AMC 10 · 2021 · #14

학년 8 geometry-2d

chord-perpendicular-from-centerpythagorean-theoremcoordinate-geometryequal-spacing convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,38,$ and $34$ . What is the distance between two adjacent parallel lines?

$\textbf{(A) }5\frac12 \qquad \textbf{(B) }6 \qquad \textbf{(C) }6\frac12 \qquad \textbf{(D) }7 \qquad \textbf{(E) }7\frac12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\frac12$

(B)

(C)

$6\frac12$

(D)

(E)

$7\frac12$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원을 가로지르는 평행한 세 직선이 등간격으로 놓여 있고, 잘리는 현의 길이가 $38, 38, 34$ 입니다. 이웃한 두 평행선 사이의 거리 $d$ 를 구하세요.

주어진 것: 평행한 세 직선이 등간격 (이웃한 간격 모두 $d$); 현 길이 $38, 38, 34$ (길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있어야 하므로, $38$ 짜리 두 현은 바깥 양쪽); 선택지: $5\tfrac{1}{2},\; 6,\; 6\tfrac{1}{2},\; 7,\; 7\tfrac{1}{2}$

구하는 것: 이웃한 두 평행선 사이의 거리 $d$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): 원과 중심 $O$ 를 그리고 $O$ 에서 세 평행선으로 수선을 내림. $38$ 짜리 두 현은 길이가 같으므로 중심에서 같은 거리 — 즉 $O$ 는 두 $38$ 현이 만드는 띠의 정확한 가운데에 위치. 등간격이므로 $38$ 두 현은 바깥쪽 두 선, $34$ 는 가운데 선, 중심으로부터 거리는 각각 $d/2, d/2, 3d/2$. 도구 #7(쪼개기)로 현마다 직각삼각형(반지름·현의 반·중심거리) 두 개를 분리. 도구 #13(대수)으로 두 피타고라스식을 세워 $r^2$ 을 소거하고 $d$ 풀이. 도구 #3으로 (B) 확인.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

원과 중심 $O$, 평행한 세 현을 그림.
길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 두 $38$ 현은 $O$ 를 지나는 (현에 수직인) 직선에 대해 대칭.
세 평행선이 등간격이므로 가운데 평행선이 바로 두 $38$ 현의 중간선 — 따라서 두 $38$ 현은 바깥쪽 두 선, $34$ 짜리 현은 가운데 선.

$$O \text{ 는 길이 } 38 \text{ 인 두 현의 중간에 위치}$$

💡 7학년 원 성질: 길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 2

이웃 평행선 간격을 $d$ 라 두면 두 $38$ 현은 $O$ 로부터 위·아래로 각각 $d/2$ 떨어져 있고, $34$ 현은 그 중 하나로부터 두 칸 떨어진 곳, 즉 $O$ 로부터 $d/2 + d = 3d/2$ 위치.

$$h_{38} = \dfrac{d}{2}, \qquad h_{34} = \dfrac{3d}{2}$$

💡 5학년 수직선 좌표: 세 평행선을 $-\tfrac{d}{2}, \tfrac{d}{2}, \tfrac{3d}{2}$ 높이로 정리.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

각 현마다 $O$ 에서 그 현의 중점까지 수선을 내리고 끝점까지 반지름을 이으면 직각삼각형 — 다리 $h$(중심거리)와 $\ell$(현의 반), 빗변 $r$(반지름).
피타고라스: $h^2 + \ell^2 = r^2$.

$$h^2 + \ell^2 = r^2 \;\;(\text{각 현마다})$$

💡 8학년 피타고라스: 반지름·현의 반·중심거리가 이루는 직각삼각형.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.7 단계 4

각 현 길이에 대해 피타고라스.
$38$ 현 ($\ell = 19, h = d/2$): $\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + 19^2 = r^2$, 즉 $\tfrac{d^2}{4} + 361 = r^2$.
$34$ 현 ($\ell = 17, h = 3d/2$): $\bigl(\tfrac{3d}{2}\bigr)^2 + 17^2 = r^2$, 즉 $\tfrac{9d^2}{4} + 289 = r^2$.

$$\tfrac{d^2}{4} + 361 = r^2 \quad \text{과} \quad \tfrac{9d^2}{4} + 289 = r^2$$

💡 8학년 피타고라스를 두 현에 각각 적용.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

두 식 모두 $r^2$ 이므로 같게 두면 $\tfrac{d^2}{4} + 361 = \tfrac{9d^2}{4} + 289$.
양변에서 $\tfrac{d^2}{4}$ 와 $289$ 를 빼면 $72 = \tfrac{8d^2}{4} = 2d^2$.
그래서 $d^2 = 36$, $d = 6$ (거리이므로 양의 근).

$$72 = 2d^2 \;\Rightarrow\; d^2 = 36 \;\Rightarrow\; d = 6$$

💡 8학년 제곱근: 거리는 양수이므로 $d^2 = 36$ 의 양의 근.

#3 가능성 지우기 8.NS.A.2 단계 6

선택지 매칭: $d = 6$ = (B).
검산: $d = 6$ 일 때 $r^2 = 9 + 361 = 370$, $r = \sqrt{370} \approx 19.24$.
가장 긴 현 $38$ 이 지름 $\approx 38.47$ 보다 살짝 짧으니 합리적.

$$d = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 8학년 무리수 근사: $\sqrt{370} \approx 19.24$ — 현 $38$ 이 지름 안에 들어감.

[1] #1 7.G.B.4 원과 중심 $O$, 평행한 세 현을 그림. 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 두 $38$ 현은 $O$ 를 지나는 (현에 수

[2] #1 5.G.A.2 이웃 평행선 간격을 $d$ 라 두면 두 $38$ 현은 $O$ 로부터 위·아래로 각각 $d/2$ 떨어져 있고, $34$ 현은 그 중 하나로부터 두

[3] #7 8.G.B.7 각 현마다 $O$ 에서 그 현의 중점까지 수선을 내리고 끝점까지 반지름을 이으면 직각삼각형 — 다리 $h$(중심거리)와 $\ell$(현의 반),

[4] #13 8.G.B.7 각 현 길이에 대해 피타고라스. $38$ 현 ($\ell = 19, h = d/2$): $\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)^2 + 1

[5] #13 8.EE.A.2 두 식 모두 $r^2$ 이므로 같게 두면 $\tfrac{d^2}{4} + 361 = \tfrac{9d^2}{4} + 289$. 양변에서 $\tf

[6] #3 8.NS.A.2 선택지 매칭: $d = 6$ = (B). 검산: $d = 6$ 일 때 $r^2 = 9 + 361 = 370$, $r = \sqrt{370} \a

검토

합리성 확인: 역대입: $d = 6$, $h_{38} = 3$, $h_{34} = 9$. 두 피타고라스 검산: $3^2 + 19^2 = 9 + 361 = 370$, $9^2 + 17^2 = 81 + 289 = 370$. 두 현 모두 같은 $r^2 = 370$ — 일관됨. $r = \sqrt{370} \approx 19.24$ 는 $19 = 38/2$ 바로 위이므로 가장 긴 현이 지름에 거의 닿는 느낌, $h_{38} = 3$ 이 작은 것과 일관. 크기 감각 합리적.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지에 바로. 각 후보 $d \in \{5\tfrac{1}{2}, 6, 6\tfrac{1}{2}, 7, 7\tfrac{1}{2}\}$ 에 대해 $r^2$ 을 두 가지 방식으로 계산: $r^2 = (d/2)^2 + 361$, $r^2 = (3d/2)^2 + 289$. 두 값이 일치하는 후보는 $d = 6$ 뿐 ($370 = 370$). 따라서 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 좌표평면에 점을 그려 실생활·수학 문제 표현 (세 평행선을 수직선 위 $-d/2, d/2, 3d/2$ 높이로 배치.)
7.G.B.4 원의 둘레·넓이 공식 알기 (길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리라는 원의 사실 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지의 변 구하기 (각 현마다 $h^2 + \ell^2 = r^2$ 세우기.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($d^2 = 36$ 에서 $d = 6$ 풀기.)
8.NS.A.2 유리수 근사로 무리수 크기 비교 ($r = \sqrt{370} \approx 19.24$ 로 검산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요! 중심에서 각 현으로 수선을 내리면 $38$ 현은 거리 $d/2$, $34$ 현은 거리 $3d/2$. 각 현에 피타고라스: $19^2 + (d/2)^2 = 17^2 + (3d/2)^2$. 정리하면 $2d^2 = 72$, $d = 6$, 답 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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