AMC 10 · 2021 · #15

학년 8 algebra

polynomial-factoringpolynomial-substitutionrecursive-sequenceexponents identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: polynomial-factoringexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The real number $x$ satisfies the equation $x+\frac{1}{x} = \sqrt{5}$ . What is the value of $x^{11}-7x^{7}+x^3?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~-1

(B)

(C)

(D)

(E)

$~\sqrt{5}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 실수 $x$ 가 $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ 를 만족할 때, $x^{11} - 7 x^{7} + x^{3}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ (당연히 $x \neq 0$); 구할 식: $x^{11} - 7 x^{7} + x^{3}$; 선택지: $-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; \sqrt{5}$

구하는 것: $x^{11} - 7 x^{7} + x^{3}$ 의 값

이해

문제 재정리: 실수 $x$ 가 $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ 를 만족할 때, $x^{11} - 7 x^{7} + x^{3}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$ (당연히 $x \neq 0$); 구할 식: $x^{11} - 7 x^{7} + x^{3}$; 선택지: $-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; \sqrt{5}$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): 구할 식 $x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3(x^8 - 7x^4 + 1)$ 로 인수분해 → 'x^4 를 간단히 표현'과 '괄호 평가'로 분리. 도구 #9(쉬운 문제): $\sqrt{5}$ 가 거슬리니 $x + 1/x = \sqrt{5}$ 를 제곱해 다항식 관계로 만들고, $x^2$ 을 곱해 분모 제거. 결과 $x^4 = 3x^2 - 1$ 이 쉬운 버전. 도구 #13(대수)로 $u = x^4 = 3x^2 - 1$ 을 $u^2 - 7u + 1$ 에 대입 → $x^2$ 항이 전부 약분돼 $0$. 도구 #3으로 (B) 선택.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 1

구할 식을 인수분해해 구조를 드러냄.
$x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3 (x^8 - 7 x^4 + 1)$.
괄호 안은 $u = x^4$ 에 대한 이차식 $u^2 - 7u + 1$.

$$x^{11} - 7x^{7} + x^{3} = x^{3} \, (x^{8} - 7 x^{4} + 1) = x^{3} (u^{2} - 7 u + 1), \;\; u = x^{4}$$

💡 7학년 식 다루기: 공통 인수 $x^3$ 을 묶어 간단히.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 2

주어진 식을 제곱해 $\sqrt{5}$ 제거.
$\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^2 = 5$ → $x^2 + 2 + \tfrac{1}{x^2} = 5$ → $x^2 + \tfrac{1}{x^2} = 3$.

$$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 3$$

💡 8학년 정수 지수: 제곱으로 무리식 없애고 다항식 관계 얻기.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.2 단계 3

양변에 $x^2$ 을 곱해 분모 정리.
$x^4 + 1 = 3x^2$, 즉 $x^4 = 3x^2 - 1$.
$u = x^4$ 을 $x^2$ 만으로 표현하는 깔끔한 관계.

$$u = x^{4} = 3 x^{2} - 1$$

💡 7학년 모양 바꾸기: 이제 $x^2$ 하나로 모든 게 통제됨.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 4

$u^2 = (3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1$.
남은 $x^4$ 을 같은 관계로 다시 줄이기: $9x^4 = 9(3x^2 - 1) = 27x^2 - 9$.
그래서 $u^2 = 27x^2 - 9 - 6x^2 + 1 = 21x^2 - 8$.

$$u^{2} = 9 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = (27 x^{2} - 9) - 6 x^{2} + 1 = 21 x^{2} - 8$$

💡 7학년 전개·대입: 높은 차수의 $x$ 를 계속 $x^2$ 으로 내려보냄.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 5

$u^2 = 21x^2 - 8$ 과 $u = 3x^2 - 1$ 을 괄호 $u^2 - 7u + 1$ 에 대입.
$(21x^2 - 8) - 7(3x^2 - 1) + 1 = 21x^2 - 8 - 21x^2 + 7 + 1 = 0$.
$x^2$ 항이 정확히 소거.

$$u^{2} - 7 u + 1 = (21 x^{2} - 8) - (21 x^{2} - 7) + 1 = 0$$

💡 7학년 동류항 정리: $x^2$ 들이 서로 상쇄돼 $0$.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.4 단계 6

조합.
$x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3 \cdot (u^2 - 7u + 1) = x^3 \cdot 0 = 0$.
($x$ 의 구체적 값은 필요 없음 — $x^3$ 에 $0$ 을 곱하면 어차피 $0$.) 선택지 매칭: (B).

$$x^{11} - 7 x^{7} + x^{3} = x^{3} \cdot 0 = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년 동치: 어떤 수에 $0$ 을 곱해도 $0$.

[1] #7 7.EE.A.1 구할 식을 인수분해해 구조를 드러냄. $x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3 (x^8 - 7 x^4 + 1)$. 괄호 안은 $u = x

[2] #9 8.EE.A.1 주어진 식을 제곱해 $\sqrt{5}$ 제거. $\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^2 = 5$ → $x^2 + 2 + \tfr

[3] #13 7.EE.A.2 양변에 $x^2$ 을 곱해 분모 정리. $x^4 + 1 = 3x^2$, 즉 $x^4 = 3x^2 - 1$. $u = x^4$ 을 $x^2$ 만으

[4] #13 7.EE.A.1 $u^2 = (3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1$. 남은 $x^4$ 을 같은 관계로 다시 줄이기: $9x^4 = 9(3x^2

[5] #13 7.EE.A.1 $u^2 = 21x^2 - 8$ 과 $u = 3x^2 - 1$ 을 괄호 $u^2 - 7u + 1$ 에 대입. $(21x^2 - 8) - 7(3x

[6] #3 6.EE.A.4 조합. $x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3 \cdot (u^2 - 7u + 1) = x^3 \cdot 0 = 0$. ($x$ 의 구

검토

합리성 확인: 독립 검산: $x + 1/x = \sqrt{5}$ 에서 이차식 $x^2 - \sqrt{5} x + 1 = 0$ → $x = \dfrac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$ (양의 근 $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618$, 황금비 $\varphi$). $\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 2.618$, $\varphi^4 = (\varphi+1)^2 = \varphi^2 + 2\varphi + 1 \approx 6.854$. 그리고 $3\varphi^2 - 1 = 3(2.618) - 1 = 6.854$ — $x^4 = 3x^2 - 1$ 성립. 괄호 $x^8 - 7x^4 + 1 = (3x^2 - 1)^2 - 7(3x^2 - 1) + 1 = 0$ 정확히 $0$ 으로 확인. (B) 합리적.

대안 접근: 도구 #5(패턴, 피보나치형 점화식). $a_n = x^n + x^{-n}$ 이라 두면 $a_1 = \sqrt{5}$, $a_2 = 3$, 점화식 $a_{n+1} = \sqrt{5} a_n - a_{n-1}$. $a_3 = 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$, $a_4 = 10 - 3 = 7$. 괄호를 $x^4$ 로 나누면 $x^4 - 7 + x^{-4} = a_4 - 7 = 7 - 7 = 0$. 따라서 원래 식 $= x^3 \cdot x^4 \cdot 0 = 0$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판단 ($x^3 \cdot 0 = 0$ 임을 ($x$ 와 무관하게) 결론.)
7.EE.A.1 연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개 ($x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3(x^8 - 7x^4 + 1)$ 인수분해와 $(3x^2 - 1)^2$ 전개.)
7.EE.A.2 식을 다른 형태로 다시 써 문제에 대한 통찰 얻기 ($x^2 + 1/x^2 = 3$ 를 $x^4 = 3x^2 - 1$ 로 바꾸기.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용 ($(x + 1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2$ 로 제곱.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요! 구할 식 인수분해: $x^{11} - 7x^7 + x^3 = x^3(x^8 - 7x^4 + 1)$. $x + 1/x = \sqrt{5}$ 를 제곱해 $x^2 + 1/x^2 = 3$ → $x^4 = 3x^2 - 1$. 괄호에 대입하면 $x^2$ 항이 모두 약분돼 괄호 = $0$. 전체 식 = $0$, 답 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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