AMC 10 · 2021 · #13

학년 6 arithmetic

base-conversionsystems-of-equationsplace-valuepolynomial-roots convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: place-valuesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $n$ be a positive integer and $d$ be a digit such that the value of the numeral $\underline{32d}$ in base $n$ equals $263$ , and the value of the numeral $\underline{324}$ in base $n$ equals the value of the numeral $\underline{11d1}$ in base six. What is $n + d ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~10

(B)

~11

(C)

~13

(D)

~15

(E)

~16

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 밑 $n$ 과 한 자리 숫자 $d$ 가 다음을 만족합니다. (i) $n$ 진법 수 $\overline{32d}$ 가 $10$ 진법 $263$ 과 같음. (ii) $n$ 진법 수 $\overline{324}$ 가 $6$ 진법 수 $\overline{11d1}$ 과 같음. 이때 $n + d$ 를 구하세요.

주어진 것: $\overline{32d}_n = 3 n^2 + 2 n + d = 263$; $\overline{324}_n = 3 n^2 + 2 n + 4$; $\overline{11d1}_6 = 216 + 36 + 6d + 1 = 253 + 6d$; 선택지 ($n + d$): $10, 11, 13, 15, 16$

구하는 것: 밑 $n$ (양의 정수); 숫자 $d$ ($0 \le d \le \min(n, 6) - 1$ 의 한 자리)

이해

주어진 것: $\overline{32d}_n = 3 n^2 + 2 n + d = 263$; $\overline{324}_n = 3 n^2 + 2 n + 4$; $\overline{11d1}_6 = 216 + 36 + 6d + 1 = 253 + 6d$; 선택지 ($n + d$): $10, 11, 13, 15, 16$

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #13(대수): 각 수를 자리값 공식으로 옮김. 도구 #7(쪼개기)로 두 식 $3n^2 + 2n + d = 263$, $3n^2 + 2n + 4 = 253 + 6d$ 를 세움. 두 식의 차로 $3n^2 + 2n$ 을 소거하면 $d$ 만 남는 일차식 → $d = 2$. 도구 #6(추측·확인)으로 작은 밑들을 $3n^2 + 2n = 261$ 에 대입, $n = 9$ 가 첫 시도에서 성공. 도구 #3으로 $n + d = 11$ 을 선택지와 매칭.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.A.1 단계 1

각 수를 자리값으로 전개.
$n$ 진법 $\overline{32d}$ 는 자리값이 $n^2, n^1, n^0$ 이므로 $3n^2 + 2n + d$.
같은 방식으로 $\overline{324}_n = 3n^2 + 2n + 4$.
$6$ 진법 $\overline{11d1}$ 의 자리값은 $6^3, 6^2, 6^1, 6^0$ → $216 + 36 + 6d + 1 = 253 + 6d$.

$$\overline{32d}_n = 3n^2 + 2n + d, \;\; \overline{324}_n = 3n^2 + 2n + 4, \;\; \overline{11d1}_6 = 253 + 6d$$

💡 5학년 자리값: 각 자리 값 = 숫자 × (밑)$^{\text{위치}}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 2

두 조건으로 두 식.
조건 (i): $3n^2 + 2n + d = 263$ — $(E_1)$.
조건 (ii): $3n^2 + 2n + 4 = 253 + 6d$ — $(E_2)$.

$$(E_1):\;\; 3n^2 + 2n + d = 263 \qquad (E_2):\;\; 3n^2 + 2n + 4 = 253 + 6d$$

💡 6학년 미지수 식: 각 자릿값 조건을 식으로 옮김.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 3

$(E_1) - (E_2)$ 로 $3n^2 + 2n$ 을 소거.
$(d) - (4) = 263 - (253 + 6d) = 10 - 6d$.
즉 $d - 4 = 10 - 6d$ → $7d = 14$ → $d = 2$.

$$d - 4 = 10 - 6d \;\Rightarrow\; 7d = 14 \;\Rightarrow\; d = 2$$

💡 6학년 일차방정식: 두 식의 차로 $n$ 이 사라지고 $d$ 만 남음.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 4

$d = 2$ 를 $(E_1)$ 에 대입: $3n^2 + 2n + 2 = 263$ → $3n^2 + 2n = 261$.
작은 밑부터 추측·확인.
$n = 8$: $3(64) + 16 = 208$, 부족.
$n = 9$: $3(81) + 18 = 243 + 18 = 261$ ✓.
$n = 10$ 이면 $320$ 으로 초과.
따라서 $n = 9$.

$$n = 9: \; 3 \cdot 9^2 + 2 \cdot 9 = 243 + 18 = 261 \;\checkmark$$

💡 6학년 값 시도: 후보 밑을 식에 대입해 빠르게 확인.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.A.1 단계 5

두 원래 조건 검산.
(i) $\overline{322}_9 = 3 \cdot 81 + 2 \cdot 9 + 2 = 243 + 18 + 2 = 263 \checkmark$.
(ii) $\overline{324}_9 = 243 + 18 + 4 = 265$, $\overline{1121}_6 = 216 + 36 + 12 + 1 = 265 \checkmark$.
모두 성립.
숫자 조건도 OK: $d = 2 \le 5$ ($6$ 진법 유효), $n = 9$ 이므로 자리 숫자 $0$–$8$ 모두 유효.

$$\overline{322}_9 = 263,\;\; \overline{324}_9 = 265 = \overline{1121}_6$$

💡 5학년 자리값으로 각 수를 $10$ 진법으로 되돌려 일치 확인.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 6

$n + d = 9 + 2 = 11$.
선택지 매칭: (B).

$$n + d = 9 + 2 = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 4학년 자연수 덧셈: $9 + 2 = 11$ 은 보기 (B).

[1] #13 5.NBT.A.1 각 수를 자리값으로 전개. $n$ 진법 $\overline{32d}$ 는 자리값이 $n^2, n^1, n^0$ 이므로 $3n^2 + 2n + d

[2] #7 6.EE.B.6 두 조건으로 두 식. 조건 (i): $3n^2 + 2n + d = 263$ — $(E_1)$. 조건 (ii): $3n^2 + 2n + 4 = 2

[3] #7 6.EE.B.7 $(E_1) - (E_2)$ 로 $3n^2 + 2n$ 을 소거. $(d) - (4) = 263 - (253 + 6d) = 10 - 6d$. 즉

[4] #6 6.EE.B.5 $d = 2$ 를 $(E_1)$ 에 대입: $3n^2 + 2n + 2 = 263$ → $3n^2 + 2n = 261$. 작은 밑부터 추측·확인.

[5] #13 5.NBT.A.1 두 원래 조건 검산. (i) $\overline{322}_9 = 3 \cdot 81 + 2 \cdot 9 + 2 = 243 + 18 + 2 =

[6] #3 4.NBT.B.4 $n + d = 9 + 2 = 11$. 선택지 매칭: (B).

검토

합리성 확인: 세 수 모두 정수로 깔끔하게 일치. $\overline{322}_9 = 263$ 이 주어진 $263$ 과 일치. $\overline{324}_9 = 265 = \overline{1121}_6$ — 두 진법 표기가 같은 값. 숫자 조건도 모두 만족: $d = 2$ 는 $6$ 진법·$9$ 진법 모두에서 합법, $\overline{324}_9$ 의 $3, 2, 4$ 도 $9$ 미만. $n = 9$ 는 합리적 — $5$ ($\overline{32d}$ 가 유효한 최소 밑) 와 $10$ ($\overline{32d}_n = 263$ 이면 $d$ 가 음수가 되는 한계) 사이.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인)으로 작은 밑에 바로 적용. $n = 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 을 $(E_1)$ 에 대입해 $d = 263 - 3n^2 - 2n$ 이 $[0, \min(n-1, 5)]$ 안에 들어가는지 확인. $n = 9$ 만 $d = 2$ 로 유효. $(E_2)$ 도 $265 = 265$ 로 일치. 같은 답 $n + d = 11$, (B). 대수보다 살짝 빠르지만 덜 엄밀.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 ($9 + 2 = 11$ 로 선택지 매칭.)
5.NBT.A.1 자리값 관계 이해(왼쪽 자리는 오른쪽 자리의 10배) (각 진법 수를 자리값으로 전개해 $10$ 진법 식으로.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 '값 찾기' 과정으로 이해 ($3n^2 + 2n = 261$ 에 $n = 8, 9, 10$ 을 대입해 $n$ 결정.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식 쓰기 ($n, d$ 를 미지수로 두고 두 자리값 등식 작성.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 (차를 통해 얻은 $7d = 14$ 를 풀어 $d = 2$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 일차방정식만 알면 풀 수 있어요! 각 수를 자리값으로 펴면 $\overline{32d}_n = 3n^2 + 2n + d = 263$ 과 $\overline{324}_n = 253 + 6d$. 두 식을 빼서 $n$ 을 지우면 $7d = 14$, $d = 2$. 그러면 $3n^2 + 2n = 261$ 은 $n = 9$ 에서 성립. $n + d = 11$, 답 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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