 시속 $4$, 가파른 $d$를 시속 $2$, 다시 내려오는 $d$를 시속 $3$; 장: 거리 $d$를 일정한 속력으로 이동; 두 사람의 출발 시각과 만나는 시각이 동일; 선택지: (A) $\frac{12}{13}$, (B) $1$, (C) $\frac{13}{12}$, (D) $\frac{24}{13}$, (E) $2$
구하는 것: 두 사람이 만나기까지 장의 평균 속력(시속 마일)
이해
문제 재정리: 샹탈과 장이 등산로 입구에서 동시에 출발합니다. 샹탈은 시속 $4$마일로 중간 지점까지 간 뒤, 가파른 위쪽 절반을 시속 $2$마일로 올라 감시탑에 도달하고, 돌아내려올 때는 시속 $3$마일로 가파른 길을 내려와 중간 지점에서 장과 만납니다. 같은 시간 동안 장은 일정한 속력으로 입구에서 중간 지점까지 걸어왔습니다. 장의 평균 속력(시속, 마일)은 얼마인가요?
주어진 것: 입구에서 중간 지점까지 거리를 $d$라 두면 전체 길은 $2d$; 샹탈: 첫 $d$를 시속 $4$, 가파른 $d$를 시속 $2$, 다시 내려오는 $d$를 시속 $3$; 장: 거리 $d$를 일정한 속력으로 이동; 두 사람의 출발 시각과 만나는 시각이 동일; 선택지: (A) $\frac{12}{13}$, (B) $1$, (C) $\frac{13}{12}$, (D) $\frac{24}{13}$, (E) $2$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #1 그림 그리기
샹탈의 이동은 속력이 다른 세 구간으로 자연스럽게 쪼개집니다 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 구간 시간을 따로 구하고 합치면 됨. 도구 #8(단위 살펴보기)로 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력}$ 관계를 정확히 유지. 도구 #1(그림 그리기)로 수직선 위에 세 구간을 그리면 장이 $d$, 샹탈이 $3d$를 같은 시간에 이동했다는 사실이 한눈에 보입니다.
실행 — 정답: A
6.RP.A.3 단계 1 - 수직선 위에 입구·중간·감시탑을 거리 $d$ 간격으로 표시.
- 샹탈은 $d$를 시속 $4$(평지), $d$를 시속 $2$(가파른 상행), $d$를 시속 $3$(가파른 하행)로 이동해 중간 지점 도착.
- 장은 $d$를 미지의 속력으로 이동.
- 두 사람의 경과 시간 동일.
💡 그림을 그리면 긴 문장이 세 구간 + 장의 한 구간으로 깔끔히 정리됨.
6.RP.A.2 단계 2 - 각 구간은 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$.
- 첫 구간 $\dfrac{d}{4}$시간, 둘째 $\dfrac{d}{2}$시간, 셋째 $\dfrac{d}{3}$시간.
- 단위 확인: 마일 ÷ (마일/시간) = 시간.
💡 단위율 $r = d/t$를 뒤집어 $t = d/r$ — 6학년 비율 추론 그대로.
5.NF.A.1 단계 3 - 샹탈이 만나기까지 걸린 총 시간 = 세 구간 시간의 합.
- 공통분모 $12$: $\dfrac{d}{4} = \dfrac{3d}{12},\;\dfrac{d}{2} = \dfrac{6d}{12},\;\dfrac{d}{3} = \dfrac{4d}{12}$.
- 합 $= \dfrac{13d}{12}$시간.
💡 공통분모로 통분 후 덧셈 — 5학년 분수 계산.
6.RP.A.3 단계 4 - 장은 같은 시간 $T = \dfrac{13d}{12}$에 거리 $d$를 이동.
- 평균 속력은 $\dfrac{d}{T} = d \cdot \dfrac{12}{13d} = \dfrac{12}{13}$ mph.
- 거리 $d$가 약분되어 사라짐 — 답은 길의 실제 길이와 무관.
💡 분수로 나누기는 역수 곱하기 — 미지의 거리가 깔끔히 사라짐.
4.NF.A.2 단계 5 선택지와 대조: $\dfrac{12}{13}$ 은 (A).
💡 구한 분수를 그대로 선택지에서 찾기.
6.RP.A.3 수직선 위에 입구·중간·감시탑을 거리 $d$ 간격으로 표시. 샹탈은 $d$를 시속 $4$(평지), $d$를 시속 $2$(가파른 상행), $d$를 6.RP.A.2 각 구간은 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$. 첫 구간 $\dfrac{d}{4}$시간, 둘째 $\df 5.NF.A.1 샹탈이 만나기까지 걸린 총 시간 = 세 구간 시간의 합. 공통분모 $12$: $\dfrac{d}{4} = \dfrac{3d}{12},\;\dfr 6.RP.A.3 장은 같은 시간 $T = \dfrac{13d}{12}$에 거리 $d$를 이동. 평균 속력은 $\dfrac{d}{T} = d \cdot \dfra 4.NF.A.2 선택지와 대조: $\dfrac{12}{13}$ 은 (A). 검토
합리성 확인: 크기 검산. 같은 시간 동안 샹탈은 $3d$, 장은 $d$ 이동 — 장의 평균 속력은 샹탈 평균 속력의 $\dfrac{1}{3}$. 샹탈 평균 속력 $\dfrac{3d}{13d/12} = \dfrac{36}{13}$ mph, 그 $\dfrac{1}{3}$은 $\dfrac{12}{13}$ mph — 일치. 답이 시속 $1$마일 미만이라는 점도 무거운 배낭을 멘 장의 상황과 잘 어울림.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 편한 수를 대입. $d = 12$마일이라 두면 샹탈의 세 구간 시간 $3,\,6,\,4$시간, 합 $13$시간. 장은 $12$마일을 $13$시간에 — 평균 $\dfrac{12}{13}$ mph로 바로 (A). 숫자 대입이 분수 계산 실수도 줄여 더 빠를 때가 많음.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 풀기 (각 구간을 비율 문제로 다루고 장의 평균 속력을 구함.)6.RP.A.2단위율 개념과 비율 언어 이해 (속력에서 $t = d / r$ 로 구간별 시간 계산.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\frac{d}{4} + \frac{d}{2} + \frac{d}{3}$ 를 공통분모 $12$ 로 더함.)4.NF.A.2분자·분모가 다른 두 분수의 크기 비교 (다섯 보기 중 $\frac{12}{13}$ 을 찾아 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 추론만 알면 풀 수 있어요 — 샹탈의 세 구간마다 시간 = 거리 / 속력을 구하고, 공통분모 $12$ 로 더해 $\frac{13d}{12}$ 시간을 얻은 다음, 장의 속력 $\frac{d}{13d/12} = \frac{12}{13}$ mph.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 추론만 알면 풀 수 있어요 — 샹탈의 세 구간마다 시간 = 거리 / 속력을 구하고, 공통분모 $12$ 로 더해 $\frac{13d}{12}$ 시간을 얻은 다음, 장의 속력 $\frac{d}{13d/12} = \frac{12}{13}$ mph.