AMC 10 · 2021 · #11

학년 6 geometry-2d

simons-favorite-factoring-trickfactorsarea-rectanglesoptimization-counting convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Grandma has just finished baking a large rectangular pan of brownies. She is planning to make rectangular pieces of equal size and shape, with straight cuts parallel to the sides of the pan. Each cut must be made entirely across the pan. Grandma wants to make the same number of interior pieces as pieces along the perimeter of the pan. What is the greatest possible number of brownies she can produce?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~24

(B)

~30

(C)

~48

(D)

~60

(E)

~64

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 할머니가 직사각형 브라우니 팬을 양 변에 평행한 직선 자름으로 똑같은 크기의 직사각형 조각으로 나눕니다. 한 변에 $m$ 조각, 다른 변에 $n$ 조각이 늘어서면 팬은 $m \times n$ 격자가 됩니다. 가장자리 조각 수와 내부 조각 수가 같게 하려면, 전체 조각 수 $mn$ 의 최댓값은 얼마인가요?

주어진 것: 자름은 변과 평행 → 조각은 $m \times n$ 격자; 내부 조각은 $(m-2) \times (n-2)$ 격자 ($m \ge 3, n \ge 3$); 둘레 조각 수 = 내부 조각 수; 선택지: $24, 30, 48, 60, 64$

구하는 것: $mn$ (전체 조각 수)의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기, #13 대수로 바꾸기

도구 #1(그림): $m \times n$ 격자를 그리고 안쪽 $(m-2) \times (n-2)$ 블록을 색칠. 그림에서 조건이 $(m-2)(n-2) = 2(m+n) - 4$ 로 정리됨. 도구 #13(대수)으로 식을 $(m-4)(n-4) = 8$ 로 깔끔하게 변형. 도구 #2(나열)으로 $8$ 의 양의 인수쌍을 모두 적어 $(m, n)$ 후보를 찾고, 도구 #3(가능성 지우기)로 $mn$ 이 최대인 것을 골라 선택지와 매칭.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

팬을 $m \times n$ 단위 격자로 그립니다.
바깥 둘레에 닿는 조각이 둘레 조각, 안쪽 $(m-2) \times (n-2)$ 블록이 내부 조각.
내부 수 $= (m-2)(n-2)$, 전체 수 $= mn$, 둘레 수 $= mn - (m-2)(n-2)$.

$$\text{내부} = (m-2)(n-2), \quad \text{둘레} = mn - (m-2)(n-2)$$

💡 3학년 넓이=직사각형 배열: 안쪽 직사각형의 넓이가 곧 내부 조각 수.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 2

둘레 = 내부 조건을 식으로: $mn - (m-2)(n-2) = (m-2)(n-2)$.
따라서 $mn = 2(m-2)(n-2)$.
오른쪽을 전개하면 $2(m-2)(n-2) = 2mn - 4m - 4n + 8$.
다시 대입: $mn = 2mn - 4m - 4n + 8$.

$$mn = 2(m-2)(n-2) = 2mn - 4m - 4n + 8$$

💡 6학년 동치식: 전개하면 정리가 쉬워짐.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.4 단계 3

모두 한쪽으로 옮기면 $0 = mn - 4m - 4n + 8$, 즉 $mn - 4m - 4n = -8$.
양변에 $16$ 을 더하면 인수분해 가능: $mn - 4m - 4n + 16 = 8$, 즉 $(m-4)(n-4) = 8$.

$$(m-4)(n-4) = 8$$

💡 6학년 동치식: $+16$ 한 번으로 어수선한 식이 곱 모양으로.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

$8$ 의 양의 정수 인수쌍을 나열($m, n \ge 3$ 조건에서 $m-4, n-4$ 가 음수나 $0$ 인 경우는 식을 만족하지 못함을 확인하면 양의 쌍만 남음): $(1,8), (2,4), (4,2), (8,1)$.

$$(m-4, n-4) \in \{(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)\}$$

💡 4학년 인수쌍: $8$ 을 두 자연수 곱으로 쪼개는 모든 방법.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 5

$(m, n)$ 을 복원하면 $(5, 12), (6, 8), (8, 6), (12, 5)$.
순서를 무시하면 팬은 $5 \times 12$ 와 $6 \times 8$ 두 종류.
전체 조각 수는 $5 \cdot 12 = 60$ 과 $6 \cdot 8 = 48$.

$$(m, n) = (5,12) \Rightarrow mn = 60; \quad (m,n) = (6,8) \Rightarrow mn = 48$$

💡 3학년 곱셈 사실로 각 쌍의 전체 조각 수 계산.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 6

둘 중 더 큰 값: $60 > 48$.
$5 \times 12$ 팬 검산: 내부 $= 3 \cdot 10 = 30$, 둘레 $= 60 - 30 = 30$.
일치하므로 유효.
정답은 (D).

$$\max(mn) = 60 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 4학년 다단계 문제: 후보를 비교해 선택지와 매칭.

[1] #1 3.MD.C.7 팬을 $m \times n$ 단위 격자로 그립니다. 바깥 둘레에 닿는 조각이 둘레 조각, 안쪽 $(m-2) \times (n-2)$ 블록이 내부

[2] #13 6.EE.A.3 둘레 = 내부 조건을 식으로: $mn - (m-2)(n-2) = (m-2)(n-2)$. 따라서 $mn = 2(m-2)(n-2)$. 오른쪽을 전개

[3] #13 6.EE.A.4 모두 한쪽으로 옮기면 $0 = mn - 4m - 4n + 8$, 즉 $mn - 4m - 4n = -8$. 양변에 $16$ 을 더하면 인수분해 가

[4] #2 4.OA.B.4 $8$ 의 양의 정수 인수쌍을 나열($m, n \ge 3$ 조건에서 $m-4, n-4$ 가 음수나 $0$ 인 경우는 식을 만족하지 못함을 확인하

[5] #2 3.OA.C.7 $(m, n)$ 을 복원하면 $(5, 12), (6, 8), (8, 6), (12, 5)$. 순서를 무시하면 팬은 $5 \times 12$ 와

[6] #3 4.OA.A.3 둘 중 더 큰 값: $60 > 48$. $5 \times 12$ 팬 검산: 내부 $= 3 \cdot 10 = 30$, 둘레 $= 60 - 30

검토

합리성 확인: $5 \times 12$ 팬 직접 검산. 전체 $60$ 조각. 가장자리: 위 $12$ + 아래 $12$ + 왼쪽(모서리 제외) $3$ + 오른쪽(모서리 제외) $3$ = $30$. 내부: $3 \cdot 10 = 30$. 정확히 일치 — 조건 충족. 그리고 $60 > 6 \cdot 8 = 48$ 이므로 유효한 팬 중 최댓값. 실제 브라우니 팬 크기로도 자연스럽고, 답 (D) 와 일치.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) + 도구 #6(추측·확인)으로 선택지에 직접 적용. 각 후보 $T$ 마다 $T = mn$ 인 정수 분해를 찾고 $(m-2)(n-2) = T/2$ 인지 확인. $T = 64$: $(m-2)(n-2) = 32$ 필요한데 $8 \times 8$ 은 $36 \ne 32$ 실패. $T = 60$: $5 \times 12$ 에서 $3 \cdot 10 = 30 = 60/2$ 성공. (D) 만 살아남음.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (내부 조각 수를 안쪽 직사각형 넓이 $(m-2)(n-2)$ 로 세기.)
3.OA.C.7 100 안에서 능숙하게 곱셈·나눗셈 ($5 \cdot 12 = 60$, $6 \cdot 8 = 48$ 등 각 팬의 전체 조각 수 계산.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장 문제 풀기 (두 후보 전체 수를 비교해 최댓값을 선택지와 매칭.)
4.OA.B.4 인수쌍을 모두 찾고 배수·소수·합성수 판정 ($(m-4)(n-4) = 8$ 의 양의 인수쌍을 모두 나열.)
6.EE.A.3 연산 성질로 동치식 만들기 ($2(m-2)(n-2)$ 를 전개해 등식을 정리.)
6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판단 ($mn - 4m - 4n + 16$ 을 $(m-4)(n-4)$ 로 묶기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 동치식 변형만 알면 풀 수 있어요! $m \times n$ 팬에서 '내부 = 둘레' 조건은 $(m-2)(n-2) = mn - (m-2)(n-2)$. 양변에 $16$ 을 더하는 트릭으로 $(m-4)(n-4) = 8$. $8$ 의 인수쌍에서 팬은 $5 \times 12$ 와 $6 \times 8$, 최대 조각 수 $5 \cdot 12 = 60$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기