AMC 10 · 2021 · #10

학년 8 geometry-3d

volume-conevolume-cylinderformula-substitutionfraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-cylindervolume-cone

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

An inverted cone with base radius $12 \mathrm{cm}$ and height $18 \mathrm{cm}$ is full of water. The water is poured into a tall cylinder whose horizontal base has radius of $24 \mathrm{cm}$ . What is the height in centimeters of the water in the cylinder?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~1.5

(B)

(C)

(D)

~4.5

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 꼭짓점이 아래로 향한 원뿔(밑면 반지름 $12$ cm, 높이 $18$ cm)이 물로 가득 차 있습니다. 물 전체를 밑면 반지름 $24$ cm 인 키 큰 원기둥에 부었을 때, 원기둥 안 물의 높이(cm)를 구하세요.

주어진 것: 원뿔 반지름 $r_c = 12$ cm, 높이 $h_c = 18$ cm — 물 가득; 원기둥 반지름 $r_y = 24$ cm — 원뿔 반지름의 $2$ 배; 물 보존: 원뿔 물 부피 $=$ 원기둥 물 부피; 원뿔 부피 공식 $V_c = \tfrac{1}{3}\pi r_c^2 h_c$; 원기둥 부피 공식 $V_y = \pi r_y^2 h_y$; 선택지: (A) $1.5$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $4.5$, (E) $6$

구하는 것: 원기둥 안 물의 높이 $h_y$ (cm)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (a) 원뿔 물 부피 (b) 원기둥 밑면 넓이 (c) 부피 $=$ 밑면 $\times$ 높이 풀이 — 세 단계로 분리. 도구 #8(단위 살펴보기): cm$^3$ $\div$ cm$^2$ $=$ cm — 답이 길이임을 확인. 도구 #9(더 쉬운 문제로): 원기둥 반지름이 정확히 원뿔의 $2$ 배 — 밑면 넓이는 $4$ 배. 만약 반지름이 같다면 원뿔 높이의 $\tfrac{1}{3}$ 이 답($6$ cm), 반지름 $2$ 배 → 밑면 $4$ 배 → 높이 $\tfrac{1}{4}$ → 최종 $\tfrac{6}{4} = 1.5$ cm. 도구 #3(가능성 지우기): $h_c / 3 = 6$ 미만의 답만 물리적으로 타당.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.C.9 단계 1

원뿔 부피 공식 $V_c = \tfrac{1}{3}\pi r_c^2 h_c$ 에 $r_c = 12$, $h_c = 18$ 대입.

$$V_c = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 18 = \pi \cdot 144 \cdot 6 = 864 \pi \;\text{cm}^3$$

💡 8학년 원뿔 부피 — 같은 밑면·높이 원기둥의 $\tfrac{1}{3}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

원기둥 밑면 넓이 $\pi r_y^2 = \pi (24)^2 = 576 \pi$ cm$^2$.
원뿔 밑면 $\pi \cdot 12^2 = 144\pi$ 의 $4$ 배 — 반지름 $2$ 배 $\Rightarrow$ 넓이 $4$ 배.

$$\pi r_y^2 = \pi \cdot 576 = 576 \pi \;\text{cm}^2$$

💡 7학년 원 넓이 — 반지름 $2$ 배면 넓이 $4$ 배.

#8 단위 살펴보기 6.EE.B.7 단계 3

물 보존: $V_c = V_y = \pi r_y^2 \cdot h_y$.
대입: $864\pi = 576\pi \cdot h_y$.
양변을 $576\pi$ 로 나눠 $h_y$ 풀이.

$$h_y = \dfrac{864 \pi}{576 \pi} = \dfrac{864}{576}$$

💡 6학년 방정식 — $\pi$ 소거, 단위 cm$^3$ ÷ cm$^2$ $=$ cm.

#8 단위 살펴보기 5.NF.B.3 단계 4

$\dfrac{864}{576}$ 약분.
분자·분모를 $288$ 로 나눔: $\dfrac{864}{576} = \dfrac{3}{2} = 1.5$ cm.

$$h_y = \dfrac{864}{576} = \dfrac{3}{2} = 1.5 \;\text{cm}$$

💡 5학년 분수 — $864 \div 288 = 3$, $576 \div 288 = 2$, 몫은 $\tfrac{3}{2}$.

#3 가능성 지우기 5.NBT.A.3 단계 5

$1.5$ 를 선택지와 매칭: (A).

$$h_y = 1.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 5학년 소수 — $1.5$ 가 정확히 (A).

[1] #7 8.G.C.9 원뿔 부피 공식 $V_c = \tfrac{1}{3}\pi r_c^2 h_c$ 에 $r_c = 12$, $h_c = 18$ 대입.

[2] #7 7.G.B.4 원기둥 밑면 넓이 $\pi r_y^2 = \pi (24)^2 = 576 \pi$ cm$^2$. 원뿔 밑면 $\pi \cdot 12^2 = 144

[3] #8 6.EE.B.7 물 보존: $V_c = V_y = \pi r_y^2 \cdot h_y$. 대입: $864\pi = 576\pi \cdot h_y$. 양변을 $5

[4] #8 5.NF.B.3 $\dfrac{864}{576}$ 약분. 분자·분모를 $288$ 로 나눔: $\dfrac{864}{576} = \dfrac{3}{2} = 1.5

[5] #3 5.NBT.A.3 $1.5$ 를 선택지와 매칭: (A).

검토

합리성 확인: 도구 #9(더 쉬운 문제로) 검산. 만약 원기둥 반지름이 원뿔과 같은 $12$ 라면 같은 물이 높이 $\tfrac{1}{3} \cdot 18 = 6$ cm 를 채움 (원뿔 = 같은 밑면·높이 원기둥의 $\tfrac{1}{3}$). 반지름 $2$ 배 $\Rightarrow$ 밑면 $4$ 배 $\Rightarrow$ 높이 $\tfrac{6}{4} = 1.5$ cm. 답 일치, (A) 확정. 또한 $1.5 \ll 18$ 은 좁은 원뿔의 물을 넓은 원기둥에 부었으니 얕게 깔리는 직관과 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 원뿔 물 부피 $864\pi$ cm$^3$. 각 선택지 $h_y$ 마다 원기둥 물 부피 $576\pi \cdot h_y$ 가 $864\pi$ 와 같은지 확인. (A) $1.5 \to 864$ ✓, (B) $3 \to 1728$, (C) $4 \to 2304$, ... (A) 만 통과.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.C.9 원뿔·원기둥·구의 부피 공식 알기 ($\tfrac{1}{3} \pi r^2 h = 864 \pi$ cm$^3$ 로 원뿔 물 부피 계산.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($\pi r^2 = 576 \pi$ cm$^2$ 로 원기둥 밑면 넓이 계산.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 ($576 \pi \cdot h_y = 864 \pi$ 를 $h_y$ 에 대해 풀이.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석하기 ($\tfrac{864}{576}$ 를 $\tfrac{3}{2}$ 로 약분.)
5.NBT.A.3 천분의 일까지 소수를 읽고 쓰고 비교하기 ($\tfrac{3}{2} = 1.5$ 를 (A) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 원뿔 부피 공식 $\tfrac{1}{3}\pi r^2 h$ 만 알면 풀 수 있어요 — 원뿔이 담은 물은 $864\pi$ cm$^3$, 넓은 원기둥 밑면이 $576\pi$ cm$^2$ 라서 물 높이는 $864/576 = 1.5$ cm, 답 (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기