AMC 10 · 2021 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

weighted-averageratio-proportionmean-median-mode-rangefraction-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Ms. Blackwell gives an exam to two classes. The mean of the scores of the students in the morning class is $84$ , and the afternoon class's mean score is $70$ . The ratio of the number of students in the morning class to the number of students in the afternoon class is $\frac{3}{4}$ . What is the mean of the scores of all the students?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~74

(B)

~75

(C)

~76

(D)

~77

(E)

~78

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Blackwell 선생님이 두 반에 같은 시험을 봤습니다. 오전반 평균은 $84$점, 오후반 평균은 $70$점. 오전반 학생 수와 오후반 학생 수의 비는 $3 : 4$ (오전반이 더 적음). 전체 학생의 평균 점수를 구하세요.

주어진 것: 오전반 평균 $= 84$; 오후반 평균 $= 70$; $\dfrac{\text{오전반 인원}}{\text{오후반 인원}} = \dfrac{3}{4}$; 선택지: (A) $74$, (B) $75$, (C) $76$, (D) $77$, (E) $78$

구하는 것: 전체 학생의 평균 점수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제로): 인원이 안 주어졌으니 비 $3:4$ 의 가장 작은 정수 쌍 — 오전반 $3$ 명, 오후반 $4$ 명 — 으로 잡아 구체화. 평균은 인원의 절대값에 좌우되지 않으므로 답은 그대로. 도구 #8(단위 살펴보기): 평균 $=$ 총점 $\div$ 총인원 — 점 ÷ 명 = 점/명. 도구 #3(가능성 지우기): 인원이 많은 쪽이 평균을 끌어당기므로 답은 중점 $77$ 미만 — (D), (E) 즉시 탈락.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.1 단계 1

더 쉬운 문제로: 오전반 $3$ 명, 오후반 $4$ 명으로 설정 — 비 $3 : 4$ 의 가장 작은 정수 쌍.
비가 같으면 합쳐진 평균은 동일하므로 답에 영향 없음.

$$\text{오전반 인원} = 3,\quad \text{오후반 인원} = 4$$

💡 6학년 비 — $3:4$ 는 인원이 $3,4$ 든 $30,40$ 든 $300,400$ 이든 같음.

#8 단위 살펴보기 6.SP.A.3 단계 2

각 반의 총점 $=$ 평균 $\times$ 인원.
오전반 총점 $= 84 \cdot 3 = 252$.
오후반 총점 $= 70 \cdot 4 = 280$.

$$252 = 84 \cdot 3,\qquad 280 = 70 \cdot 4$$

💡 6학년 중심경향 — 평균 $\times$ 인원 $=$ 점수 총합.

#8 단위 살펴보기 3.NBT.A.2 단계 3

두 총점을 합쳐 전체 총점, 두 인원을 합쳐 전체 인원을 구함.
$252 + 280 = 532$ 점, $3 + 4 = 7$ 명.

$$\text{전체 총점} = 252 + 280 = 532,\quad \text{전체 인원} = 3 + 4 = 7$$

💡 3학년 $1000$ 이내 덧셈 — 부분합을 그대로 더함.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.6 단계 4

합쳐진 평균 $=$ 전체 총점 $\div$ 전체 인원 $= 532 \div 7$.

$$\bar{x} = \dfrac{532}{7} = 76$$

💡 4학년 나눗셈 — $7 \cdot 76 = 532$ 이므로 몫은 정확히 $76$.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

도구 #3 으로 검증: 평균은 $70$ 과 $84$ 사이, 인원이 많은 오후반(평균 $70$)이 끌어당기므로 중점 $77$ 미만 — (A), (B), (C) 만 후보.
계산값 $76$ 은 (C).

$$76 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 4학년 자연수 비교 — 큰 집단이 평균을 자기 쪽으로 끌어옴.

[1] #9 6.RP.A.1 더 쉬운 문제로: 오전반 $3$ 명, 오후반 $4$ 명으로 설정 — 비 $3 : 4$ 의 가장 작은 정수 쌍. 비가 같으면 합쳐진 평균은 동일하

[2] #8 6.SP.A.3 각 반의 총점 $=$ 평균 $\times$ 인원. 오전반 총점 $= 84 \cdot 3 = 252$. 오후반 총점 $= 70 \cdot 4 =

[3] #8 3.NBT.A.2 두 총점을 합쳐 전체 총점, 두 인원을 합쳐 전체 인원을 구함. $252 + 280 = 532$ 점, $3 + 4 = 7$ 명.

[4] #8 4.NBT.B.6 합쳐진 평균 $=$ 전체 총점 $\div$ 전체 인원 $= 532 \div 7$.

[5] #3 4.NBT.A.2 도구 #3 으로 검증: 평균은 $70$ 과 $84$ 사이, 인원이 많은 오후반(평균 $70$)이 끌어당기므로 중점 $77$ 미만 — (A), (

검토

합리성 확인: 합리성: $76$ 은 $70$ 과 $84$ 사이(양호), 그리고 $70$ 쪽에 더 가까움 ($76-70=6$ vs $84-76=8$) — 오후반이 더 큰 집단인 사실과 일치. 또 인원을 $10$ 배($30, 40$ 명) 해서 다시 계산하면 $84 \cdot 30 + 70 \cdot 40 = 2520 + 2800 = 5320$, $70$ 명으로 나누면 $76$ — 같은 답으로 비 불변성 확인.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 가중평균 공식: 비 $3:4$ 를 비율 $\dfrac{3}{7},\,\dfrac{4}{7}$ 로 보면 합쳐진 평균 $= \dfrac{3}{7} \cdot 84 + \dfrac{4}{7} \cdot 70 = \dfrac{252+280}{7} = \dfrac{532}{7} = 76$. 구체적 인원을 잡지 않고도 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.1 비 개념과 비 언어 이해 (미지의 인원을 비 $3:4$ 의 가장 작은 정수 쌍 $3, 4$ 로 치환.)
6.SP.A.3 중심경향이 모든 값을 하나의 수로 요약함을 이해 (평균 $\times$ 인원 $=$ 총합 — 각 반의 점수 총합을 평균으로부터 회복.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내 능숙한 덧셈·뺄셈 ($252 + 280 = 532$ 와 $3 + 4 = 7$ 을 더함.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수의 자연수 몫과 나머지 구하기 ($532 \div 7 = 76$ 으로 합쳐진 평균 계산.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (중점 $77$ 이상 보기 탈락 후 $76$ 을 (C) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비 개념만 알면 풀 수 있어요 — 오전반 $3$ 명, 오후반 $4$ 명이라 치고($3:4$ 그대로), $3 \cdot 84 + 4 \cdot 70 = 532$ 점을 $7$ 명으로 나누면 $76$, 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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