AMC 10 · 2021 · #12

학년 6 rate-ratio

prime-factorizationdivisor-sumdivisor-countratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ . What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~1 : 16

(B)

~1 : 15

(C)

~1 : 14

(D)

~1 : 8

(E)

~1 : 3

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ 일 때, (홀수 약수의 합) $:$ (짝수 약수의 합) 의 비를 구하세요.

주어진 것: $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$; 선택지: $1:16,\; 1:15,\; 1:14,\; 1:8,\; 1:3$

구하는 것: $N$ 의 (홀수 약수의 합) : (짝수 약수의 합)

이해

문제 재정리: $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$ 일 때, (홀수 약수의 합) $:$ (짝수 약수의 합) 의 비를 구하세요.

주어진 것: $N = 34 \cdot 34 \cdot 63 \cdot 270$; 선택지: $1:16,\; 1:15,\; 1:14,\; 1:8,\; 1:3$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): (a) $N$ 의 소인수분해로 $2$ 의 지수를 알아내고, (b) 홀수 약수만의 합을 묶고, (c) 전체-홀수 = 짝수 합으로 정리. 도구 #9(쉬운 문제)로 작은 예 $N = 2^3 \cdot 3 = 24$ 에서 약수를 직접 적어 구조 확인. 도구 #5(패턴): 모든 약수는 ($2$ 의 거듭제곱) $\times$ (홀수 약수) 이므로 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 $(2 + 4 + 8) = 14$ 배. 도구 #3으로 (C) 선택.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

$N$ 의 각 인수를 소인수분해.
$34 = 2 \cdot 17 \Rightarrow 34 \cdot 34 = 2^2 \cdot 17^2$.
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.
$270 = 27 \cdot 10 = 3^3 \cdot 2 \cdot 5$.
같은 소수끼리 묶기.

$$N = (2^2 \cdot 17^2)(3^2 \cdot 7)(2 \cdot 3^3 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17^2$$

💡 6학년 소인수분해: 각 수를 소수의 곱으로 쪼개 합치기.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 2

핵심 아이디어를 작은 예로 검증.
$M = 2^3 \cdot 3 = 24$.
$24$ 의 약수: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
홀수 약수: $1, 3$, 합 $= 4$.
짝수 약수: $2, 4, 6, 8, 12, 24$, 합 $= 56$.
비 $4 : 56 = 1 : 14$.
$14 = 2 + 4 + 8$ — 모든 짝수 약수는 (홀수 약수) $\times$ ($2, 4, 8$ 중 하나).

$$\text{sum even}(24) = (2+4+8)(1+3) = 14 \cdot 4 = 56$$

💡 4학년 약수: 작은 예에서 구조를 먼저 확인.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.3 단계 3

일반화.
$S_{odd}$ 를 $N$ 의 홀수 약수 합이라 하자.
$N$ 의 모든 약수 = ($2^0$ 부터 $2^3$ 까지의 거듭제곱) $\times$ (홀수 약수).
그래서 전체 약수의 합 $\sigma(N) = (1 + 2 + 4 + 8) \, S_{odd} = 15 \, S_{odd}$.
짝수 부분은 $2^0 = 1$ 만 빠지므로 짝수 약수의 합 $= (2 + 4 + 8) \, S_{odd} = 14 \, S_{odd}$.

$$S_{even} = (2 + 4 + 8) \, S_{odd} = 14 \, S_{odd}$$

💡 6학년 분배법칙: 모든 약수에서 ($2$ 의 거듭제곱)을 묶어내기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 4

비 만들기.
$S_{odd} : S_{even} = S_{odd} : 14 \, S_{odd} = 1 : 14$.
$3, 5, 7, 17$ 인수에 달린 $S_{odd}$ 의 구체적 값은 비에서 약분돼 사라짐.

$$\dfrac{S_{odd}}{S_{even}} = \dfrac{1}{14}$$

💡 6학년 비: 미지수 $S_{odd}$ 가 약분되어 깔끔한 비만 남음.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

선택지 매칭: $1 : 14$ = (C).
나머지($1:16, 1:15, 1:8, 1:3$)는 짝수 합에 $2^0$ 을 포함하거나 $N$ 의 $2$ 의 지수를 다르게 셈했을 때 나오는 오답.

$$1 : 14 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 6학년 비 매칭: $1 : 14$ 와 같은 보기를 고름.

[1] #7 6.NS.B.4 $N$ 의 각 인수를 소인수분해. $34 = 2 \cdot 17 \Rightarrow 34 \cdot 34 = 2^2 \cdot 17^2$. $

[2] #9 4.OA.B.4 핵심 아이디어를 작은 예로 검증. $M = 2^3 \cdot 3 = 24$. $24$ 의 약수: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

[3] #5 6.EE.A.3 일반화. $S_{odd}$ 를 $N$ 의 홀수 약수 합이라 하자. $N$ 의 모든 약수 = ($2^0$ 부터 $2^3$ 까지의 거듭제곱) $\t

[4] #7 6.RP.A.1 비 만들기. $S_{odd} : S_{even} = S_{odd} : 14 \, S_{odd} = 1 : 14$. $3, 5, 7, 17$ 인수

[5] #3 6.RP.A.3 선택지 매칭: $1 : 14$ = (C). 나머지($1:16, 1:15, 1:8, 1:3$)는 짝수 합에 $2^0$ 을 포함하거나 $N$ 의 $

검토

합리성 확인: $2$ 의 지수 검산: $34 \cdot 34$ 에서 $2^2$, $270$ 에서 $2^1$ → 합쳐 $2^3$. 약수합 공식 $\sigma(2^3) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 1 + 14$ — 홀수 부분 $1$ 과 짝수 부분 $14$ 가 정확히 분리. 비 $1 : 14$ 는 $2^3 \cdot (\text{홀수})$ 형태의 어떤 수에도 그대로 — $N$ 의 $2$ 의 지수만이 이 비를 결정한다는 사실과 일치.

대안 접근: 도구 #13(대수)으로 약수합 공식. $\sigma(N) = \sigma(2^3) \cdot \sigma(3^5) \cdot \sigma(5) \cdot \sigma(7) \cdot \sigma(17^2)$. 홀수 약수 합은 $\sigma(2^3)$ 만 뺀 것이므로 $S_{odd} = \sigma(N)/15$. 그러면 $S_{even} = \sigma(N) - S_{odd} = \sigma(N)(1 - 1/15) = 14 \sigma(N)/15 = 14 \, S_{odd}$. 같은 비 $1 : 14$, (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 인수쌍을 모두 찾고 배수·소수·합성수 판정 (검증용 작은 예 $M = 24$ 의 모든 약수를 나열.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 ($34, 63, 270$ 을 소인수분해해 $N = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17^2$ 로 정리.)
6.EE.A.3 연산 성질로 동치식 만들기 (모든 약수에서 ($2$ 의 거듭제곱)을 묶어내 $S_{even} = (2+4+8) S_{odd}$ 형태로 표현.)
6.RP.A.1 비의 개념과 비 언어 사용하기 ($S_{odd} : S_{even}$ 를 만들고 간단히 정리.)
6.RP.A.3 비·비율 추론으로 실생활·수학 문제 풀기 (간단해진 $1 : 14$ 를 선택지와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 비의 감각만 알면 풀 수 있어요! 소인수분해로 $N = 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17^2$ — 비는 $2^3$ 부분만이 결정. 모든 짝수 약수 = $(2, 4, 8$ 중 하나$) \times ($홀수 약수$)$ 이므로, 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 $(2+4+8) = 14$ 배. 비 $1 : 14$, 답 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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