AMC 10 · 2021 · #8

학년 8 arithmetic

fraction-decimal-conversiondigit-decompositionlinear-equations-one-var convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal,
$\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$
where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ times $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Later he found that his answer is $0.5$ less than the correct answer. What is the $2$ -digit number $\underline{a} \ \underline{b}?$

$\textbf{(A) }15 \qquad \textbf{(B) }30 \qquad \textbf{(C) }45 \qquad \textbf{(D) }60 \qquad \textbf{(E) }75$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 학생이 $66$ 에 순환소수 $1.\overline{ab}$ (자리수 $a, b$)를 곱해야 했는데, 윗줄 표시를 놓치고 그냥 유한소수 $1.ab$ (소수점 아래 두 자리)에 곱했습니다. 그 결과가 올바른 답보다 $0.5$ 작았다고 합니다. 두 자리 수 $\overline{ab}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 올바른 승수: $1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots$; 학생이 쓴 승수: $1.ab$ (소수 두 자리); 두 승수 모두 $66$ 에 곱함; 올바른 결과 $-$ 잘못된 결과 $= 0.5$; 선택지: (A) $15$, (B) $30$, (C) $45$, (D) $60$, (E) $75$

구하는 것: 두 자리 수 $\overline{ab}$ — $N$ 으로 표기 ($0 \le N \le 99$)

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #11 거꾸로 풀기

후보는 $\{15, 30, 45, 60, 75\}$ 다섯 개뿐 — 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 값을 두 소수 차에 넣어 $66$ 을 곱한 결과가 $0.5$ 인지 검사. 도구 #3(가능성 지우기)으로 $0.5$ 가 아닌 후보 탈락. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 다섯을 다 거치지 않고 한 단계에 답을 만드는 검증 경로 — 필요한 차 $\dfrac{0.5}{66} = \dfrac{1}{132}$ 에서 $N$ 을 역산.

실행 — 정답: E

#11 거꾸로 풀기 8.NS.A.1 단계 1

두 소수를 두 자리 수 $N = 10a + b$ 의 분수로 표현.
유한 $1.ab = 1 + \dfrac{N}{100}$ (소수 두 자리 $\Rightarrow$ 분모 $100$).
순환 $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{N}{99}$ (두 자리 블록 순환 $\Rightarrow$ 분모 $10^2 - 1 = 99$).

$$1.ab = 1 + \dfrac{N}{100},\qquad 1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{N}{99}$$

💡 두 자리 유한 $\Rightarrow$ /$100$, 두 자리 순환 $\Rightarrow$ /$99$ — 8학년 변환 공식.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 2

두 승수의 차.
정수부 $1$ 은 소거.
공통분모 $9900$.

$$1.\overline{ab} - 1.ab = \dfrac{N}{99} - \dfrac{N}{100} = \dfrac{100N - 99N}{9900} = \dfrac{N}{9900}$$

💡 두 분수의 차는 정확히 $\dfrac{N}{9900}$ — 놓친 순환 부분이 그만큼 작음.

#11 거꾸로 풀기 6.NS.B.3 단계 3

$66$ 을 차에 곱해 두 결과의 차로 변환.
$\dfrac{66}{9900} = \dfrac{1}{150}$.

$$66 \cdot \dfrac{N}{9900} = \dfrac{66 N}{9900} = \dfrac{N}{150}$$

💡 $9900 = 150 \times 66$ 이므로 $66/9900$ 이 $1/150$ 로 약분됨.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 4

이 차가 $0.5$ 라고 주어졌으니 $N$ 에 대해 풂.

$$\dfrac{N}{150} = 0.5\;\Rightarrow\;N = 150 \cdot 0.5 = 75$$

💡 거꾸로 — 양변에 $150$ 곱.

#6 추측하고 확인하기 7.NS.A.3 단계 5

도구 #6 으로 검산.
$N = 75$ 대입.
올바른 값: $66 \cdot 1.\overline{75} = 66 \cdot \dfrac{174}{99} = \dfrac{11484}{99}$.
잘못된 값: $66 \cdot 1.75 = 115.5$.
차: $\dfrac{11484}{99} - 115.5 = \dfrac{11484 - 11434.5}{99} = \dfrac{49.5}{99} = 0.5$ ✓.

$$66 \cdot 1.\overline{75} - 66 \cdot 1.75 = 0.5\;\checkmark$$

💡 후보를 다시 원문장에 넣어 정확히 $0.5$ 가 나오는지 확인.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$N = 75$ 는 (E).

$$N = 75\;\Rightarrow\;\textbf{(E)}$$

💡 두 자리 답을 다섯 보기에서 찾기.

[1] #11 8.NS.A.1 두 소수를 두 자리 수 $N = 10a + b$ 의 분수로 표현. 유한 $1.ab = 1 + \dfrac{N}{100}$ (소수 두 자리 $\R

[2] #11 5.NF.A.1 두 승수의 차. 정수부 $1$ 은 소거. 공통분모 $9900$.

[3] #11 6.NS.B.3 $66$ 을 차에 곱해 두 결과의 차로 변환. $\dfrac{66}{9900} = \dfrac{1}{150}$.

[4] #11 6.EE.B.7 이 차가 $0.5$ 라고 주어졌으니 $N$ 에 대해 풂.

[5] #6 7.NS.A.3 도구 #6 으로 검산. $N = 75$ 대입. 올바른 값: $66 \cdot 1.\overline{75} = 66 \cdot \dfrac{174

[6] #3 4.NBT.A.2 $N = 75$ 는 (E).

검토

합리성 확인: 각 보기마다 차 $\dfrac{N}{150}$ 을 계산: $15 \to 0.1,\;30 \to 0.2,\;45 \to 0.3,\;60 \to 0.4,\;75 \to 0.5$. $0.5$ 를 만드는 유일한 값은 $75$. 다른 네 보기는 모두 작은 값으로 탈락. 크기 감각도 합리적 — $1$ 근처의 승수에서 두 자리 순환 부분을 놓치면 결과 차가 $0.5$ 정도가 충분히 가능.

대안 접근: 도구 #6(순수 추측·확인)으로 각 보기를 그대로 대입해 차를 비교. 다섯 후보의 차가 $0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5$ 로 정확히 등차수열이라 (E)만 통과. 거꾸로 풀이보다 덜 깔끔하지만 분수 계산 없이도 정답을 골라낼 수 있음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.NS.A.1 유리수가 아닌 수를 무리수라 부른다는 것을 알기 (순환소수 ↔ 분수 변환 포함) (순환소수 $1.\overline{ab}$ 를 분수 $1 + \frac{N}{99}$ 로 변환 — 8학년 표준 변환.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (차 $\frac{N}{99} - \frac{N}{100}$ 을 공통분모 $9900$ 로 계산.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수의 사칙연산을 능숙히 하기 ($\frac{66}{9900}$ 을 $\frac{1}{150}$ 로 약분, $0.5$ 와의 연산.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 ($\frac{N}{150} = 0.5$ 를 $N$ 에 대해 풀기.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산으로 실생활 문제 풀기 ($66 \cdot 1.\overline{75} - 66 \cdot 1.75 = 0.5$ 검산.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $75$ 를 (E) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 순환소수-분수 변환만 알면 풀 수 있어요 — $1.\overline{ab} = 1 + \frac{N}{99}$, $1.ab = 1 + \frac{N}{100}$ 으로 두면 차가 $\frac{N}{9900}$, $66$ 을 곱해 $\frac{N}{150} = 0.5$ 가 되어 $N = 75$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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