AMC 10 · 2021 · #19

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-vardecimal-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers. If the greatest integer in $S$ is removed from $S$ , then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32$ . If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35$ . If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40$ . The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S$ . What is the average value of all the integers in the set $S$ ?

$\textbf{(A) }36.2 \qquad \textbf{(B) }36.4 \qquad \textbf{(C) }36.6\qquad \textbf{(D) }36.8 \qquad \textbf{(E) }37$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

36.2

(B)

36.4

(C)

36.6

(D)

36.8

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $S$ 는 양의 정수들로 이루어진 유한 집합. 평균에 관한 세 조건이 주어집니다: 최댓값 $G$ 를 빼면 평균이 $32$, $G$ 와 최솟값 $L$ 을 모두 빼면 평균이 $35$, $G$ 를 다시 넣으면 ($L$ 만 빠진 상태) 평균이 $40$. 또한 $G - L = 72$. 원래 집합 $S$ 전체의 평균을 구하세요.

주어진 것: $\dfrac{\Sigma - G}{n - 1} = 32$ ($G$ 만 제거); $\dfrac{\Sigma - G - L}{n - 2} = 35$ ($G, L$ 모두 제거); $\dfrac{\Sigma - L}{n - 1} = 40$ ($L$ 만 제거); $G - L = 72$; 선택지: (A) $36.2$, (B) $36.4$, (C) $36.6$, (D) $36.8$, (E) $37$

구하는 것: $\dfrac{\Sigma}{n}$ — $S$ 전체의 평균

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #13 (대수) — 네 문장이 그대로 $n, \Sigma, G, L$ 의 네 방정식으로 번역됩니다. 일단 식이 서면 깔끔: 평균이 "$n - 1$ 로 나눈 두 식" 은 $G$ 를 빼느냐 $L$ 을 빼느냐만 다르므로, 두 식을 빼면 $G - L = 8(n - 1)$ 이 바로 나오고 조건 (4) 와 결합해 $n$ 이 한 번에 결정. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 가 미지수 순서를 정해줍니다: 먼저 $n$, 다음 $L$ ($n - 2$ 식에서), 그다음 $\Sigma$ (다시 $n - 1$ 식에 대입). 마지막에 $\Sigma / n$. 각 단계는 신중한 계산만 필요 — 복잡한 대수 조작 없이.

실행 — 정답: D

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 1

$n = S$ 의 정수 개수, $\Sigma = $ 전체 합.
네 문장을 네 대수 방정식으로 번역.

$$\begin{aligned}(1)\ \Sigma - G &= 32(n-1)\\(2)\ \Sigma - G - L &= 35(n-2)\\(3)\ \Sigma - L &= 40(n-1)\\(4)\ G - L &= 72\end{aligned}$$

💡 "평균 $=$ 합 $\div$ 개수" 로 각 평균 조건이 일차식 하나.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 2

(3) 에서 (1) 을 빼면: $\Sigma$ 가 상쇄되어 왼쪽엔 $G - L$, 오른쪽엔 $8(n - 1)$ 만 남음.

$$(3) - (1):\ G - L = (40 - 32)(n - 1) = 8(n - 1)$$

💡 두 "$n - 1$" 평균은 어느 끝값을 빼는지만 다르므로 합의 차이가 정확히 $G - L$.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3

방정식 (4) 와 합치기: $72 = 8(n - 1)$, $n - 1 = 9$, $n = 10$.
원래 집합엔 $10$ 개의 정수.

$$72 = 8(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 9 \Rightarrow n = 10$$

💡 양변을 $8$ 로 나누면 개수가 즉시.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.7 단계 4

$n = 10$ 을 (1), (2) 에 대입.
(1) 에서: $\Sigma - G = 32 \cdot 9 = 288$.
(2) 에서: $\Sigma - G - L = 35 \cdot 8 = 280$.
빼면 $L = 288 - 280 = 8$.

$$\Sigma - G = 288,\quad \Sigma - G - L = 280 \Rightarrow L = 8$$

💡 $n$ 이 결정되면, $L$ 만 다른 두 식의 차이로 $L$ 이 한 번에.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

$L = 8$ 을 (3) 에 대입: $\Sigma - 8 = 40 \cdot 9 = 360$, 그러니 $\Sigma = 368$.

$$\Sigma = 40 \cdot 9 + L = 360 + 8 = 368$$

💡 $L$ 과 $n - 1$ 을 알면 전체 합은 덧셈 하나.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.B.7 단계 6

$S$ 전체의 평균: $\dfrac{\Sigma}{n} = \dfrac{368}{10} = 36.8$.
이것이 (D).

$$\dfrac{\Sigma}{n} = \dfrac{368}{10} = 36.8\ \Rightarrow\ (D)$$

💡 $10$ 으로 나누기 — 소수점 한 자리 옮기기.

[1] #13 6.EE.B.7 $n = S$ 의 정수 개수, $\Sigma = $ 전체 합. 네 문장을 네 대수 방정식으로 번역.

[2] #7 6.EE.B.7 (3) 에서 (1) 을 빼면: $\Sigma$ 가 상쇄되어 왼쪽엔 $G - L$, 오른쪽엔 $8(n - 1)$ 만 남음.

[3] #13 6.EE.B.7 방정식 (4) 와 합치기: $72 = 8(n - 1)$, $n - 1 = 9$, $n = 10$. 원래 집합엔 $10$ 개의 정수.

[4] #7 6.EE.B.7 $n = 10$ 을 (1), (2) 에 대입. (1) 에서: $\Sigma - G = 32 \cdot 9 = 288$. (2) 에서: $\Sig

[5] #13 6.EE.B.7 $L = 8$ 을 (3) 에 대입: $\Sigma - 8 = 40 \cdot 9 = 360$, 그러니 $\Sigma = 368$.

[6] #13 5.NBT.B.7 $S$ 전체의 평균: $\dfrac{\Sigma}{n} = \dfrac{368}{10} = 36.8$. 이것이 (D).

검토

합리성 확인: $G$ 로 검증: (4) 에서 $G = L + 72 = 8 + 72 = 80$. (1) 확인: $\Sigma - G = 368 - 80 = 288 = 32 \cdot 9$ ✓. (2) 확인: $\Sigma - G - L = 368 - 80 - 8 = 280 = 35 \cdot 8$ ✓. (3) 확인: $\Sigma - L = 368 - 8 = 360 = 40 \cdot 9$ ✓. 네 조건 모두 성립. $36.8$ 이라는 답이 $32$ (최저 보고된 평균) 와 $40$ (최고) 사이에 자연스럽게 위치 — 균형 잡힌 평균이 보일 만한 위치.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인) 으로 선택지 대입 — 각 옵션은 $\Sigma = 10 \cdot 36.X$ 에 대응하고, $G - L = 72$ 와 "$n - 1$ 일 때 평균 $32$" 관계로 교차 검증 가능. 하지만 네 깔끔한 방정식 네 미지수면 직접 대수가 다섯 후보 대입보다 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.7 $px = q$ 형 방정식을 세워서 실생활 문제 풀기 (네 평균/차이 조건을 $n, \Sigma, G, L$ 의 일차방정식 네 개로 번역하고 소거·대입으로 풀기.)
5.NBT.B.7 소수 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 (백분위까지) (마지막 평균 $368 \div 10 = 36.8$ 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 "합 $=$ 평균 $\times$ 개수" 방정식만 알면 풀 수 있어요! $n - 1$ 짜리 두 평균을 빼서 $G - L = 8(n-1) = 72$, 그러니 $n = 10$. 그러면 $\Sigma = 368$ 이고 답은 $\dfrac{368}{10} = 36.8$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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