AMC 10 · 2021 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

equilateral-trianglearea-trianglesthirty-sixty-ninety-trianglearea-difference identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglesequilateral-triangle

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2$ . The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ , where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~20

(B)

~21

(C)

~22

(D)

~23

(E)

~24

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오각형 $ABCDE$ 와 내부 점 $F, G$ 가 함께 $11$ 개의 선분 — 모두 길이 $2$ — 으로 그려져 있습니다. 오각형의 넓이가 양의 정수 $m, n$ 에 대해 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 으로 표현됩니다. $m + n$ 을 구하세요.

주어진 것: $11$ 개 선분, 각각 길이 $2$: 오각형의 변 $AB, BC, CD, DE, EA$ 와 추가 선분 $AF, AG, BF, CF, DG, EG$; 정점 배치 (asy 코드): $A$ 가 맨 위, $B$ 가 왼쪽 위, $C$ 가 왼쪽 아래, $D$ 가 오른쪽 아래, $E$ 가 오른쪽 위; $F, G$ 는 내부 점; 모든 변이 같은 길이 $\Rightarrow$ 네 개의 정삼각형 $ABF, BCF, AEG, EDG$ 가 들어 있음; 넓이의 꼴: $\sqrt{m} + \sqrt{n}$; 선택지: (A) $20$, (B) $21$, (C) $22$, (D) $23$, (E) $24$

구하는 것: $m + n$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

도구 #1 (그림 그리기) — 오각형과 $11$ 개 길이-$2$ 선분을 모두 표시. 그러면 네 정삼각형 ($\triangle ABF, \triangle BCF, \triangle AGE, \triangle GDE$) 이 한눈에 보이고, $B$ 와 $E$ 에서 $120^\circ$ 가 두 인접한 $60^\circ$ 의 합으로 드러납니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — 대각선 $AC, AD$ 로 오각형을 세 삼각형 $\triangle ABC, \triangle AED, \triangle ACD$ 로 분할. 각 삼각형은 기초 도형 사실로 따로 계산하고 합치면 끝. 도구 #17 (공간 상상) 으로 좌우 대칭을 활용해 $\triangle ABC$ 만 한 번 계산하면 $\triangle AED$ 도 같음을 인지.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

정삼각형 식별.
$\triangle ABF, \triangle BCF, \triangle AEG, \triangle EDG$ 의 세 변이 모두 길이 $2$ (모든 선분이 $2$) 이므로 각각 정삼각형, 모든 내각이 $60^\circ$.

$AB = BF = AF = 2 \Rightarrow \triangle ABF$ 정삼각형, $\angle ABF = 60^\circ$; 나머지 셋도 마찬가지

💡 세 변이 모두 같으면 정삼각형 $\Rightarrow$ 각 $60^\circ$.

#17 공간 상상하기 4.MD.C.7 단계 2

정점 $B$ 에서 오각형 각 $\angle ABC$ 는 선분 $BF$ 로 $\angle ABF$ 와 $\angle FBC$ 로 쪼개지고, 둘 다 정삼각형에서 $60^\circ$.
따라서 $\angle ABC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
대칭으로 $\angle AED = 120^\circ$.

$$\angle ABC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ;\quad \angle AED = 120^\circ$$

💡 두 인접한 $60^\circ$ 의 합 $= 120^\circ$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 3

대각선 $AC, AD$ 로 오각형을 세 삼각형 $\triangle ABC$ (왼쪽 귀), $\triangle AED$ (오른쪽 귀), $\triangle ACD$ (가운데) 로 분할.
오각형의 넓이 $=$ 셋의 합.

$$[ABCDE] = [ABC] + [ACD] + [AED]$$

💡 꼭짓점 $A$ 에서 대각선을 그어 오각형을 세 삼각형으로 자름.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

$\triangle ABC$ 는 $AB = BC = 2$, $\angle ABC = 120^\circ$.
SAS 넓이 공식: $[ABC] = \tfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 120^\circ = 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

$$[ABC] = \tfrac{1}{2}(2)(2)\sin 120^\circ = 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

💡 두 변과 끼인 각 $\Rightarrow$ SAS 넓이 $= \tfrac{1}{2}ab\sin\theta$, $\sin 120^\circ = \sqrt{3}/2$.

#17 공간 상상하기 8.G.A.2 단계 5

좌우 대칭으로 $\triangle AED$ 는 $\triangle ABC$ 와 합동 (같은 길이 $2$ 의 두 변, 같은 $120^\circ$ 꼭짓각).
따라서 $[AED] = \sqrt{3}$.

$$[AED] = \sqrt{3}$$

💡 거울 대칭 $\Rightarrow$ 같은 넓이.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 6

$\triangle ACD$ 를 위해서는 $AC, AD, CD$ 가 필요.
$CD = 2$ (선분 중 하나).
$AC$ 는 $\triangle ABC$ 에 코사인 법칙: $AC^2 = 2^2 + 2^2 - 2(2)(2)\cos 120^\circ = 4 + 4 - 8(-\tfrac{1}{2}) = 12$.
따라서 $AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
대칭으로 $AD = 2\sqrt{3}$.

$$AC^2 = 4 + 4 + 4 = 12,\quad AC = AD = 2\sqrt{3}$$

💡 $\cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}$ 인 코사인 법칙으로 $AC^2 = 12$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 7

$\triangle ACD$ 는 $AC = AD = 2\sqrt{3}$, 밑변 $CD = 2$ 인 이등변삼각형.
$A$ 에서 $CD$ 의 중점 $M$ 으로 수선을 내리면 $CM = MD = 1$.
$\triangle AMD$ 에 피타고라스 정리: $AM^2 = AD^2 - MD^2 = 12 - 1 = 11$, $AM = \sqrt{11}$.
넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot CD \cdot AM = \tfrac{1}{2}(2)(\sqrt{11}) = \sqrt{11}$.

$$AM = \sqrt{12 - 1} = \sqrt{11};\quad [ACD] = \tfrac{1}{2}(2)(\sqrt{11}) = \sqrt{11}$$

💡 이등변 + 피타고라스 $\Rightarrow$ 수선 $\sqrt{11}$, 넓이 $\sqrt{11}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 8

합산: $[ABCDE] = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{11} = 2\sqrt{3} + \sqrt{11} = \sqrt{12} + \sqrt{11}$ ($2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$).
따라서 $\{m, n\} = \{11, 12\}$, $m + n = 23$.
선택지 (D).

$$[ABCDE] = \sqrt{12} + \sqrt{11} \Rightarrow m + n = 12 + 11 = 23\ \Rightarrow\ (D)$$

💡 세 삼각형 넓이를 더하고 $2\sqrt{3}$ 을 $\sqrt{12}$ 로 접어 $m + n$ 을 구함.

[1] #1 4.G.A.2 정삼각형 식별. $\triangle ABF, \triangle BCF, \triangle AEG, \triangle EDG$ 의 세 변이 모두

[2] #17 4.MD.C.7 정점 $B$ 에서 오각형 각 $\angle ABC$ 는 선분 $BF$ 로 $\angle ABF$ 와 $\angle FBC$ 로 쪼개지고, 둘 다

[3] #7 7.G.B.6 대각선 $AC, AD$ 로 오각형을 세 삼각형 $\triangle ABC$ (왼쪽 귀), $\triangle AED$ (오른쪽 귀), $\tri

[4] #7 8.G.B.7 $\triangle ABC$ 는 $AB = BC = 2$, $\angle ABC = 120^\circ$. SAS 넓이 공식: $[ABC] = \

[5] #17 8.G.A.2 좌우 대칭으로 $\triangle AED$ 는 $\triangle ABC$ 와 합동 (같은 길이 $2$ 의 두 변, 같은 $120^\circ$

[6] #7 8.G.B.7 $\triangle ACD$ 를 위해서는 $AC, AD, CD$ 가 필요. $CD = 2$ (선분 중 하나). $AC$ 는 $\triangle

[7] #7 8.G.B.7 $\triangle ACD$ 는 $AC = AD = 2\sqrt{3}$, 밑변 $CD = 2$ 인 이등변삼각형. $A$ 에서 $CD$ 의 중점

[8] #7 8.EE.A.2 합산: $[ABCDE] = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{11} = 2\sqrt{3} + \sqrt{11} = \sqrt{1

검토

합리성 확인: 크기 확인: $\sqrt{12} \approx 3.46$, $\sqrt{11} \approx 3.32$ 이므로 오각형 넓이 $\approx 6.78$. 오각형의 "폭" 은 대략 $|BE| \approx 3$ (두 정삼각형 중심의 가로 간격) 이고 "높이" 는 대략 $2$ 이므로 넓이 $\approx 7$ 은 자연스러운 범위. 각 귀 삼각형의 넓이 $\sqrt{3} \approx 1.73$ 도 변이 $2, 2$ 이고 끼인 각이 $120^\circ$ 인 삼각형으로 타당. 답의 형식 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 이 작은 정수 $m, n \approx 12$ 인 점도 $20$–$24$ 의 선택지 범위와 일치 — $m + n = 23$ 이 정확히 (D).

대안 접근: 도구 #1 (좌표 평면 활용) — $CD$ 의 중점 $M$ 을 원점에 두고 $CD$ 를 $x$ 축에 두면 $C = (-1, 0), D = (1, 0)$. 정삼각형 조건으로 $A$ 의 좌표 계산 후 슈래이스 (shoelace) 공식. 같은 답 $\sqrt{12} + \sqrt{11}$ 이지만 계산이 더 많음 — SAS / 이등변 분할이 더 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행/수직 유무로 평면도형 분류 (세 변이 같은 정삼각형을 식별.)
4.MD.C.7 각의 가법성으로 덧셈·뺄셈 문제 풀기 ($B$ 에서 두 $60^\circ$ 를 더해 $\angle ABC = 120^\circ$, $E$ 에서도 같이.)
7.G.B.6 넓이·겉넓이·부피 실생활 문제 풀기 (오각형을 세 삼각형으로 분해해 넓이 합.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변 길이 구하기 (코사인 법칙 ($\cos 120^\circ + $ 피타고라스 추론) 로 $AC = \sqrt{12}$, 이어 $\triangle AMD$ 에서 수선 $AM = \sqrt{11}$.)
8.G.A.2 변환으로 평면도형의 합동 이해 (좌우 대칭으로 $[ABC] = [AED]$.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 (요구된 형식 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 에 맞추기 위해 $2\sqrt{3} \to \sqrt{12}$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 추론만 알면 풀 수 있어요! 대각선 $AC, AD$ 로 오각형을 잘라 — 양쪽 귀 삼각형은 꼭짓각 $120^\circ$ 인 넓이 $\sqrt{3}$ 씩, 가운데 이등변삼각형은 수선 $\sqrt{11}$, 넓이 $\sqrt{11}$. 합 $= 2\sqrt{3} + \sqrt{11} = \sqrt{12} + \sqrt{11}$, 그러니 $m + n = 23$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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