AMC 10 · 2021 · #1

학년 7 arithmetic

absolute-valuesystematic-enumerationestimationinterval-arithmetic systematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many integer values of $x$ satisfy $|x|<3\pi$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

~10

(C)

~18

(D)

~19

(E)

~20

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수직선에서 $0$ 까지의 거리가 $3\pi$ 보다 작은 정수 $x$ 의 개수를 구합니다.

주어진 것: $|x| < 3\pi$, 단 $\pi \approx 3.14159$; $x$ 는 정수; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $18$, (D) $19$, (E) $20$

구하는 것: 조건을 만족하는 정수 $x$ 의 개수

이해

문제 재정리: 수직선에서 $0$ 까지의 거리가 $3\pi$ 보다 작은 정수 $x$ 의 개수를 구합니다.

주어진 것: $|x| < 3\pi$, 단 $\pi \approx 3.14159$; $x$ 는 정수; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $18$, (D) $19$, (E) $20$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기)이 잘 맞음 — 수직선에 $-3\pi$ 와 $3\pi$ 를 끝으로 놓고 그 안에 정수 눈금을 표시합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열)는 경계 정수가 정해진 뒤 개수 세기. 도구 #3(가능성 지우기)은 검증용 — $0$ 을 중심으로 대칭인 정수의 개수는 항상 홀수(양수 + 음수 + $0$)이므로 (C) $18$ 과 (E) $20$ 은 바로 지울 수 있고, (A) $9$, (B) $10$, (D) $19$ 만 남습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.NS.A.1 단계 1

절댓값 부등식을 범위로 바꾸기.
$|x| < 3\pi$ 는 $x$ 가 $0$ 으로부터 $3\pi$ 이내라는 뜻이므로 $-3\pi < x < 3\pi$.

$$|x| < 3\pi \;\Longleftrightarrow\; -3\pi < x < 3\pi$$

💡 절댓값은 $0$ 으로부터의 거리 — 7학년 "수직선 위 유리수 거리".

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

$3\pi$ 를 어림해서 경계 정수를 찾기.
$\pi \approx 3.14$ 이므로 $3\pi \approx 9.42$.
즉 $-9.42$ 와 $9.42$ 사이의 정수를 찾으면 됩니다.

$$3\pi \approx 3 \times 3.14 = 9.42$$

💡 $\pi \approx 3.14$ 는 7학년 원 공식 표준 — 여기선 크기 어림용.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.7 단계 3

$-9.42$ 와 $9.42$ 사이의 정수를 빠짐없이 나열.
가장 큰 정수는 $9$ ($9 < 9.42$, $10 > 9.42$), 가장 작은 정수는 $-9$.
순서대로 적으면 $-9, -8, \dots, 0, \dots, 8, 9$.

$$\{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

💡 정수를 수직선 위에 순서대로 — 6학년 표준.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 4

나열한 정수의 개수 세기.
음수 $9$ 개, 양수 $9$ 개, $0$ 한 개 — 총 $9 + 9 + 1 = 19$.
선택지 (D).

$$9 + 9 + 1 = 19 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 작은 수 세 개 덧셈 — 4학년 표준 알고리즘.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 5

가능성 지우기로 검증.
$0$ 을 중심으로 대칭인 범위는 정수 개수가 항상 홀수(쌍 + 가운데 $0$)이므로 (C) $18$ 과 (E) $20$ 은 불가능.
적당한 크기의 홀수는 $19$ — (D) 확정.

$$\text{개수가 홀수} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 홀짝 패턴 — 4학년 "수 패턴 만들고 분석하기".

[1] #1 7.NS.A.1 절댓값 부등식을 범위로 바꾸기. $|x| < 3\pi$ 는 $x$ 가 $0$ 으로부터 $3\pi$ 이내라는 뜻이므로 $-3\pi < x < 3\

[2] #1 7.G.B.4 $3\pi$ 를 어림해서 경계 정수를 찾기. $\pi \approx 3.14$ 이므로 $3\pi \approx 9.42$. 즉 $-9.42$ 와

[3] #2 6.NS.C.7 $-9.42$ 와 $9.42$ 사이의 정수를 빠짐없이 나열. 가장 큰 정수는 $9$ ($9 < 9.42$, $10 > 9.42$), 가장 작은

[4] #2 4.NBT.B.4 나열한 정수의 개수 세기. 음수 $9$ 개, 양수 $9$ 개, $0$ 한 개 — 총 $9 + 9 + 1 = 19$. 선택지 (D).

[5] #3 4.OA.C.5 가능성 지우기로 검증. $0$ 을 중심으로 대칭인 범위는 정수 개수가 항상 홀수(쌍 + 가운데 $0$)이므로 (C) $18$ 과 (E) $20$

검토

합리성 확인: $3\pi \approx 9.42$ 이므로 $(-9.42, 9.42)$ 범위는 $-9$ 부터 $9$ 까지 포함하고 $-10, 10$ 은 제외 — 개수 $19$ 가 (C) $18$ 과 (E) $20$ 사이의 홀수로 정확히 들어맞음.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — $-3\pi < x < 3\pi$ 를 직접 풀어 바닥/천장 정수로 $-9 \le x \le 9$, 공식 $9 - (-9) + 1 = 19$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($0$ 대칭 정수 개수가 홀수임을 알아내 (C), (E) 를 지우는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (마지막에 $9 + 9 + 1 = 19$ 를 계산하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 ($-9.42$ 와 $9.42$ 사이 정수를 순서대로 나열하는 데 사용.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈·뺄셈 이해 확장 ($|x| < 3\pi$ 를 $0$ 으로부터의 거리로 읽어 $-3\pi < x < 3\pi$ 로 다시 쓰는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($\pi \approx 3.14$ 로 $3\pi \approx 9.42$ 를 어림하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "절댓값은 $0$ 으로부터의 거리" 와 $\pi \approx 3.14$ 만 알면 풀 수 있어요 — 수직선에서 $-9.42$ 부터 $9.42$ 까지 정수를 나열하고 세면 $19$ 개!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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