AMC 10 · 2021 · #21

학년 8 geometry-2d

paper-foldingsimilar-trianglesinteger-pythagorean-triplespythagorean-theorem physical-representationidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

A square piece of paper has side length $1$ and vertices $A,B,C,$ and $D$ in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex $C$ meets edge $\overline{AD}$ at point $C'$ , and edge $\overline{BC}$ intersects edge $\overline{AB}$ at point $E$ . Suppose that $C'D = \frac{1}{3}$ . What is the perimeter of triangle $\bigtriangleup AEC' ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~1+\frac{2}{3}\sqrt{3}$

(C)

$~\frac{13}{6}$

(D)

$~1 + \frac{3}{4}\sqrt{3}$

(E)

$~\frac{7}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형의 꼭짓점을 차례로 $A$ (왼쪽 위), $B$ (왼쪽 아래), $C$ (오른쪽 아래), $D$ (오른쪽 위) 라 하자. 종이를 접어 $C$ 가 변 $\overline{AD}$ 위의 점 $C'$ 로 가도록 하는데, $C'D = \tfrac{1}{3}$ (즉 $AC' = \tfrac{2}{3}$) 이다. 접힌 후의 변 $\overline{BC}$ 는 원래 변 $\overline{AB}$ 와 점 $E$ 에서 만난다. 직각삼각형 $\triangle AEC'$ 의 둘레를 구하시오.

주어진 것: 정사각형 한 변 $1$, 꼭짓점 $A, B, C, D$ 순서대로; 접기로 $C$ 가 $\overline{AD}$ 위의 $C'$ 로, $C'D = \tfrac{1}{3}$ 즉 $AC' = \tfrac{2}{3}$; 접힌 변 $\overline{BC}$ 의 상이 $\overline{AB}$ 와 만나는 점 $E$; 선택지: (A) $2$, (B) $1 + \tfrac{2}{3}\sqrt{3}$, (C) $\tfrac{13}{6}$, (D) $1 + \tfrac{3}{4}\sqrt{3}$, (E) $\tfrac{7}{3}$

구하는 것: $\triangle AEC'$ 의 둘레 $AE + AC' + EC'$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #10 (직접 만져보기) — 실제 정사각형 종이를 접어 대칭이 어떻게 작용하는지 손으로 느낀다. 도구 #1 (그림 그리기) — 정사각형을 좌표 위에 올려놓아 각 길이를 좌표 계산으로 바꾼다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) — (a) $AE$ 를 구하고, (b) 직각삼각형 $\triangle AEC'$ 에서 피타고라스로 둘레 계산. 도구 #13 (대수) — $AE = x$ 로 두고 접기 대칭에서 식을 세운다. 도구 #3 (가능성 지우기) — 둘레가 깔끔한 다섯 후보 중 하나여야 하므로 계산 후 즉시 매칭.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

좌표를 설정.
$A = (0, 1)$, $B = (0, 0)$, $C = (1, 0)$, $D = (1, 1)$.
그러면 $C'D = \tfrac{1}{3}$ 이므로 $C' = (\tfrac{2}{3}, 1)$.
$E$ 는 $\overline{AB}$ 위에 있으니 $E = (0, h)$, $0 \le h \le 1$.
그러면 $AE = 1 - h$.

$$A=(0,1),\; B=(0,0),\; C=(1,0),\; D=(1,1),\; C'=(\tfrac{2}{3},1),\; E=(0,h)$$

💡 좌표로 옮기면 모든 길이가 곧장 산술이 된다.

#10 직접 만져보기 8.G.A.1 단계 2

접기의 핵심 성질: 접는 선 (crease) 위의 점은 그대로 있고, 반사는 거리를 보존.
접기로 $C$ 가 $C'$ 로 간다.
원래 변 $\overline{BC}$ 가 접힌 후의 상은 $\overline{B'C'}$ (단, $B'$ 는 $B$ 의 반사 이미지), 그리고 $E$ 는 이 상 위에 있다.
결정적으로 접는 선은 $C$ 와 $C'$ 의 수직이등분선이다.

$$\text{접기} : C \mapsto C',\; \text{거리 보존}$$

💡 종이를 접으면 길이는 안 변한다 — 새로 보이는 변은 원래 변의 복사본일 뿐.

#13 대수로 바꾸기 8.G.A.3 단계 3

접는 선의 방정식.
$C = (1, 0)$, $C' = (\tfrac{2}{3}, 1)$ 의 중점은 $M = (\tfrac{5}{6}, \tfrac{1}{2})$.
$\overline{CC'}$ 의 기울기는 $\tfrac{1 - 0}{\tfrac{2}{3} - 1} = -3$ 이므로 수직 기울기는 $\tfrac{1}{3}$.
접는 선: $y - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{3}(x - \tfrac{5}{6})$, 즉 $y = \tfrac{x}{3} + \tfrac{2}{9}$.

$$\text{crease} : y = \tfrac{x}{3} + \tfrac{2}{9}$$

💡 수직이등분선이라는 한 가지 사실로 접는 선이 완전히 정해진다.

#1 그림 그리기 8.G.A.3 단계 4

$B = (0, 0)$ 를 접는 선 $x - 3y + \tfrac{2}{3} = 0$ 에 대해 반사.
반사 공식: $(a, b, c) = (1, -3, \tfrac{2}{3})$, $a^2 + b^2 = 10$.
$a x_0 + b y_0 + c = \tfrac{2}{3}$.
$B' = (x_0 - \tfrac{2a(\cdot)}{10}, y_0 - \tfrac{2b(\cdot)}{10}) = (-\tfrac{4}{30}, \tfrac{12}{30}) = (-\tfrac{2}{15}, \tfrac{2}{5})$.

$$B' = (-\tfrac{2}{15}, \tfrac{2}{5})$$

💡 원래 코너 $B$ 도 접힐 때 어디로 가는지 정확히 따라간다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.3 단계 5

접힌 $\overline{BC}$ 의 상 = $\overline{B'C'}$.
매개변수: $(x, y) = B' + t(C' - B') = (-\tfrac{2}{15} + \tfrac{4t}{5},\; \tfrac{2}{5} + \tfrac{3t}{5})$.
이 직선이 $x = 0$ (즉 $\overline{AB}$) 와 만나는 곳: $-\tfrac{2}{15} + \tfrac{4t}{5} = 0 \Rightarrow t = \tfrac{1}{6}$.
그때 $y = \tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{5} + \tfrac{1}{10} = \tfrac{1}{2}$.
따라서 $E = (0, \tfrac{1}{2})$, $AE = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$.

$$E = (0, \tfrac{1}{2}),\; AE = \tfrac{1}{2}$$

💡 $B'$ 에서 $C'$ 로 가는 길이 $y$ 축을 어디서 만나는지 — 그 지점이 바로 $E$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 6

$\triangle AEC'$ 는 $\angle A = 90^\circ$ 인 직각삼각형 ($\overline{AB} \perp \overline{AD}$).
두 다리 $AE = \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{6}$, $AC' = \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{6}$.
피타고라스로 빗변 $EC' = \sqrt{(\tfrac{1}{2})^2 + (\tfrac{2}{3})^2} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{9 + 16}{36}} = \sqrt{\tfrac{25}{36}} = \tfrac{5}{6}$.
즉 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형을 $\tfrac{1}{6}$ 배 축소한 모양: 다리 $\tfrac{3}{6}, \tfrac{4}{6}$, 빗변 $\tfrac{5}{6}$.

$$AE = \tfrac{3}{6},\; AC' = \tfrac{4}{6},\; EC' = \tfrac{5}{6}$$

💡 두 다리가 깔끔한 분수면 빗변도 피타고라스로 깔끔히 나온다.

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 7

세 변을 더해 $\triangle AEC'$ 의 둘레: $\tfrac{3}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{5}{6} = \tfrac{12}{6} = 2$.
정답은 (A) $2$.

$$\text{둘레} = \tfrac{3}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{5}{6} = 2 \Rightarrow \textbf{(A)}$$

💡 분모가 같으면 분자만 더하면 끝: $3 + 4 + 5 = 12$, $\tfrac{12}{6} = 2$.

[1] #1 6.NS.C.8 좌표를 설정. $A = (0, 1)$, $B = (0, 0)$, $C = (1, 0)$, $D = (1, 1)$. 그러면 $C'D = \tfra

[2] #10 8.G.A.1 접기의 핵심 성질: 접는 선 (crease) 위의 점은 그대로 있고, 반사는 거리를 보존. 접기로 $C$ 가 $C'$ 로 간다. 원래 변 $\o

[3] #13 8.G.A.3 접는 선의 방정식. $C = (1, 0)$, $C' = (\tfrac{2}{3}, 1)$ 의 중점은 $M = (\tfrac{5}{6}, \tfr

[4] #1 8.G.A.3 $B = (0, 0)$ 를 접는 선 $x - 3y + \tfrac{2}{3} = 0$ 에 대해 반사. 반사 공식: $(a, b, c) = (1,

[5] #7 8.G.A.3 접힌 $\overline{BC}$ 의 상 = $\overline{B'C'}$. 매개변수: $(x, y) = B' + t(C' - B') = (-

[6] #7 8.G.B.7 $\triangle AEC'$ 는 $\angle A = 90^\circ$ 인 직각삼각형 ($\overline{AB} \perp \overline

[7] #3 5.NF.A.1 세 변을 더해 $\triangle AEC'$ 의 둘레: $\tfrac{3}{6} + \tfrac{4}{6} + \tfrac{5}{6} = \tf

검토

합리성 확인: 감각 점검. 정사각형 전체 둘레는 $4$ 이고, $\triangle AEC'$ 는 그 한 모서리 안의 작은 삼각형. 둘레 $2$ (정사각형 둘레의 절반) 는 합리적: 두 다리 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}$ 와 빗변 $\tfrac{5}{6}$ 모두 $1$ 미만. $3$-$4$-$5$ 확인이 강한 검산: 만약 $AE$ 를 잘못 구했다면 빗변과 다리 비율이 $3:4:5$ 로 떨어지지 않았을 것.

대안 접근: 도구 #10 (직접 만져보기): 단위 정사각형 종이를 잘라 $\overline{AD}$ 위에 $\tfrac{1}{3}$ 지점을 표시한 뒤 $C$ 를 그 점 ($C'$) 으로 접고, 접힌 변이 $\overline{AB}$ 의 어디서 끊기는지 자로 재본다. 정확히 한가운데 $AE = \tfrac{1}{2}$ 에서 만나는 것을 손으로 확인 가능. 그 다음 $3$-$4$-$5$ 모양이 눈에 보이고 둘레 $2$ 가 바로 따라온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{3} + \tfrac{5}{6} = 2$ 를 공통분모 $6$ 으로 더하기.)
6.NS.C.8 좌표평면 네 사분면에서 점을 그려 실생활 문제 해결 (정사각형을 좌표평면 위에 놓고 각 점을 $(x, y)$ 로 표기.)
8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험으로 확인 (접기 = 반사임을 이용해 모든 거리가 보존됨을 활용.)
8.G.A.3 확대축소·평행이동·회전·반사가 좌표에 미치는 효과 ($B = (0,0)$ 을 접는 선에 대해 반사해 접힌 변의 상을 찾기.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 변의 길이 구하기 ($EC' = \sqrt{AE^2 + AC'^2}$ 로 직각삼각형 $\triangle AEC'$ 의 빗변 계산.)

⭐ 이 어려운 AMC 10 문제도 결국은 8학년 때 배운 "종이 접기는 반사" 라는 사실 하나로 풀려요 — 반사는 거리를 보존하니 접는 선이 $C$ 를 $C'$ 로 옮긴다는 조건만으로 접는 선이 정해지고, 그 결과 $AE = \tfrac{1}{2}$ 가 나오면 $\triangle AEC'$ 는 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형의 $\tfrac{1}{6}$ 축소판이라 둘레는 그대로 $\tfrac{3 + 4 + 5}{6} = 2$ 예요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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