AMC 10 · 2021 · #5

학년 5 arithmetic

factorssystematic-enumerationdigit-constraintsmultiples systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: factors

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The ages of Jonie's four cousins are distinct single-digit positive integers. Two of the cousins' ages multiplied together give $24$ , while the other two multiply to $30$ . What is the sum of the ages of Jonie's four cousins?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~21

(B)

~22

(C)

~23

(D)

~24

(E)

~25

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Jonie 의 사촌 네 명의 나이는 서로 다른 한 자리 자연수($\{1, 2, \dots, 9\}$ 중 하나). 그 중 두 명의 나이의 곱이 $24$, 다른 두 명의 나이의 곱이 $30$. 네 사촌 나이의 합을 구하세요.

주어진 것: 네 나이는 $\{1, 2, \dots, 9\}$ 중 서로 다른 자연수; 두 나이의 곱 $= 24$; 다른 두 나이의 곱 $= 30$; 선택지: (A) $21$, (B) $22$, (C) $23$, (D) $24$, (E) $25$

구하는 것: 네 사촌 나이의 합

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

도구 #2(빠짐없이 나열하기) — $24$ 의 한 자리 약수쌍을 작은 것부터 차례로 나열하고, $30$ 의 한 자리 약수쌍도 마찬가지로 나열. 가짓수가 적어 금방 끝남. 도구 #3(가능성 지우기)으로 "서로 다름" 조건을 적용 — $24$-쌍과 $30$-쌍을 합쳐서 중복이 생기는 조합은 버리고 살아남는 한 가지를 채택.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

$24$ 의 한 자리 약수쌍 나열.
작은 약수부터: $1 \times 24$ (탈락, $24$ 는 두 자리), $2 \times 12$ (탈락), $3 \times 8$ (채택), $4 \times 6$ (채택).
$24$-쌍 후보는 $\{3, 8\}$ 또는 $\{4, 6\}$.

$$24 = 3 \times 8 = 4 \times 6$$

💡 약수쌍을 순서대로 나열 — 4학년 "자연수의 모든 약수쌍 찾기".

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$30$ 의 한 자리 약수쌍 나열.
$1 \times 30$ (탈락), $2 \times 15$ (탈락), $3 \times 10$ (탈락), $5 \times 6$ (채택).
가능한 건 $\{5, 6\}$ 한 쌍뿐.

$$30 = 5 \times 6$$

💡 같은 약수쌍 절차, 여기선 한 쌍만 한 자리에 머묾.

#3 가능성 지우기 5.OA.B.3 단계 3

$24$-쌍과 $\{5, 6\}$ 을 합쳐 중복이 있는 경우는 버리기.
$\{4, 6\} \cup \{5, 6\}$ 은 $6$ 이 겹침 — 탈락.
$\{3, 8\} \cup \{5, 6\}$ 은 $\{3, 5, 6, 8\}$ 로 서로 다름 — 채택.

$$\{4, 6\} \cup \{5, 6\} = \{4, 5, 6\} \text{ (중복)} \;\Rightarrow\; \text{탈락}$$

💡 "서로 다름" 조건이 $6$ 을 한쪽에서 밀어냄 — 살아남는 쪽 선택.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 4

네 나이의 합을 계산.
$3 + 5 + 6 + 8 = 22$.
선택지 (B).

$$3 + 5 + 6 + 8 = 22 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 작은 자연수 네 개 덧셈 — 2학년 $100$ 이내 덧셈.

[1] #2 4.OA.B.4 $24$ 의 한 자리 약수쌍 나열. 작은 약수부터: $1 \times 24$ (탈락, $24$ 는 두 자리), $2 \times 12$ (탈락)

[2] #2 4.OA.B.4 $30$ 의 한 자리 약수쌍 나열. $1 \times 30$ (탈락), $2 \times 15$ (탈락), $3 \times 10$ (탈락),

[3] #3 5.OA.B.3 $24$-쌍과 $\{5, 6\}$ 을 합쳐 중복이 있는 경우는 버리기. $\{4, 6\} \cup \{5, 6\}$ 은 $6$ 이 겹침 — 탈락

[4] #2 2.NBT.B.5 네 나이의 합을 계산. $3 + 5 + 6 + 8 = 22$. 선택지 (B).

검토

합리성 확인: 두 곱을 검산: $3 \times 8 = 24$ ✓, $5 \times 6 = 30$ ✓. 네 나이 $\{3, 5, 6, 8\}$ 은 모두 서로 다른 한 자리 자연수 ✓. 합 $22$ 는 선택지 $21$–$25$ 의 가운데 — 평균 약 $5$–$6$ 인 네 나이로 타당.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인) — 합을 바로 추측. $\{3, 8\}$ 의 합 $11$, $\{5, 6\}$ 의 합 $11$, 총합 $11 + 11 = 22$ 로 모든 경우를 나열하지 않고도 답에 도달. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

2.NBT.B.5 $100$ 이내 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 (마지막에 $3 + 5 + 6 + 8 = 22$ 를 계산하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍·배수 찾기와 소수·합성수 판별 ($24$ 와 $30$ 의 한 자리 약수쌍을 모두 나열하는 데 사용.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수열을 만들고 관계 찾기 (각 $24$-쌍과 $30$-쌍을 조합해 "서로 다름" 조건으로 유효한 집합을 고르는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "약수쌍을 나열·비교하기" 만 알면 풀 수 있어요 — $24 = 3 \times 8$ 또는 $4 \times 6$, $30 = 5 \times 6$, 그리고 "서로 다름" 조건이 $\{3, 5, 6, 8\}$ 을 강제, 합 $22$!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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