AMC 10 · 2021 · #22

학년 7 probability

principle-of-inclusion-exclusionprobability-basicpermutations-basiccombinations-basic complementary-countingidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Ang, Ben, and Jasmin each have $5$ blocks, colored red, blue, yellow, white, and green; and there are $5$ empty boxes. Each of the people randomly and independently of the other two people places one of their blocks into each box. The probability that at least one box receives $3$ blocks all of the same color is $\frac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~47

(B)

~94

(C)

~227

(D)

~471

(E)

~542

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Ang, Ben, Jasmin 세 사람이 각각 다섯 가지 색 (빨강, 파랑, 노랑, 하양, 초록) 의 서로 다른 블록 $5$ 개씩을 갖고 있다. 각자 독립적으로 $5$ 개의 빈 상자에 자신의 블록을 한 개씩 무작위로 넣는다 (각자 색깔 순열 한 가지를 균일 무작위로 고름). 어떤 상자에 같은 색 블록 $3$ 개가 모두 들어갈 확률을 $\tfrac{m}{n}$ (기약분수) 으로 나타낼 때 $m + n$ 을 구하시오.

주어진 것: 세 사람: Ang, Ben, Jasmin — 각자 같은 다섯 색의 블록 보유; 상자 $5$ 개, 각 상자엔 사람당 정확히 한 블록; 각자 $5$ 색 → $5$ 상자 순열 한 가지를 균일 무작위로 선택; 세 사람의 선택은 서로 독립; 선택지: (A) $47$, (B) $94$, (C) $227$, (D) $471$, (E) $542$

구하는 것: 어떤 상자가 같은 색 $3$ 개를 받을 확률을 기약분수 $\tfrac{m}{n}$ 으로 나타낸 뒤 $m + n$

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #16 (관점 바꾸기) — "적어도 하나" 는 포함-배제의 신호; 사건 $A_i = $ "상자 $i$ 가 같은 색" 다섯 개에 PIE 적용. 도구 #9 (더 쉬운 문제) — Ang 의 배치를 고정 (대칭이므로 일반성 손실 없음), 표본공간이 $(5!)^2$ 로 축소. 도구 #7 (쪼개기) — 각 $|A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}|$ 을 깔끔한 계승 곱으로 분리. 도구 #2 (나열) — 다섯 PIE 항을 모두 적고 부호 교대로 합산. 도구 #3 (가능성 지우기) — $m + n$ 을 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

대칭으로 표본공간을 줄임.
세 사람 모두 $5$ 색의 순열을 독립적으로 고르므로 전체 표본공간 크기는 $(5!)^3 = 120^3$.
대칭에 의해 Ang 의 순열을 고정해도 (예: Ang 이 색 $c_i$ 를 상자 $i$ 에 둠) 확률은 동일 (도구 #9).
이제 $(\text{Ben}, \text{Jasmin})$ 쌍 중 유리한 경우만 $(5!)^2 = 14{,}400$ 가지에서 세면 됨.

$$|\Omega| = (5!)^3,\;\text{Ang 고정} \Rightarrow |\Omega'| = (5!)^2 = 14400$$

💡 Ang 을 고정해도 확률은 안 변함 — 색 이름을 상자 번호에 맞춰 바꾼 셈.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 2

사건 정의: $A_i = $ "상자 $i$ 가 같은 색 블록 $3$ 개를 받음" ($i = 1, \ldots, 5$).
Ang 의 색 $c_i$ 가 상자 $i$ 에 이미 있으므로, $A_i$ 는 Ben 과 Jasmin 모두 $c_i$ 를 상자 $i$ 에 넣을 때 성립.
구할 것: $P(A_1 \cup \cdots \cup A_5)$.
포함-배제 (PIE) 로 $|A_1 \cup \cdots \cup A_5| = \sum_k (-1)^{k+1} S_k$, $S_k = \sum_{|I| = k} |A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}|$.

$$|A_1 \cup \cdots \cup A_5| = S_1 - S_2 + S_3 - S_4 + S_5$$

💡 겹침이 있는 "적어도 하나" — PIE 가 딱 들어맞는 상황.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

$k$ 개 상자 집합 하나에 대해 $|A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}|$ 계산.
그 $k$ 상자엔 Ben 이 $c_{i_1}, \ldots, c_{i_k}$ 를 강제로 넣으므로 자유도 없음 (1 가지), 나머지 $5 - k$ 색은 남은 $5 - k$ 상자에 $(5 - k)!$ 가지.
Jasmin 도 같음.
즉 $|A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}| = ((5 - k)!)^2$, $k$ 상자의 구체적 선택과 무관.
그래서 $S_k = \binom{5}{k} ((5 - k)!)^2$.

$$|A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}| = ((5 - k)!)^2;\quad S_k = \binom{5}{k}((5-k)!)^2$$

💡 $k$ 개 일치를 강제하면 Ben, Jasmin 각자 $k$ 만큼 자유도 잃음 — 깔끔한 계승 제곱.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

다섯 항 나열 (도구 #2).
$k = 1$: $S_1 = \binom{5}{1}(4!)^2 = 5 \cdot 576 = 2880$.
$k = 2$: $S_2 = \binom{5}{2}(3!)^2 = 10 \cdot 36 = 360$.
$k = 3$: $S_3 = \binom{5}{3}(2!)^2 = 10 \cdot 4 = 40$.
$k = 4$: $S_4 = \binom{5}{4}(1!)^2 = 5 \cdot 1 = 5$.
$k = 5$: $S_5 = \binom{5}{5}(0!)^2 = 1$.

$$S_1 = 2880,\; S_2 = 360,\; S_3 = 40,\; S_4 = 5,\; S_5 = 1$$

💡 각 $S_k$ 는 단일 곱 — 겹침은 나중에 부호로 정리.

#16 관점 바꾸기 6.NS.B.3 단계 5

PIE 적용: $|A_1 \cup \cdots \cup A_5| = 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556$.
따라서 확률 $P = \dfrac{2556}{14400}$.

$$N = 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556;\quad P = \dfrac{2556}{14400}$$

💡 부호 교대로 더하면 각 쌍의 중복 카운트가 정확히 상쇄됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 6

$\dfrac{2556}{14400}$ 을 기약분수로.
$2556 = 4 \cdot 639 = 4 \cdot 9 \cdot 71 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 71$.
$14400 = 144 \cdot 100 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.
$\gcd = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
$\dfrac{2556}{14400} = \dfrac{2556 / 36}{14400 / 36} = \dfrac{71}{400}$.
$71$ 은 소수, $400 = 2^4 \cdot 5^2$ 에 $71$ 인수 없음 — 기약분수.
따라서 $m = 71$, $n = 400$.

$$\dfrac{2556}{14400} = \dfrac{71}{400},\quad m = 71,\; n = 400$$

💡 분자·분모 소인수분해 후 공통 인수만 묶어내면 기약.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 7

$m + n = 71 + 400 = 471$.
선택지 (D).

$$m + n = 71 + 400 = 471 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 마지막 덧셈으로 (D) 와 정확히 일치.

[1] #9 7.SP.C.7 대칭으로 표본공간을 줄임. 세 사람 모두 $5$ 색의 순열을 독립적으로 고르므로 전체 표본공간 크기는 $(5!)^3 = 120^3$. 대칭에 의

[2] #16 7.SP.C.8 사건 정의: $A_i = $ "상자 $i$ 가 같은 색 블록 $3$ 개를 받음" ($i = 1, \ldots, 5$). Ang 의 색 $c_i$

[3] #7 7.SP.C.8 $k$ 개 상자 집합 하나에 대해 $|A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}|$ 계산. 그 $k$ 상자엔 Ben 이 $c_{

[4] #2 7.SP.C.8 다섯 항 나열 (도구 #2). $k = 1$: $S_1 = \binom{5}{1}(4!)^2 = 5 \cdot 576 = 2880$. $k =

[5] #16 6.NS.B.3 PIE 적용: $|A_1 \cup \cdots \cup A_5| = 2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556$. 따라서 확률 $P

[6] #7 6.NS.B.4 $\dfrac{2556}{14400}$ 을 기약분수로. $2556 = 4 \cdot 639 = 4 \cdot 9 \cdot 71 = 2^2 \c

[7] #3 4.NBT.B.4 $m + n = 71 + 400 = 471$. 선택지 (D).

검토

합리성 확인: 감각 점검. 확률 $\tfrac{71}{400} \approx 0.1775$, 약 $18\%$ — 그럴듯한 크기. 단일 상자 $P(A_i) = \tfrac{1}{5} \cdot \tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{25} = 0.04$ 이고 상자 다섯 개에 대해 단순 합 $5 \cdot 0.04 = 0.20$ 이 상한 (겹침 무시), 실제 $0.1775$ 는 약간 작아 PIE 가 중복을 적절히 빼낸 모습. 또 $S_1 - S_2 = 2520$ 으로 두 항이 지배적이고 $S_3 + S_5 - S_4 = +36$ 미세 보정 — 사건 $A_i$ 가 드물 때 예상되는 패턴.

대안 접근: 도구 #16 더 직접: 여사건 (어떤 상자도 같은 색 아님) 의 수를 직접 셈. $14400 - 2556 = 11844$ 가지. 또는 좀 더 고급: Ang 과 모든 자리에서 안 맞는 순열의 PIE (Ben 따로, Jasmin 따로, 곱해 합산) — 두 길 모두 동일 답 도착. 다섯 상자에 PIE 가 가장 깔끔한 직선 풀이.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NBT.B.4 여러 자리 정수의 덧셈·뺄셈을 능숙히 (마지막 $m + n = 71 + 400 = 471$ 계산.)
6.NS.B.3 여러 자리 소수의 사칙연산을 능숙히 (PIE 항 합산 $2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556$ 및 비율 $2556/14400$ 만들기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\tfrac{2556}{14400}$ 의 $\gcd = 36$ 으로 기약분수 만들기.)
7.SP.C.7 확률 모델 만들기와 사건의 확률 계산 (균일 표본공간 $(5!)^3$ 정의 및 대칭으로 Ang 고정.)
7.SP.C.8 조직된 표·목록·시뮬레이션으로 복합사건의 확률 구하기 (다섯 "상자 $i$ 가 같은 색" 사건에 포함-배제 원리 적용.)

⭐ 이 어려운 AMC 10 문제도 7학년 확률 — "적어도 하나" 와 포함-배제 — 만으로 풀려요. Ang 의 배치를 먼저 고정 (대칭이라 손해 없음) 한 뒤, $k$ 개 상자 한 쌍에 대해 Ben 과 Jasmin 이 Ang 을 따라하게 강제하는 경우의 수는 $\binom{5}{k}((5-k)!)^2$. 부호 교대로 더해 $2880 - 360 + 40 - 5 + 1 = 2556$ 유리한 경우, $(5!)^2 = 14400$ 으로 나눠 약분하면 $\tfrac{71}{400}$, 답은 $m + n = 471$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기