AMC 10 · 2021 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

percentagelinear-equations-one-varratio-proportionsystems-of-equations convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

In an after-school program for juniors and seniors, there is a debate team with an equal number of students from each class on the team. Among the $28$ students in the program, $25\%$ of the juniors as a class and $10\%$ of the seniors as a class are on the debate team. How many juniors are in the program?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

~11

(E)

~20

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방과 후 프로그램에 11학년·12학년 학생이 총 $28$ 명. 토론 동아리에는 11학년과 12학년이 같은 수로 있는데, 그 수가 전체 11학년의 $25\%$ 이자 전체 12학년의 $10\%$. 프로그램의 11학년이 몇 명인지 구하세요.

주어진 것: 11학년 $+$ 12학년 $= 28$; 전체 11학년의 $25\% = \frac{1}{4}$ 가 동아리 소속; 전체 12학년의 $10\% = \frac{1}{10}$ 가 동아리 소속; 동아리의 11학년 수 $=$ 12학년 수; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $11$, (E) $20$

구하는 것: 프로그램의 11학년 총 인원

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #3(가능성 지우기)이 객관식에서 빠름: 11학년 수의 $25\%$ 가 자연수여야 하므로 11학년 수는 $4$ 의 배수. (A)–(E) 중 $4$ 의 배수는 (C) $8$ 과 (E) $20$ 뿐. 도구 #6(추측하고 확인)으로 둘을 검증: 11학년 $= 8$ 이면 동아리 11학년 $= 2$, 같은 수 $2$ 가 12학년 동아리 인원, 12학년 전체 $= 20$, 합 $= 28$ ✓. 11학년 $= 20$ 이면 동아리 $= 5$, 12학년 전체 $= 50$, 합 $= 70 \neq 28$ ✗. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 구조 — "동아리 인원 같음" 으로 두 퍼센트가 연결됨.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 1

약수·배수로 선택지 걸러내기.
전체 11학년의 $25\%$ 가 자연수여야 하므로 11학년 수는 $4$ 의 배수.
(A)–(E) 중 $8$ 과 $20$ 만 가능.

$$\text{11학년} \in \{8, 20\}$$

💡 사람 수의 $25\%$ 가 자연수 — 4학년 약수·배수 사고.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

11학년 $= 8$ 가정.
동아리의 11학년 $= \frac{1}{4} \times 8 = 2$, 따라서 12학년도 $2$ 명.
그 $2$ 명이 전체 12학년의 $10\%$ 이므로 12학년 $= 2 \div \frac{1}{10} = 20$.

$$\text{동아리 11학년} = \tfrac{1}{4} \times 8 = 2 \;\Rightarrow\; \text{12학년} = 2 \div \tfrac{1}{10} = 20$$

💡 부분이 전체의 $10\%$ 면 전체는 부분 $\times 10$ — 6학년 비율 사고.

#6 추측하고 확인하기 2.OA.A.1 단계 3

총합 확인.
11학년 $+$ 12학년 $= 8 + 20 = 28$ — 주어진 총합과 정확히 일치.
11학년 $= 8$ 통과.

$$8 + 20 = 28 \checkmark$$

💡 작은 두 수 덧셈 — 2학년 문장제 표준.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

다른 후보 제거.
11학년 $= 20$ 이면 동아리 11학년 $= \frac{1}{4} \times 20 = 5$, 12학년 동아리도 $5$, 12학년 전체 $= 5 \times 10 = 50$.
합 $20 + 50 = 70 \neq 28$ — 모순.

$$20 + 50 = 70 \neq 28 \;\Rightarrow\; \text{11학년} \neq 20$$

💡 총합 위배 후보는 탈락 — 같은 퍼센트 논리, 다른 규모.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

11학년 $= 8$ 만 남음.
선택지 (C).

$$\text{11학년} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 객관식에서 살아남은 단 하나 — 그것이 답.

[1] #3 4.OA.B.4 약수·배수로 선택지 걸러내기. 전체 11학년의 $25\%$ 가 자연수여야 하므로 11학년 수는 $4$ 의 배수. (A)–(E) 중 $8$ 과 $

[2] #6 6.RP.A.3 11학년 $= 8$ 가정. 동아리의 11학년 $= \frac{1}{4} \times 8 = 2$, 따라서 12학년도 $2$ 명. 그 $2$ 명이

[3] #6 2.OA.A.1 총합 확인. 11학년 $+$ 12학년 $= 8 + 20 = 28$ — 주어진 총합과 정확히 일치. 11학년 $= 8$ 통과.

[4] #3 6.RP.A.3 다른 후보 제거. 11학년 $= 20$ 이면 동아리 11학년 $= \frac{1}{4} \times 20 = 5$, 12학년 동아리도 $5$,

[5] #3 6.RP.A.3 11학년 $= 8$ 만 남음. 선택지 (C).

검토

합리성 확인: 전체 검증: 11학년 $8$, 12학년 $20$, 합 $28$ ✓. 동아리 인원: $25\% \times 8 = 2$ 명 $=$ $10\% \times 20 = 2$ 명 — 같음 ✓. 모든 인원이 자연수. 모든 조건 부합.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 학급별 동아리 인원을 $x$ 로 놓으면 11학년 $= 4x$, 12학년 $= 10x$. 합 $4x + 10x = 14x = 28$ 에서 $x = 2$, 11학년 $= 4x = 8$. 같은 답 (C), 식 한 줄.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.A.1 $100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 문장제 ($8 + 20 = 28$ 이 주어진 총합과 같은지 확인하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍·배수 찾기와 소수·합성수 판별 (11학년 수가 $25\%$ 가 자연수가 되려면 $4$ 의 배수여야 함을 인식.)
6.RP.A.3 비율·비례 사고로 실생활 문제 풀기 (동아리 인원과 $25\%$ 의 11학년, $10\%$ 의 12학년 사이를 오가는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 사고만으로 풀려요 — 11학년 수가 $4$ 의 배수임을 알고 $8$ 로 시험해보면 동아리 $2$ 명씩 같아져 12학년이 $20$ 명, 합이 정확히 $28$!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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